問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}1\mathrm{問}$
[1](1)$0\leqq \theta <2\pi$のとき
$\sin \theta >\sqrt{3}\cos (\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$　$\cdots$①
となる$\theta$の値の範囲を求めよう。
加法定理を用いると

$\sqrt{3}\cos (\theta -\frac{\pi }{3})=$${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}\cos \theta +{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}\sin \theta }}$

である。よって、三角関数の合成を用いると、①は

$\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}})<0$

と変形できる。したがって、求める範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}\pi <\theta <\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}\pi }$

である。

(2)$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とし、$k$を実数とする。$\sin \theta$と$\cos \theta$は$x$の2次方程式
$25x^2-35x+k=0$の解であるとする。このとき、解と係数の関係に
より$\sin \theta +\cos \theta$と$\sin \theta \cos \theta$の値を考えれば、$k=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}\mathrm{コ}}}$で
あることがわかる。

さらに、$\theta$が$\sin \theta \geqq \cos \theta$を満たすとすると、$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}},}$
$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}}$である。このとき、$\theta$は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}$を満たす。
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}$に当てはまるものを、次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。
⓪$0\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{12}}$

①${\displaystyle \frac{\pi }{12}\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{6}}}$

②${\displaystyle \frac{\pi }{6}\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}$

③${\displaystyle \frac{\pi }{4}\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{3}}}$

④${\displaystyle \frac{\pi }{3}\leqq \theta <{\displaystyle \frac{5}{12}\pi }}$

⑤${\displaystyle \frac{5}{12}\pi \leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}}$


[2](1)$t$は正の実数であり、$t^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}-t^{-{\displaystyle \frac{1}{3}}}=-3$を満たすとする。このとき

$t^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}+t^{-{\displaystyle \frac{2}{3}}}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}\mathrm{チ}}}$

である。さらに

$t^{\frac{1}{2}}+t^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}\mathrm{テ}}}},$$t-t^{-1}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}\mathrm{ナ}\mathrm{ニ}}}$

である。

(2)$x,y$は正の実数とする。連立方程式
$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{\log }_3(x\sqrt{y})\leqq 5 \cdots \mathrm{②}\\ {\log }_{81}\frac{y}{x^3}\leqq 1 \cdots \mathrm{③}\end{array}\end{array}$

について考える。
$X={\log }_{3}x,$　$Y={\log }_{3}y$とおくと、②は
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}}}X+Y\leqq \boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}\mathrm{ノ}}}$　$\cdots$④
と変形でき、③は
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ハ}}}X-Y\geqq \boxed{{\displaystyle \mathrm{ヒ}\mathrm{フ}}}$　$\cdots$⑤
と変形できる。
$X,Y$が④と⑤を満たすとき、$Y$の取り得る最大の整数の値は
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヘ}}}$である。また、$x,y$が②,③と${\log }_{3}y=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヘ}}}$を同時に
満たすとき、xの取り得る最大の整数の値は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ホ}}}$である。

2020センター試験過去問

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}4\mathrm{問}$
(1)$x$を循環小数$2.\dot{3}\dot{6}$とする。すなわち

$x=2.363636\cdots$

とする。このとき

$100\times x-x=236.\dot{3}\dot{6}-2.\dot{3}\dot{6}$

であるから、$x$を分数で表すと

$x={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}\mathrm{イ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}\mathrm{エ}}}}}$

である。

(2)有理数$y$は、7進法で表すと、二つの数字の並び$ab$が繰り返し現れる循環小数
$2.\dot{a}{\dot{b}}_{(7)}$になるとする。ただし、$a,$　$b$は$0$以上$6$以下の異なる整数である。
このとき
$49\times y-y=2ab.\dot{a}{\dot{b}}_{(7)}-2.\dot{a}{\dot{b}}_{(7)}$
であるから

$y={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}\mathrm{カ}}}+7\times a+b}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}\mathrm{ク}}}}}$

と表せる。
$(\text{i})y$が、分子が奇数で分母が$4$である分数で表されるのは
$y={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}{4}}$　または　$y={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}\mathrm{サ}}}}{4}}$
のときである。$y={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}\mathrm{サ}}}}{4}}$のときは、$7\times a+b=\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}\mathrm{ス}}}$であるから
$a=\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}},$　$b=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}$
である。

$(\text{ii})y-2$は、分子が$1$で分母が$2$以上の整数である分数で表されるとする。
このような$y$の個数は、全部で$\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}$個である。

2020センター試験過去問

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}1\mathrm{問}$
[1]$a$を定数とする。
(1)直線$l:y=(a^2-2a-8)x+a$　の傾きが負となるのは、$a$の値の範囲が

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}\mathrm{イ}}}<a<\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}$

のときである。

(2)$a^2-2a-8\ne 0$とし、(1)の直線$l$と$x$軸との交点の$x$座標を$b$とする。
$a>0$の場合、$b>0$となるのは$\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}<a<\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$のときである。
$a\leqq 0$の場合、$b>0$となるのは$a<\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}\mathrm{キ}}}$のときである。
また、$a=\sqrt{3}$のとき

$b=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}-\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}\mathrm{シ}}}}$

である。

[2]自然数$n$に関する三つの条件$p,q,r$を次のように定める。

$p:n$は$4$の倍数である
$q:n$は$6$の倍数である
$r:n$は$24$の倍数である

条件$p,q,r$の否定をそれぞれ$\overline{p},\overline{q},\overline{r}$で表す。
条件$p$を満たす自然数全体の集合を$P$とし、条件$q$を満たす自然数全体
の集合を$Q$とし、条件$r$を満たす自然数全体の集合を$R$とする。自然数全体
の集合を全体集合とし、集合$P,Q,R$の補集合をそれぞれ$\overline{P},\overline{Q},\overline{R}$で表す。

(1)次の$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}$に当てはまるものを、下の⓪～⑤のうちから一つ選べ。

$32\in \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}$である。
⓪$P\cap Q\cap R$　①$P\cap Q\cap \overline{R}$　②$P\cap \overline{Q}$
③$\overline{P}\cap Q$　④$\overline{P}\cap \overline{Q}\cap R$　⑤$\overline{P}\cap \overline{Q}\cap \overline{R}$

(2)次の$\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}$に当てはまるものを、下の⓪～④のうちから一つ選べ。

$P\cap Q$に属する自然数のうち最小のものは$\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}\mathrm{ソ}}}$である。
また、$\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}\mathrm{ソ}}}\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}R$である。

⓪=　①$\subset$　②$\supset$　③$\in$　④$\notin$

(3)次の$\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}$に当てはまるものを、下の⓪～③のうちから一つ選べ。

自然数$\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}\mathrm{ソ}}}$は、命題$\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}$の反例である。

⓪「($p$かつ$q$) $⟹\overline{r}$」　①「($p$または$q$) $⟹\overline{r}$」　
②「$r⟹$ ($p$かつ$q$)」　③「($p$かつ$q$) $⟹r$」　

[3]$c$を定数とする。2次関数$y=x^2$のグラフを、2点$(c,0),$　$(c+4,0)$
を通るように平行移動して得られるグラフを$G$とする。

(1)$G$をグラフにもつ2次関数は、$c$を用いて

$y=x^2-2(c+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}})x+$$c(c+\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}})$

と表せる。
$2$点$(3,0),$　$(3,-3)$を両端とする線分と$G$が共有点をもつような
$c$の値の範囲は

$-\boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}\leqq c\leqq \boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}},$　$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}}}\leqq c\leqq \boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}}}$

である。

(2)$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}}}\leqq c\leqq \boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}}}$の場合を考える。$G$が点$(3,-1)$を通る
とき、$G$は2次関数$y=x^2$のグラフを$x$軸方向に$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}}+\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ノ}}}}$。
$y$軸方向に$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ハ}\mathrm{ヒ}}}$だけ平行移動したものである。また、このとき
$G$と$y$軸との交点の$y$座標は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{フ}}}+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヘ}}}\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ホ}}}}$である。

2020センター試験過去問

問題文全文(内容文)：
上岡駿介先生がセンター試験数学IA,IIBの解説をします。

解説を聞いて、復習の参考にしましょう！

問題文全文(内容文)：
2018年度センター試験・数学ⅡB・過去問解説動画です