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第26回仕事算④

例題
ある仕事をAとBで行いました。予定では初めの4日間を2人で、残りをBだけでやって、ちょうど8日間で終わる予定 でした。
しかし、実際は初めの5日間を2人で、残りをAだけでやって、 ちょうど10日間で終わりました。
2人でこの仕事を初めから終わりまですると何日目に終わり ますか。

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$\Large\boxed{4}$ a, bを実数とし、$f(x)$=$x$+$a\sin x$,　$g(x)$=$b\cos x$とする。
(1)定積分$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}$$f(x)g(x)dx$ を求めよ。
(2)不等式$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}$$\left\{f(x)+g(x)\right\}^2dx$≧$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}$$\left\{f(x)\right\}^2dx$ が成り立つことを示せ。
(3)曲線$y$=|$f(x)$+$g(x)$|、2直線$x$=$-\pi$, $x$=$\pi$、および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積をVとする。このとき不等式
V≧$\displaystyle\frac{2}{3}r^2$$(r^2-6)$
が成り立つことを示せ。さらに、等号が成立するときのa, bを求めよ。

2023筑波大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
5年生と6年生がそれぞれ何人かいます。いくつかのリンゴがあって、それを全員に5個ずつ配ると5個余ります。また、このリンゴを6年生だけに9個ずつ配ると6個余ります。6年生が5年生に比べて3人多いとき、5年生は何人いますか。

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桃山さんは毎日、家を8時に出て、学校まで自転車で通っています。
昨日は分速 140mで進んだところ、始業時刻に3分遅刻したので、
今日は分速 180mで進んだところ、始業時刻の1分前に学校に到着しました。

(1) 昨日と今日の登校にかかった時間の差は何分ですか。
(2) 昨日と今日の登校にかかった時間の比を最も簡単な整数の比で求めなさい。
(3) 始業時刻は何時何分ですか。
(4) 桃山さんの家から学校までの距離は何mですか。

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1~50の自然数の中で約数が3コである数は全部で何コ？

専修大学松戸高等学校