問題文全文(内容文)：
$x^2-4x-1=0$の2つの解を$\alpha, \beta(a \gt \beta),S_{n}=\alpha ^n+\beta ^n$

（1）
$S_{1},S_{2},S_{3}$を求めよ。
$S_{n}$を$S_{n-1}$と$S_{n-2}$で表せ

（2）
$\beta^3$以下の最大の整数を求めよ

（3）
$a^{2003}$以下の最大の整数の1の位の数を求めよ

出典：2003年東京大学　過去問

問題文全文(内容文)：

$\boxed{3}$

自然数$p$は$2$以上の定数とする。

$xy$平面上で不等式$x^2-py^2 \geqq -1$の表す領域

を$D$とする。

自然数$r$は、円$(x-p)^2+y^2=r$が領域$D$に

含まれるような最大のものとするとき、

次の問いに答えよ。

(1)$r$を$p$を用いて表せ。

(2) (1)のもとで、関係式$(x-p)^2+y^2=r$をみたす

互いに異なる素数の組$(x,y,p)$のうち、

$p$の値が最小となるものを求めよ。

$2025$年東京慈恵会医科大学医学部過去問題

問題文全文(内容文)：
$x-\displaystyle \frac{1}{x}=1$のとき、
$x^5+\displaystyle \frac{1}{x^5}$の値を求めよ。

出典:一橋大(1960)

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{5}$　点Oを原点とする座標平面において、点Aと点Bが$\overrightarrow{OA}$・$\overrightarrow{OA}$=5,　$\overrightarrow{OB}$・$\overrightarrow{OB}$=2,　$\overrightarrow{OA}$・$\overrightarrow{OB}$=3を満たすとする。
(1)$\overrightarrow{OB}$=$k\overrightarrow{OA}$　となるような実数$k$は存在しないことを示せ。
(2)点Bから直線OAに下ろした垂線とOAとの交点をHとする。$\overrightarrow{HB}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$を用いて表せ。
(3)実数$t$に対し、直線OA上の点Pを$\overrightarrow{OP}$=$t\overrightarrow{OA}$となるようにとる。同様に直線OB上の点Qを$\overrightarrow{OQ}$=(1-$t$)$\overrightarrow{OB}$となるようにとる。点Pを通り直線OAと直交する直線を$l_1$とし、点Qを通り直線OBと直交する直線を$l_2$とする。
$l_1$と$l_2$の交点をRとするとき、$\overrightarrow{OR}$を$\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{OB}$,$t$を用いて表せ。
(4)3点O,A,Bを通る円の中心をCとするとき、$\overrightarrow{OC}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$を用いて表せ。

問題文全文(内容文)：
$a \gt 0,\ a \neq 1$
$log\ a(x+2) \geqq log\ a^2(3x+16)$を解け

出典：2003年早稲田大学　入試問題