問題文全文(内容文)：
三角形ABCがあり、辺ABを1:2に内分する点をD、辺BCを1:3に内分する点をE、三 角形ABCの重心をGとする。
(1)AD, AE, AGをそれぞれAB, ACを用いて表せ。
(2)$GF=tAB$(tは実数)と表される点Fがある。
(i)AFをt,AB,ACを用いて表せ。
(ii)さらに、FがDF=uDE(uは実数)を満たすとき、t,uの値を求めよ。
(3)$AB=\sqrt3,AB・AC=-1,AC=\sqrt7$とし、Gから直線ABに下した垂線と直線ABとの交点をH とする。 (i)$AH=kAB$(kは実数)とおくとき、kの値を求めよ。
(ii)Fが(2)(ii)の点であるとき、4点D,F,G,Hを頂点とする四角形の面積を求めよ。

問題文全文(内容文)：
aは実数の定数とし、$0\leqq\theta\lt 2\pi$とする。次の2つの式を考える。
$8a\cos\theta- 8\cos2\theta=a^2+7$…①
$\sin\theta-\cos\theta\gt-1$…②
(1)a=1のとき、方程式①を解け。
(2)不等式②を 解け。
(3)(2)で求めた範囲に①の異なる解がちょうど3個存在するようなaの値の 範囲を求めよ。

問題文全文(内容文)：
Oを原点とする座標平面上に点Pがある。最初、Pは原点Oにあり、1個のサイコロ を1回投げるごとに次の(規則)に従ってPを動かす。 (規則) ・1,2いずれかの目が出たときはx軸の正の方向に1だけ動かす。 ・3の目が出たときはx軸の正の方向に2だけ動かす。 ・4,5,6いずれかの目が出たときはy軸の正の方向に1だけ動かす。 例えば、さいころを2回投げて、1回目に2の目、2回目に5の目が出たとき、Pは O(0,0)→点(1,0)→点(1,1) と動く。
(1)サイコロを3回投げたとき、Pの座標が(3,0)である確率を求めよ。
(2)サイコロを3回投げたとき、Pのy座標が2である確率を求めよ。
(3)サイコロを6回投げたとき、Pの座標が(5,2)である確率を求めよ。
(4)サイコロを6回投げたとき、Pのx座標が5であったという条件のもとで、Pのy 座標が2である条件付き確率を求めよ。

問題文全文(内容文)：
【１】
(1)　不等式$2| x-2|-x≦$4を解け。
(2)　関数$f(x)=\log_{ 2 } (x-1)+2\log_{ 4 } (3-2x)$の最大値を求めよ。
(3)　曲線$y=x^3+2x^2$とx軸によって囲まれた部分の面積を求めよ。
(4)　$\displaystyle \sum_{k=1}^n \displaystyle \frac{1}{4k^2-1}$をnを用いて表せ。
(5)　$OA=2，OB=3，∠AOB=60°$である三角形$OAB$において辺$AB$を$1:3$に内分する点を$C$とする。
(ⅰ)　$OC$を$OA,OB$を用いて表せ。
(ⅱ)　$|OC|$を求めよ。


【２】
1個のサイコロを繰り返し振る。$k$回目（$k=1,2,3,…$）に奇数の目が出たら、その目の数を$x_k$とし、偶数の目が出たら、その目の数を2で割った商を$x_k$とする。 $S_n=x_1+x_2+x_3+…+x_n$　($n=1，2，3，…$) と定める。
(1)　$S_1=3$ である確率、$S_2=6$ である確率をそれぞれ求めよ。
(2)　$S_4=12$　である確率を求めよ。
(3)　$S_4=12$　であったとき、$S_2=6$ である確率を求めよ。

【３】
$A$を正の定数とし、$0\leqq\theta\lt 2\pi$において、$\theta$の方程式 $a\sin2\theta-2a^2\cos\theta-\sin\theta+a=0$　　…（*） を考える。
(1)　$a=1$のとき、（＊）を解け。
(2)　（＊）がちょうど３つの解をもつような$a$の値を求めよ。
(3)　（＊）がちょうど４つの解をもつとする。４つの解のうち、最小のものを$\alpha$、最大のものを$\beta$とするとき、$\alpha+\beta$の値を求めよ。


【４】
$xy$平面上において、連立不等式 $x\geqq 0，y\geqq 0，x+y\leqq 1$ で表された領域を$D$とする。
(1)　点P($x，y$)が$D$上を動くとき $X=2x-6y，Y=5x+y$ によって定められる点$Q$（$X，Y$）が存在する領域を$XY$平面上図示せよ。
(2)　$a$を実数の定数とする。点$P$（$x，y$）が$D$上を動くとき 　　$(2x-6y-a)^2+(5x+y)^2$ の最大値を$a$を用いて表せ。


【５】
平面上に直線lとそれに接する半径1の円$C_1$がある。$C_1$の右側にあり、$C_1$と$l$に接する円を$C_2$とする。 $C_n$の中心を$A_n$，半径を$r_n，C_n$と$l$の接点を$B_n$とすると $A_nB_n：A_nA_(n+1)=1：p$ が成り立っている。ただし、$p$は$1\lt p\lt 2$を満たす定数とする。
(1)　$r_(n+1)$を$r_n$，$p$を用いて表し、$r_n$求めよ。 また、$Σr_n=3$となるような$p$の値を求めよ。
(2)　$p$を(1)で求めた値とする。
(ⅰ)　$\ B_nB_{n+1}$を求めよ
(ⅱ)　極限値$\displaystyle\lim_{n\to\infty}{B_1B_n}$を求めよ
(ⅲ)　$\alpha＝\displaystyle\lim_{n\to\infty}{B_1B_n}$とし、$\beta$を正の定数とする。　　　極限$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(B1Bn－\alpha)\beta n$が0以外の値に収束するよう$\beta$の値と、そのときの極限値を求めよ。


【６】
$a$を正の定数とし、$i$を虚数単位とする。複素数$z$に関する2つの方程式 $z^3=－8i$…①　　 $z^2－2az+8=0$…②　　 を考える。
(1)　①を満たす$z$について、$z$の極形式を $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)r\gt 0，0\leqq\theta\lt 2\pi$ と表すとき、$r,\theta$の値を求めよ。
(2)　②が異なる2つの虚数解$\alpha,\beta$を持ち、複素数平面上で3点$0,\alpha,\beta$を頂点とする三角形の面積が４であるとする。ただし、($\alpha$の虚部)>($\beta$の虚部)。 (ⅰ)　$a$の値と$\alpha,\beta$を求めよ。
(ⅱ)偏角を0以上$2\pi$未満の値で考えるとき，①の解のうち偏角が最大であるものを$γ$とする。複素数平面上で3点$\alpha,\beta,γ^n$を頂点とする三角形の内部に原点が存在するような正の整数$n$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
大問1
(1)　袋の中に5枚のコインが入っており、そのうち2枚には両面にAが書かれており、残り3枚には片面にA、もう一方の面にBが書かれている。
(ⅰ)袋から無作為にコインを1枚選び、選んだコインを投げたとき、Aが書かれた面が上になる確率を求めよ。
(ⅱ)袋から無作為にコインを1枚選び、選んだコインを投げたとき、Aが書かれた面が上になった。このとき、下の面にもAが書かれている確率を求めよ。
(2)　多項式$(x-1)^{99}$を$x^2$で割った時の余りを求めよ。また、整数$99^{99}$を10000で割った時の余りを求めよ。
(3)　$12^{12}$の桁数を求めよ。
(4)$\displaystyle z=\frac{-\sqrt{3}+i}{1+i}$とする。
(ⅰ)zを極形式で表せ。
(ⅱ)nを正の整数とする。$z^n$が実数となるような最小のnを求めよ。

大問2
　数列${a_n}$の初項$a_1$から第n項$a_n$までの和を$S_n$、数列${b_n}$の初項$b_1$から第n項$b_n$までの和を$T_n$をとするとき
$a_1=2、b_1=0、a_{n+1}=2T_n+2、b_{n+1}=2S_n$　が成り立つ。
(1)　$a_2、b_2$を求めよ
(2)　$a_{n+1}、b_{n+1}$を$a_n、b_n$を用いて表せ。
(3)　一般項$a_n$を求めよ。

大問3
　aは実数の定数とし、関数f(x)を
$f(x)=e^{-x}(a-sinx-cosx)　(0＜x＜2π)$により定める。
(1)f(x)が極値を持つとき、aの値の範囲を求めよ。
(2)f(x)が極値を2つ持つときを考える。極値の積が負となるとき、aの値の範囲を求めよ。また、極値の積が$\displaystyle \frac{-e^{-3π}}{2}$となるときのaの値を全て求めよ。

大問4
AB=1、AC=3、BC=$2\sqrt{3}$である三角形ABCがある。$\overrightarrow{AB}=\vec{b}、\overrightarrow{AC}=\vec{c}$とする。
(1)　内積$\vec{b}･\vec{c}$の値を求めよ。
(2)　s,tを実数とし、$\overrightarrow{AP}=s\vec{b}+t\vec{c}$とする。AB⊥BP、AC⊥CPであるとき、s,tの値を求め、さらに｜$\overrightarrow{AP}$｜を求めよ。
(3)点Qが三角形ABCの外接円上を動くとき、三角形BCQの面積を最大にするQを$Q_0$とする。$\overrightarrow{AQ_0}$を$\vec{b},\vec{c}$を用いて表せ。

大問5
　$0≦x＜π$において定義された関数
$f(x)=\displaystyle \frac{2sinx}{1+cosx}、g(x)=\frac{\sqrt{3}}{1+cosx}$　
があり、曲線y=f(x)を$C_1$、曲線y=g(x)を$C_2$とする。
(1)　$C_1、C_2$の共有点のx座標を求めよ
(2)(ⅰ)不定積分$\int f(x)dx$を求めよ
(ⅱ)$tan\frac{2}{x}$の導関数をcosxを用いて表せ
(3)$C_1、C_2$およびy軸の3つで囲まれる部分の面積を$S_1$とし、$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする。$S_1$と$S_2$の大小を比較せよ。ただし、自然対数の底eについて、2.7＜e＜2.8であることは用いてよい。

大問6
正の整数Nを3で割った時の余りは2である。
(1)正の整数a,bを3で割った時の余りをそれぞれ$r_a、r_b$とする。ab=Nが成り立つとき、$r_a、r_b$の組をすべて求めよ。
(2)Nの正の約数の総和を3で割った時の余りを求めよ。
(3)Nの正の約数の逆数の総和を$\displaystyle \frac{q}{p}$（ただし、pとqはともに正の整数で最大公約数は1である）と表したとき、qは3の倍数であることを示せ。