問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}4\mathrm{問}$
[1]自然数$n$に対して、$S_n=5^n-1$とする。さらに、数列$\left\{a_n\right\}$の初項から
第$n$項までの和が$S_n$であるとする。このとき、$a_1=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$である。また
$n\geqq 2$のとき
$a_n=\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}\mathrm{・}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}^{n-1}$
である。この式は$n=1$の時にも成り立つ。
上で求めたことから、すべての自然数$n$に対して
$\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{a_k}={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}\mathrm{カ}}}}(1-{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}^{-n})}}$
が成り立つことが分かる。

[2]太郎さんは和室の畳を見て、畳の敷き方が何通りあるかに興味を持った。
ちょうど手元にタイルがあったので、畳をタイルに置き換えて、
数学的に考えることにした。
縦の長さが1、横の長さが2の長方形のタイルが多数ある。
それらを縦か横の向きに、隙間も重なりもなく敷き詰めるとき、
その敷き詰め方をタイルの「配置」と呼ぶ。

上の図(※動画参照)のように、縦の長さが3,横の長さが$2n$の長方形を$R_n$とする。
$3n$枚のタイルを用いた$R_n$内の配置の総数を$r_n$とする。
$n=1$のときは、下の図(※動画参照)のように$r_1=3$である。

また、$n=2ｎ4$ときは、下の図(※動画参照)のように$r_2=11$である。

(1)太郎さんは次のような図形$T_n$内の配置を考えた。
$(3n+1)$枚のタイルを用いた$T_n$内の配置の総数を$t_n$とする。$n=1$
のときは、$t_1=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}$である。
さらに、太郎さんは$T_n$内の配置について、右下隅のタイルに注目して
次のような図(※動画参照)をかいて考えた。

この図(※動画参照)から、2以上の自然数$n$に対して
$t_n=A{r}_n+B{t}_{n-1}$
が成り立つことが分かる。ただし、$A=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}, B=\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}$である。
以上から、$t_2=\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}\mathrm{シ}}}$であることが分かる。
同様に、$R_n$の右下隅のタイルに注目して次のような図(※動画参照)をかいて考えた。

この図(※動画参照)から、2以上の自然数$n$に対して
$r_n=C{r}_{n-1}+D{t}_{n-1}$
が成り立つことが分かる。ただし、$C=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}, D=\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}$である。

(2)畳を縦の長さが1,　横の長さが2の長方形と見なす。縦の長さが3,　横の長さが6
の長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき、敷き詰め方の総数は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}\mathrm{タ}}}$である。
また、縦の長さが、横の長さがの長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき、
敷き詰め方の総数は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}\mathrm{ツ}\mathrm{テ}}}$である。

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
あきとんとんさんが共通テスト数学ⅠAの講評をします。

傾向を知って、対策に役立てましょう！

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}1\mathrm{問}$
[1]　$a,b$を定数とするとき、$x$についての不等式
$|ax-b-7|<3$　$\cdots$①
を考える。
(1)$a=-3,b=-2$とする。①を満たす整数全体の集合を$P$とする。
この集合$P$を、要素を書き並べて表すと
$P=\{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}\mathrm{イ}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}\mathrm{エ}}}\}$
となる。ただし、$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}\mathrm{イ}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}\mathrm{エ}}}$の解答の順序は問わない。

(2)$a={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$とする。
$(\text{i})b=1$のとき、①を満たす整数は全部で$\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$個である。
$(\text{ii})$①を満たす整数が全部で$(\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}+1)$個であるような正の整数$b$
のうち、最小のものは$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$である。

[2]平面上に2点$A,B$があり、$AB=8$である。直線$AB$上にない点$P$をとり、
$\mathrm{△}ABP$をつくり、その外接円の半径を$R$とする。
太郎さんは、図1(※動画参照)のように、コンピュータソフトを使って点$P$
をいろいろな位置に取った。
図1は、点$P$をいろいろな位置にとったときの$\mathrm{△}$の外接円をかいたものである。

(1)太郎さんは、点$P$のとり方によって外接円の半径が異なることに気づき、
次の問題1を考えることにした。

問題1:点$P$をいろいろな位置にとるとき、外接円の半径$R$が最小となる
$\mathrm{△}ABP$はどのような三角形か。
正弦定理により、$2R={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}{\sin \mathrm{\angle }APB}}$である。よって、
Rが最小となるのは$\mathrm{\angle }APB=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}\mathrm{ケ}}}°$の三角形である。
このとき、$R=\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}$である。


(2)太郎さんは、図2(※動画参照)のように、問題1の点$P$のとり方に
条件を付けて、次の問題2を考えた。

問題2:直線$AB$に平行な直線を$l$とし、直線l上で点$P$をいろいろな
位置にとる。このとき、外接円の半径$R$が最小となる$\mathrm{△}ABP$は
どのような三角形か。

太郎さんは、この問題を解決するために、次の構想を立てた。

問題2の解決の構想
問題1の考察から、線分$AB$を直径とする円を$C$とし、円$C$に着目
する。直線lは、その位置によって、円$C$と共有点を持つ場合と
もたない場合があるので、それぞれの場合に分けて考える。

直線$AB$と直線lとの距離を$h$とする。直線lが円$C$と共有点を
持つ場合は、$h\leqq \boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}$のときであり、共有点をもたない場合は、
$h>\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}$のときである。

$(\text{i})h\leqq \boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}$のとき
直線$l$が円$C$と共有点をもつので、$R$が最小となる$\mathrm{△}ABP$は、
$h<\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}$のとき$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}}$であり、$h=\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}$のとき直角二等辺三角形
である。

$(\text{ii})h>\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}$のとき
線分$AB$の垂直二等分線を$m$とし、直線$m$と直線$l$との交点を$P_1$とする。
直線$l$上にあり点$P_1$とは異なる点を$P_2$とするとき$\sin \mathrm{\angle }A{P}_{1}B$
と$\sin \mathrm{\angle }A{P}_{2}B$の大小を考える。
$\mathrm{△}AB{P}_2$の外接円と直線$m$との共有点のうち、直線$AB$に関して点$P_2$
と同じ側にある点を$P_3$とすると、$\mathrm{\angle }A{P}_{3}B\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}\mathrm{\angle }A{P}_{2}B$である。
また、$\mathrm{\angle }A{P}_{3}B<\mathrm{\angle }A{P}_{1}B<90°$より$\sin \mathrm{\angle }A{P}_{3}B\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}}\mathrm{\angle }A{P}_{1}B$である。
このとき$(\mathrm{△}AB{P}_1$の外接円の半径$)\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}}(\mathrm{△}AB{P}_2$の外接円の半径)
であり、$R$が最小となる$\mathrm{△}ABP$は$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}}}$である。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}}, \boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}}}$については、最も適当なものを、次の⓪～④のうち
から一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
⓪鈍角三角形　①直角三角形　②正三角形
③二等辺三角形　④直角二等辺三角形

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}～\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$<$　①$=$　②$>$

(3)問題2の考察を振り返って、$h=8$のとき、$\mathrm{△}ABP$の外接円の半径$R$
が最小である場合について考える。このとき、$\sin \mathrm{\angle }APB={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}}}$
であり、$R=\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}}$である。

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
今年はコレが出る？！
「センター試験2018年」の出題予想です。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 1}}$[2]二つの関数$f(x)=\frac{2^x+2^{-x}}{2}, g(x)=\frac{2^x-2^{-x}}{2}$について考える。
(1)$f(0)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}, g(0)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}$である。また、$f(x)$は
相加平均と相乗平均の関係から、$x=\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}$で最小値$\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}$をとる。
$g(x)=-2$となるxの値は${\log }_2(\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}}-\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}})$である。

(2)次の①～④は、xにどのような値を代入しても常に成り立つ。
$f(-x)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}} \dots \mathrm{①} g(-x)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}} \dots \mathrm{②}$
${\{f(-x)\}}^2-{\{g(-x)\}}^2=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}}} \dots \mathrm{③}$　　
$g(2x)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}}}f(x)g(x) \dots \mathrm{④}$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}、\boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}}$の解答群
⓪$f(x)$　　　　①$-f(x)$　　　　②$g(x)$　　　　③$-g(x)$

(3)花子:①～④は三角関数の性質に似ているね。
太郎:三角関数の加法定理に類似した式$(\text{A})～(\text{D})$を考えてみたけど、常に
成り立つ式はあるだろうか。
花子:成り立たない式を見つけるために、式$(\text{A})～(\text{D})$の$\beta$に
何か具体的な値を代入して調べてみたら?

太郎さんが考えた式
$f(\alpha -\beta )=f(\alpha )g(\beta )+g(\alpha )f(\beta ) \dots (\text{A})$　
$f(\alpha +\beta )=f(\alpha )g(\beta )+g(\alpha )f(\beta ) \dots (\text{B})$
$f(\alpha -\beta )=f(\alpha )g(\beta )+g(\alpha )f(\beta ) \dots (\text{C})$　
$f(\alpha +\beta )=f(\alpha )g(\beta )-g(\alpha )f(\beta ) \dots (\text{D})$

(1),(2)で示されたことのいくつかを利用すると、式$(\text{A})～(\text{D})$のうち、
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}}$以外の3つは成り立たないことが分かる。$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}}$は左辺と右辺を
それぞれ計算することによって成り立つことが確かめられる。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}}$の解答群
⓪$(\text{A})$　　　①$(\text{B})$　　　②$(\text{C})$　　　③$(\text{D})$

2021共通テスト数学過去問