問題文全文(内容文)：
2022年度大学入試共通テストの平均点が発表された。
数学ⅠAは37.96点と前年差マイナス19.72点。
数学ⅡBは43.06点と前年差マイナス16.87点。

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問題文全文(内容文)：
${\large第1問}$
[1]$c$を正の整数とする。$x$の2次方程式
$2x^2+(4c-3)x+2c^2$$-c-11=0$　$\cdots$①
について考える。

(1)$c=1$のとき、①のっ左辺を因数分解すると

$\left(\boxed{\ \ ア\ \ }\ x+\boxed{\ \ イ\ \ }\right)\left(x-\boxed{\ \ ウ\ \ }\right)$
であるから、①の解は

$x=-\displaystyle \frac{\boxed{\ \ イ\ \ }}{\boxed{\ \ ア\ \ }},\ \boxed{\ \ ウ\ \ }$

である。

(2)$c=2$のとき、①の解は

$x=\displaystyle \frac{-\boxed{\ \ エ\ \ }\pm\sqrt{\boxed{\ \ オカ\ \ }}}{\boxed{\ \ キ\ \ }}$

であり、大きい方の解を$\alpha$とすると

$\displaystyle \frac{5}{\alpha}=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ク\ \ }\pm\sqrt{\boxed{\ \ ケコ\ \ }}}{\boxed{\ \ サ\ \ }}$

である。また、$m \lt \displaystyle \frac{5}{\alpha} \lt m+1$を満たす整数$m$は$\boxed{\ \ シ\ \ }$である。

(3)太郎さんと花子さんは、①の解について考察している。

太郎:①の解は$c$の値によって、ともに有理数である場合も
あれば、ともに無理数である場合もあるね。$c$がどの
ような値のときに、解は有理数になるのかな。
花子:2次方程式の解の公式の根号の中に着目すれば
いいんじゃないかな。

①の解が異なる二つの有理数であるような正の整数$c$の個数は
$\boxed{\ \ ス\ \ }$個である。

[2]右の図のように(※動画参照)、$\triangle ABC$の外側に辺$AB,BC,CA$
をそれぞれ1辺とする正方形$ADEB,BFGC,CHIA$をかき、
2点$E$と$F,G$と$H,I$と$D$をそれぞれ線分で結んだ図形を考える。
以下において
$BC=a,　CA=b,　AB=c$
$\angle CAB=A,　\angle ABC=B,　$$\angle BCA=C$
とする。

(1)$b=6,c=5,\cos A=\displaystyle \frac{3}{5}$のとき、$\sin A=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ セ\ \ }}{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$であり、
$\triangle ABC$の面積は$\boxed{\ \ タチ\ \ }、\triangle AID$の面積は$\boxed{\ \ ツテ\ \ }$である。


(2)正方形$BFGC,　CHIA,　ADEB$の面積をそれぞれ$S_1,S_2,S_3$とする。
このとき、$S_1-S_2-S_3$は
・$0° \lt A \lt 90°$のとき、$\boxed{\boxed{\ \ ト\ \ }}$。
・$A=90°$のとき、$\boxed{\boxed{\ \ ナ\ \ }}$。
・$90° \lt A \lt 180°$のとき、$\boxed{\boxed{\ \ ニ\ \ }}$。


$\boxed{\boxed{\ \ ト\ \ }}～\boxed{\boxed{\ \ ニ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$0$である
①正の値である
②負の値である
③正の値も負の値もとる

(3)$\triangle AID,\triangle BEF,\triangle CGH$の面積をそれぞれ$T_1,T_2,T_3$とする。
このとき、$\boxed{\boxed{\ \ ヌ\ \ }}$である。

$\boxed{\boxed{\ \ ヌ\ \ }}$の解答群
⓪$a \lt b \lt c$ならば、$T_1 \gt T_2 \gt T_3$
①$a \lt b \lt c$ならば、$T_1 \lt T_2 \lt T_3$
②$A$が鈍角ならば、$T_1 \lt T_2かつT_2 \lt T_3$
③$a,b,c$の値に関係なく、$T_1=T_2=T_3$

(4)$\triangle ABC,\triangle AID,\triangle BEF,\triangle CGH$のうち、外接円の半径が最も小さい
ものを求める。
$0° \lt A \lt 90°$のとき、$ID \boxed{\boxed{\ \ ネ\ \ }}BC$であり
($\triangle AID$の外接円の半径)$\boxed{\boxed{\ \ ノ\ \ }}$($\triangle ABC$の外接円の半径)

であるから、外接円の半径が最も小さい三角形は
・$0° \lt A \lt B \lt C \lt 90°$のとき、$\boxed{\boxed{\ \ ハ\ \ }}$である。
・$0° \lt A \lt B \lt 90° \lt $Cのとき、$\boxed{\boxed{\ \ ヒ\ \ }}$である。

$\boxed{\boxed{\ \ ネ\ \ }},\boxed{\boxed{\ \ ノ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$\lt$　①$=$　②$\gt$

$\boxed{\boxed{\ \ ハ\ \ }},\boxed{\boxed{\ \ ヒ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$\triangle ABC$　①$\triangle AID$　②$\triangle BEF$　③$\triangle CGH$

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
第一問
[ 1 ] 三角関数の値の大小関係について考えよう。
(1) $x=\displaystyle\frac{\pi}{6}$のとき$\sin x\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}\sin 2x$であり、$x=\frac{2}{3}\pi$のとき$\sin x\boxed{\boxed{\ \ イ\ \ }}\sin 2x$である。
$\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$, $\boxed{\boxed{\ \ イ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪＜　①=　②＞
(2) $\sin x$と$\sin 2x$の値の大小関係を詳しく調べよう。
$\sin 2x$-$\sin x$=$\sin 2x\left(\boxed{\ \ ウ\ \ }\cos x-\boxed{\ \ エ\ \ }\right)$
であるから、$\sin 2x$-$\sin x$＞0が成り立つことは
「$\sin x$＞0かつ $\boxed{\ \ ウ\ \ }\cos x-\boxed{\ \ エ\ \ } \gt 0$」... ①
「$\sin x$＜0かつ $\boxed{\ \ ウ\ \ }\cos x-\boxed{\ \ エ\ \ } \lt 0$」... ②
が成り立つことと同値である。$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき、①が成り立つようなxの値の範囲は
$0 \lt x \lt \displaystyle\frac{\pi}{\boxed{\ \ オ\ \ }}$
であり、②が成り立つようなxの値の範囲は
$\pi \lt x \lt \displaystyle\frac{\boxed{\ \ カ\ \ }}{\boxed{\ \ キ\ \ }}\pi$
である。よって、$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき、$\sin 2x \gt \sin x$が成り立つようなxの値の範囲は
$0 \lt x \lt \displaystyle\frac{\pi}{\boxed{\ \ オ\ \ }},　\pi \lt x \lt \displaystyle\frac{\boxed{\ \ カ\ \ }}{\boxed{\ \ キ\ \ }}\pi$
である。
(3)$\sin 3x$と$\sin 4x$の値の大小関係を調べよう。
三角関数の加法定理を用いると、等式
$\sin(\alpha+\beta)$-$\sin(\alpha-\beta)$=$2\cos\alpha\sin\beta$...③
が得られる。$\alpha+\beta=4x$, $\alpha-\beta=3x$を満たす$\alpha$, $\beta$に対して③を用いることにより、$\sin 4x-\sin 3x \gt 0$が成り立つことは
「$\cos\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }} \gt 0$ かつ $\sin\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }} \gt 0$」...④
または
「$\cos\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }} \lt 0$ かつ $\sin\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }} \lt 0$」...⑤
が成り立つことと同値であることがわかる。
$0 \leqq x \leqq \pi$のとき、④,⑤により、$\sin 4x$＞$\sin 3x$が成り立つようなxの値の範囲は
$0 \leqq x \leqq \displaystyle\frac{\pi}{\boxed{\ \ コ\ \ }}$, $\displaystyle\frac{\boxed{\ \ サ\ \ }}{\boxed{\ \ シ\ \ }}\pi \lt x \lt \frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}\pi$
である。
$\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }}$,　$\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪0　①x　②2x　③3x
④4x　⑤5x　⑥6x　⑦$\frac{x}{2}$　
⑧$\frac{3}{2}x$　⑨$\frac{5}{2}x$　ⓐ$\frac{7}{2}x$　ⓑ$\frac{9}{2}x$
(4)(2), (3)の考察から、$0 \leqq x \leqq \pi$のとき、$\sin 3x \gt \sin 4x \gt \sin 2x$が成り立つようなxの値の範囲は
$\displaystyle\frac{\pi}{\boxed{\ \ コ\ \ }}$ $\lt$ $\displaystyle\frac{\pi}{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$,　$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}\pi \lt x \lt \frac{\boxed{\ \ タ\ \ }}{\boxed{\ \ チ\ \ }}\pi$
であることがわかる。
[ 2 ]
(1)$a \gt 0$,　$a \ne 1$,　$b \gt 0$のとき、$\log_ab=x$とおくと、$\boxed{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$が成り立つ。
$\boxed{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$の解答群
⓪$x^a=b$　①$x^b=a$　②$a^x=b$
③$b^x=a$　④$a^b=x$　⑤$b^a=x$
(2)様々な対数の値が有理数か無理数かについて考えよう。
(i)$\log_5 25=\boxed{\ \ テ\ \ }$,　$\log_9 27=\displaystyle\frac{\boxed{\ \ ト\ \ }}{\boxed{\ \ ナ\ \ }}$であり、どちらも有理数である。
(ii)$\log_2 3$が有理数と無理数のどちらかであるかを考えよう。
$\log_2 3$が有理数であると仮定すると、$\log_2 3$＞0であるので、二つの自然数p, qを用いて$\log_2 3=\displaystyle\frac{p}{q}$と表すことができる。このとき、(1)により$\log_2 3=\displaystyle\frac{p}{q}$は$\boxed{\boxed{\ \ ニ\ \ }}$と変形できる。いま、2は偶数であり3は奇数であるので、$\boxed{\boxed{\ \ ニ\ \ }}$を満たす自然数p, qは存在しない。
したがって、$\log_2 3$は無理数であることがわかる。
(iii)a, bを2以上の自然数とするとき、(ii)と同様に考えると、「$\boxed{\boxed{\ \ ヌ\ \ }}$ならば$\log_a b$は常に無理数である」ことがわかる。
$\boxed{\boxed{\ \ ヌ\ \ }}$の解答群
⓪aが偶数　①bが偶数　②aが奇数　
③bが奇数　④aとbがともに偶数、またはaとbがともに奇数　⑤aとbのいずれか一方が偶数で、もう一方が奇数

2023共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
(4) $11^4$を$2^4$で割ったときの余りは1に等しい。不定方程式
$11^5x-2^5y=1$
の整数解のうち、$x$が正の整数で最小になるのは、$x=$テト, $y=$ナニヌネノである