問題文全文(内容文)：
${\large第4問}$
点$O$を原点とする座標空間に2点
$A(3,　3,　-6),$　$B(2+2\sqrt3,$　$2-2\sqrt3,　-4)$
をとる。3点$O,A,B$の定める平面を$\alpha$とする。また、$\alpha$に含まれる点$C$は

$\overrightarrow{ OA } \bot \overrightarrow{ OC },$　$\overrightarrow{ OB }・\overrightarrow{ OC }=24$　$\cdots$①

を満たすとする。

(1)　$|\overrightarrow{ OA }|=\boxed{\ \ ア\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ イ\ \ }},$　$|\overrightarrow{ OB }|=\boxed{\ \ ウ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ エ\ \ }}$であり、
$\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }=\boxed{\ \ オカ\ \ }$である。

(2)点$C$は平面$\alpha$上にあるので、実数$s,$　$t$を用いて、$\overrightarrow{ OC }=s\ \overrightarrow{ OA }+t\ \overrightarrow{ OB }$と
表すことができる。このとき、①から$s=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }},$　$t=\boxed{\ \ コ\ \ }$である。
したがって、$|\overrightarrow{ OC }|=\boxed{\ \ サ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ シ\ \ }}$である。

(3)$\overrightarrow{ CB }=\left(\boxed{\ \ ス\ \ },　\boxed{\ \ セ\ \ },　\boxed{\ \ ソタ\ \ }\right)$である。したがって、平面$\alpha$上の
四角形$OABC$は$\boxed{\ \ チ\ \ }$。
$\boxed{\ \ チ\ \ }$に当てはまるものを、次の⓪～④のうちから一つ選べ。
ただし、少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という。

⓪正方形である
①正方形ではないが、長方形である
②長方形ではないが、平行四辺形である
③平行四辺形ではないが、台形である
④台形ではない

$\overrightarrow{ OA } \bot \overrightarrow{ OC }$であるので、四角形$OABC$の面積は$\boxed{\ \ ツテ\ \ }$である。

(4)$\overrightarrow{ OA } \bot \overrightarrow{ OD },$　$\overrightarrow{ OC }・\overrightarrow{ OD }=2\sqrt6$かつ$z$座標が1であるような点$D$の座標は
$\left(\boxed{\ \ ト\ \ }+\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\ \ ナ\ \ }}}{\boxed{\ \ ニ\ \ }},　\boxed{\ \ ヌ\ \ }+\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\ \ ネ\ \ }}}{\boxed{\ \ ノ\ \ }},　1\right)$
である。このとき$\angle COD=\boxed{\ \ ハヒ\ \ }°$である。
3点$O,C,D$の定める平面を$\beta$とする。$\alpha$と$\beta$は垂直であるので、三角形
$ABC$を底面とする四面体$DABC$の高さは$\sqrt{\boxed{\ \ フ\ \ }}$である。したがって、
四面体$DABC$の体積は$\boxed{\ \ ヘ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ホ\ \ }}$　である。

2020センター試験過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{2}}\ 空間ベクトルに対し、次の関係を定める。\hspace{152pt}\\
\overrightarrow{ a }=(a_1,a_2,a_3)と\overrightarrow{ b }=(b_1,b_2,b_3)が、次の(\textrm{i}),(\textrm{ii}),(\textrm{iii})のいずれかを\\
満たしているとき\overrightarrow{ a }は\overrightarrow{ b }より前であるといい、
\overrightarrow{ a }≺ \overrightarrow{ b }と表す。\\
(\textrm{i})a_1 \lt b_1\ \ \ (\textrm{ii})a_1=b_1かつa_2 \lt b_2\ \ \ (\textrm{iii})a_1=b_1かつa_2=b_2かつa_3 \lt b_3\ \ \ \\
\\
空間ベクトルの集合P=\left\{(x,y,z) | \ x,y,zは0以上7以下の整数\right\}の要素を\\
前から順に\overrightarrow{ p_1 },\overrightarrow{ p_2 },\ldots,\overrightarrow{ p_m }とする。ここで、mはPに含まれる要素の総数を表す。\\
つまり、P=\left\{\overrightarrow{ p_1 },\overrightarrow{ p_2 },\ldots,\overrightarrow{ p_m }\right\}であり、\\
\overrightarrow{ p_n }≺ \overrightarrow{ p_{n+1} }(n=1,2,\ldots,m-1)\\
を満たしている。次の各設問に答えよ。\\
(1)\ \overrightarrow{ p_{67} }を求めよ。\\
(2)集合\left\{n\ \ \ | \ \overrightarrow{ p_n }∟(1,0,-2)\right\}の要素のうちで最大のものを求めよ。
\end{eqnarray}

2022早稲田大学商学部過去問

問題文全文(内容文)：
点$A(1,2,4)$を通り、ベクトル$\vec{ n }=(-3,1,2)$に垂直な平面を$\alpha$とする。
平面$\alpha$に関して同じ側に2点$P(-2,1,7),Q(1,3,7)$がある。
次の問いに答えよ。
（1）
平面$\alpha$に関して点$P$と対称な点$R$の座標を求めよ。

（2）
平面$\alpha$上の点で、$PS+QS$を最小にする点$S$の座標とそのときの最小値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}　P(0,0,-1),\ Q(0,1,-2),\ R(1,0,-2)を頂点とする三角形の面積は\boxed{\ \ ヘ\ \ }である。\\
aを実数とし、\overrightarrow{ v }=(a,a,3)とする。点P',Q',R'を\\
\overrightarrow{ OP' }=\overrightarrow{ OP }+\overrightarrow{ v },\ \overrightarrow{ OQ' }=\overrightarrow{ OQ }+\overrightarrow{ v },\ \overrightarrow{ OR' }=\overrightarrow{ OR }+\overrightarrow{ v }\\
によって定め、さらに線分PP',QQ',RR'がxy平面と交わる点をP'',Q'',R''とする。\\
このとき、P''の座標は\boxed{\ \ ホ\ \ }、Q''の座標は\boxed{\ \ マ\ \ }、R''の座標は\boxed{\ \ ミ\ \ }である。\\
\triangle P''Q''R''が正三角形になるのはa=\boxed{\ \ ム\ \ }のときである。\\
3点P'',Q'',R''が同一直線上にあるのはa=\boxed{\ \ メ\ \ }のときである。a \gt \boxed{\ \ メ\ \ }のとき、\\
\triangle P''Q''R''の面積をaで表すと\boxed{\ \ モ\ \ }となる。
\end{eqnarray}

2021慶應義塾大学看護医療学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ 座標空間の3点A(0,1,2), B(3,-2,2), C(-1,4,1)が定める平面を$\alpha$とする。
原点Oから平面$\alpha$に垂線を下ろし、$\alpha$との交点をHとする。
(1)$\overrightarrow{AB}$・$\overrightarrow{AC}$=$\boxed{\ \ アイウ\ \ }$
(2)$\triangle$ABCの面積は$\frac{\boxed{\ \ エ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ オ\ \ }}}{\boxed{\ \ カ\ \ }}$である。
(3)$\overrightarrow{AH}$=$\frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{\boxed{\ \ クケ\ \ }}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }}$$\overrightarrow{AC}$,　$\overrightarrow{OH}$=$\frac{\boxed{\ \ シ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ス\ \ }}}{\boxed{\ \ セ\ \ }}$
(4)四面体OHBCの体積は$\frac{\boxed{\ \ ソタ\ \ }}{\boxed{\ \ チツ\ \ }}$である。