問題文全文(内容文)：
aを正の整数とする。$\theta$の方程式$ \sin(a\theta)+\sqrt3\cos(a\theta)=1$ ・・・(＊) がある。
(1)$\sin(\theta+\dfrac{\pi}{3}$)を$\sin\theta, \cos\theta$の式で表せ。
(2)$a=1$のとき、(＊)を$0\leqq\theta\lt 2\pi$において表せ。
(3)(＊)の$\theta\geqq 0$を満たすθのうち、小さい方から4つをaを用いて表せ。
(4)Nを正の整数とする。$0\leqq\lt 2\pi$において、(＊)の解がちょうど2N個存在するようなaの値の範囲をNを用いて表せ。

問題文全文(内容文)：
【１】
(1)　不等式$2| x-2|-x≦$4を解け。
(2)　関数$f(x)=\log_{ 2 } (x-1)+2\log_{ 4 } (3-2x)$の最大値を求めよ。
(3)　曲線$y=x^3+2x^2$とx軸によって囲まれた部分の面積を求めよ。
(4)　$\displaystyle \sum_{k=1}^n \displaystyle \frac{1}{4k^2-1}$をnを用いて表せ。
(5)　$OA=2，OB=3，∠AOB=60°$である三角形$OAB$において辺$AB$を$1:3$に内分する点を$C$とする。
(ⅰ)　$OC$を$OA,OB$を用いて表せ。
(ⅱ)　$|OC|$を求めよ。


【２】
1個のサイコロを繰り返し振る。$k$回目（$k=1,2,3,…$）に奇数の目が出たら、その目の数を$x_k$とし、偶数の目が出たら、その目の数を2で割った商を$x_k$とする。 $S_n=x_1+x_2+x_3+…+x_n$　($n=1，2，3，…$) と定める。
(1)　$S_1=3$ である確率、$S_2=6$ である確率をそれぞれ求めよ。
(2)　$S_4=12$　である確率を求めよ。
(3)　$S_4=12$　であったとき、$S_2=6$ である確率を求めよ。

【３】
$A$を正の定数とし、$0\leqq\theta\lt 2\pi$において、$\theta$の方程式 $a\sin2\theta-2a^2\cos\theta-\sin\theta+a=0$　　…（*） を考える。
(1)　$a=1$のとき、（＊）を解け。
(2)　（＊）がちょうど３つの解をもつような$a$の値を求めよ。
(3)　（＊）がちょうど４つの解をもつとする。４つの解のうち、最小のものを$\alpha$、最大のものを$\beta$とするとき、$\alpha+\beta$の値を求めよ。


【４】
$xy$平面上において、連立不等式 $x\geqq 0，y\geqq 0，x+y\leqq 1$ で表された領域を$D$とする。
(1)　点P($x，y$)が$D$上を動くとき $X=2x-6y，Y=5x+y$ によって定められる点$Q$（$X，Y$）が存在する領域を$XY$平面上図示せよ。
(2)　$a$を実数の定数とする。点$P$（$x，y$）が$D$上を動くとき 　　$(2x-6y-a)^2+(5x+y)^2$ の最大値を$a$を用いて表せ。


【５】
平面上に直線lとそれに接する半径1の円$C_1$がある。$C_1$の右側にあり、$C_1$と$l$に接する円を$C_2$とする。 $C_n$の中心を$A_n$，半径を$r_n，C_n$と$l$の接点を$B_n$とすると $A_nB_n：A_nA_(n+1)=1：p$ が成り立っている。ただし、$p$は$1\lt p\lt 2$を満たす定数とする。
(1)　$r_(n+1)$を$r_n$，$p$を用いて表し、$r_n$求めよ。 また、$Σr_n=3$となるような$p$の値を求めよ。
(2)　$p$を(1)で求めた値とする。
(ⅰ)　$\ B_nB_{n+1}$を求めよ
(ⅱ)　極限値$\displaystyle\lim_{n\to\infty}{B_1B_n}$を求めよ
(ⅲ)　$\alpha＝\displaystyle\lim_{n\to\infty}{B_1B_n}$とし、$\beta$を正の定数とする。　　　極限$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(B1Bn－\alpha)\beta n$が0以外の値に収束するよう$\beta$の値と、そのときの極限値を求めよ。


【６】
$a$を正の定数とし、$i$を虚数単位とする。複素数$z$に関する2つの方程式 $z^3=－8i$…①　　 $z^2－2az+8=0$…②　　 を考える。
(1)　①を満たす$z$について、$z$の極形式を $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)r\gt 0，0\leqq\theta\lt 2\pi$ と表すとき、$r,\theta$の値を求めよ。
(2)　②が異なる2つの虚数解$\alpha,\beta$を持ち、複素数平面上で3点$0,\alpha,\beta$を頂点とする三角形の面積が４であるとする。ただし、($\alpha$の虚部)>($\beta$の虚部)。 (ⅰ)　$a$の値と$\alpha,\beta$を求めよ。
(ⅱ)偏角を0以上$2\pi$未満の値で考えるとき，①の解のうち偏角が最大であるものを$γ$とする。複素数平面上で3点$\alpha,\beta,γ^n$を頂点とする三角形の内部に原点が存在するような正の整数$n$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
(1)$(a+3)^3$を展開せよ。
(2)$\dfrac{x-3}{x²+x} +\dfrac{x+9}{x^2+3x}$を計算せよ。
(3)2次関数$y=x^2+2x (-2\leqq x\leqq 2)$における最大値をM、最小値をmとして、$M-m$を求めよ。
(4)iを虚数単位とする。$\dfrac{7+3i}{1+i}$を$a+bi$ (a,bは実数の形で表せ。 )
(5)$0°\leqq\theta\lt 180°、\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{1}{2}$のとき、$\sin\theta・\cos\theta$と$\cos\theta-\sin\theta$を求めよ。
(6)異なる5冊の本をAとBの2人に分けるとき、1冊ももらわない人がいてもよいな らば、分け方は何通りか。 また、区別のつかない5冊のノートをAとBの2人に分けるとき、1冊ももらわない 人がいてもよいならば、分け方は何通りか。

問題文全文(内容文)：
aを実数の定数とする。xの3次式 $P(x)=x^3+3x^2+3x+a$ があり、$P(-2)=0$を満たす。
(1)aの値を求めよ。
(2)方程式$P(x)=0$を解け。
(3)方程式$P(x)=0$の虚数解のうち、虚部が正であるものを$\alpha$、虚部が負であるもの を$\beta$と表す。また、方程式$P(x)=0$の実数解を$γ$と表す。さらに、$A=\alpha+1、B=\beta+1、 C=γ+1$とする。
(i)$A^2+B^2、A^3、B^3$の3つの値をそれぞれ求めよ。
(ii)nを2020以下の正の整数とする。$A^n+B^n+C^n=0$を満たすnの個数を求めよ。

問題文全文(内容文)：
aは実数の定数とし、$0\leqq\theta\lt 2\pi$とする。次の2つの式を考える。
$8a\cos\theta- 8\cos2\theta=a^2+7$…①
$\sin\theta-\cos\theta\gt-1$…②
(1)a=1のとき、方程式①を解け。
(2)不等式②を 解け。
(3)(2)で求めた範囲に①の異なる解がちょうど3個存在するようなaの値の 範囲を求めよ。