問題文全文(内容文)：
${\large第3問}$
中にくじが入っている箱が複数あり、各箱の外見は同じであるが、当たりくじ
を引く確率は異なっている。くじ引きの結果から、どの箱からくじを引いた可能
性が対価を、条件付き確率を用いて考えよう。

(1)当たりくじを引く確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$である箱Aと、当たりくじを引く確率が$\displaystyle \frac{1}{3}$
である箱$B$の二つの箱の場合を考える。

$(\textrm{i})$各箱で、くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したとき
箱Aにおいて、3回中ちょうど1回当たる確率は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }}$　$\cdots$①
箱Bにおいて、3回中ちょうど1回当たる確率は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }}{\boxed{\ \ エ\ \ }}$　$\cdots$②
である。

$(\textrm{ii})$まず、AとBのどちらか一方の箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱
において、くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したところ、3
回中ちょうど1回当たった。このとき、箱Aが選ばれる事象をA、箱Bが
選ばれる事象をB、3回中ちょうど1回当たる事象をWとすると
$P(A \cap W)=\displaystyle \frac{1}{2}×\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }},$$　P(B \cap W)=\displaystyle \frac{1}{2}×\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }}{\boxed{\ \ エ\ \ }}$
である。$P(W)=P(A \cap W)+P(B \cap W)$であるから。3回中ちょうど1
回当たった時、選んだ箱がAである条件付き確率$P_W(A)$は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ オカ\ \ }}{\boxed{\ \ キク\ \ }}$と
なる。また、条件付き確率は$P_W(B)$は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ケコ\ \ }}{\boxed{\ \ サシ\ \ }}$となる。
(2)(1)の$P_W(A)$と$P_W(B)$について、次の事実(*)が成り立つ。

事実(*)
$P_W(A)$と$P_W(B)$の$\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$は、①の確率と②の確率の$\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$
に等しい。

$\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$の解答群
⓪和　①2乗の和　②3乗の和　③比　④積

(3)花子さんと太郎さんは事実(*)について話している。
花子:事実(*)はなぜ成り立つのかな?
太郎:$P_W(A)$と$P_W(B)$を求めるのに必要な$P(A \cap W)$と$P(B \cap W)$
の計算で、①,②の確率に同じ数$\displaystyle \frac{1}{2}$をかけているからだよ。
花子:なるほどね。外見が同じ三つの箱の場合は、同じ数$\displaystyle \frac{1}{3}$をかける
ことになるので、同様のことが成り立ちそうだね。

当たりくじを引く確率が、$\displaystyle \frac{1}{2}$である箱$A$、$\displaystyle \frac{1}{3}$である箱$B$、$\displaystyle \frac{1}{4}$である箱
$C$の三つの箱の場合を考える。まず、$A,B,C$のうちどれか一つの箱
をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱において、くじを1本引いては
もとに戻す試行を3回繰り返したところ、3回中ちょうど1回当たった。
このとき、選んだ箱がAである条件付き確率は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ セソタ\ \ }}{\boxed{\ \ チツテ\ \ }}$となる。

(4)花子:どうやら箱が三つの場合でも、条件付き確率の$\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$は各箱で
3回中ちょうど1回当たりくじを引く確率の$\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$になっている
みたいだね。
太郎:そうだね。それを利用すると、条件付き確率の値は計算しなくて
も、その大きさを比較することができるね。

当たりくじを引く確率が、$\displaystyle \frac{1}{2}$である箱$A$、$\displaystyle \frac{1}{3}$である箱$B$、$\displaystyle \frac{1}{4}$である箱
$C$、$\displaystyle \frac{1}{5}$である箱$D$の四つの箱の場合を考える。まず、$A,B,C,D$のうち
どれか一つの箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱において、くじを
1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したところ、3回中ちょうど
1回当たった。このとき、条件付き確率を用いて、どの箱からくじを
引いた可能性が高いかを考える。可能性が高い方から順に並べると
$\boxed{\boxed{\ \ ト\ \ }}$となる。
$\boxed{\boxed{\ \ ト\ \ }}$の解答群
⓪$A,B,C,D$
①$A,B,D,C$
②$A,C,B,D$
③$A,C,D,B$
④$A,D,B,C$
⑤$B,A,C,D$
⑥$B,A,D,C$
⑦$B,C,A,D$
⑧$B,C,D,A$

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
受験生応援動画です。

問題文全文(内容文)：
【共通テスト】数学IA 第1問で満点取る思考回路、解説
（1）
実数$x$についての不等式$|x+6| \leqq 2$の解は[アイ]$ \leqq x \leqq $[ウエ]である。
よって実数$a,b,c,d$が$|(1-\sqrt{ 3 }(a-b)(c-d)+6|\leqq 2$を満たしているとき、
$1-\sqrt{ 3 }$は負であることに注意すると、$(a-b)(c-d)$のとり得る値の範囲は
[オ]+[カ]$\sqrt{ 3 } \leqq (a-b)(c-d) \leqq$[キ]+[ク]$\sqrt{ 3 }$であることがわかる。
$(a-b)(c-d)=$[キ]+[ク]$\sqrt{ 3 }$・・・・①

であるとき、さらに

$(a-b)(c-d)=-3+\sqrt{ 3 }$・・・・②

が成り立つならば

$(a-b)(c-d)=$[ケ]+[コ]$\sqrt{ 3 }$・・・・③

であることが、等式①、②、③の左辺を展開して比較することによりわかる。


（2）
点Oを中心とし、半径が5である円0がある。
この円周上に2点A,BをAB=6となるようにとる。
また、円Oの円周上に、2点A,Bとは異なる点Cをとる。
①$\sin \angle ACB =$[サ]である。また、点Cを$\angle ACB$が純角となるようにとるとき、$\cos \angle ACB =$[シ]である。

②点Cを$\triangle ABC$の面積が最大となるようにとる。点Cから直角ABに垂直な直線を引き、直線ABとの交点をDとするとき、$\tan \angle OAD =$[ス]である。
　また、$\triangle ABC$の面積は[セソ]である。

問題文全文(内容文)：
${\large第2問}$
[1]　花子さんと太郎さんのクラスでは、文化祭でたこ焼き店を出店することになった。
二人は1皿当たりの価格をいくらにするかを検討している。次の表は、過去の文化祭で
のたこ焼き店の売り上げデータから、1皿あたりの価格と売り上げ数の関係を
まとめたものである。

$\scriptsize{\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline 1皿あたりの価格(円) & 200 & 250 & 300\\
\hline 売り上げ数(皿) & 200 & 150 & 100\\\hline
\end{array}}$

(1)まず、二人は、上の表から、1皿あたりの価格が50円上がると売り上げ数が
50皿減ると考えて、売り上げ数が1皿あたりの価格の1次関数で表される
と仮定した。このとき、1皿あたりの価格を$x$円とおくと、売り上げ数は
$\boxed{\ \ アイウ\ \ }-x$　$\cdots$①

と表される。

(2)次に、二人は、利益の求め方について考えた。
花子:利益は、売り上げ金額から必要な経費を引けば求められるよ。
太郎:売上金額は、1皿あたりの価格と売り上げ数の積で求まるね。
花子:必要な経費は、たこ焼き用器具の賃貸料と材料費の合計だね。
材料費は、売り上げ数と1皿あたりの材料費の積になるね。

二人は、次の三つの条件のもとで、1皿あたりの価格xを用いて
利益を表すことにした。

(条件1)　1皿あたりの価格がx円のときの売り上げ数として①を用いる。
(条件2)　材料は、①により得られる売り上げ数に必要な分量だけ仕入れる。
(条件3)　1皿あたりの材料費は160円である。たこ焼き用器具の賃貸料は
6000円である。材料費とたこ焼き用器具の賃貸料以外の経費はない。

利益は$y$円とおく。$y$を$x$の式で表すと
$y=-x^2+\boxed{\ \ エオカ\ \ }x$$-\boxed{\ \ キ\ \ }×10000$　$\cdots$②
である。

(3)太郎さんは利益を最大にしたいと考えた。②を用いて考えると、利益
が最大になるのは1個あたりの価格が$\boxed{\ \ クケコ\ \ }$円のときであり、
そのときの利益は$\boxed{\ \ サシスセ\ \ }$円である。

(4)花子さんは、利益を7500円以上となるようにしつつ、できるだけ安い
価格で提供したいと考えた。②を用いて考えると、利益が7500円以上となる
1皿あたりの価格のうち、最も安い価格は$\boxed{\ \ ソタチ\ \ }$円となる。

[2]　総務省が実施している国勢調査では都道府県ごとの総人口が調べられており、
その内訳として日本人人口と外国人人口が公表されている。また、外務省では旅券
(パスポート)を取得した人数を都道府県ごとに公表している。加えて
文部科学省では都道府県ごとの小学校に在籍する児童数を公表している。
そこで、47都道府県の、人口1万人あたりの外国人人口(以下、外国人数)、
人口1万人当たりの小学校児童数(以下、小学生数)、また、日本人1万人あたり
の旅券を取得した人数(以下、旅券取得者数)を、それぞれ計算した。
次の$(\textrm{I}),(\textrm{II}),(\textrm{III})$は図1(動画参照)の散布図に関する記述
である。

$(\textrm{I})$小学生数の四分位範囲は、外国人数の四分位範囲より大きい。
$(\textrm{II})$旅券取得者数の範囲は、外国人数の範囲より大きい。
$(\textrm{III})$旅券取得者数と小学生数の相関係数は、旅券取得者数と外国人数
の相関係数より大きい。

$(\textrm{I}),(\textrm{II}),(\textrm{III})$の正誤の組み合わせとして正しいものは$\boxed{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$である。
$(\boxed{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$の解答群は動画参照)


(2)一般に、度数分布表
$\tiny{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
階級値 & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & \cdots & x_k & 計\\\hline
度数 & f_1 & f_2 & f_3 & f_4 & \cdots & f_k & n\\\hline
\end{array}}$

が与えられていて、各階級に含まれるデータの値がすべてその階級値に
等しいと仮定すると、平均値$\bar{x}$は
$\bar{x}=\displaystyle \frac{1}{n}(x_1f_1+x_2f_2$$+x_3f_3+x_4f_4+\cdots+x_kf_k)$

で求めることができる。さらに階級の幅が一定で、その値が$h$のときは
$x_2=x_1+h,　x_3=x_1+2h,　$$x_4=x_1+3h,　\cdots,　$$x_k=x_1+(k-1)h$
に注意すると
$\bar{x}=\boxed{\boxed{\ \ テ\ \ }}$
と変形できる。

$\boxed{\boxed{\ \ テ\ \ }}$については、最も適当なものを、次の⓪～④のうちから一つ
選べ。
⓪$\displaystyle \frac{x_1}{n}(f_1+f_2+f_3+f_4+\cdots+f_k)$
①$\displaystyle \frac{h}{n}(f_1+2f_2+3f_3$$+4f_4+\cdots+kf_k)$
②$x_1+\displaystyle \frac{h}{n}(f_2+f_3+f_4+\cdots+f_k)$
③$x_1+\displaystyle \frac{h}{n}(f_2+2f_3$$+3f_4+\cdots+(k-1)f_k)$
④$\displaystyle \frac{1}{2}(f_1+f_k)x_1-\displaystyle \frac{1}{2}(f_1+kf_k)$

図2は、2008年における47都道府県の旅券取得者数のヒストグラムである。
なお、ヒストグラムの各階級の区間は、左側の数値を含み、右側の数値を
含まない。

図2(※動画参照)のヒストグラムに関して、各階級に含まれるデータの値が
すべてその階級値に等しいと仮定する。このとき、平均値$\bar{x}$は小数第1位を
四捨五入すると$\boxed{\ \ トナニ\ \ }$である。

(3)一般に、度数分布表
$\scriptsize{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
階級値 & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & \cdots & x_k & 計\\\hline
度数 & f_1 & f_2 & f_3 & f_4 & \cdots & f_k & n\\\hline
\end{array}}$

が与えられていて、各階級に含まれるデータの値が全てその階級値に
等しいと仮定すると、分散$s^2$は
$s^2=\displaystyle \frac{1}{n}\left\{(x_1-\bar{x})^2f_1+(x_2-\bar{x})^2f_2+\cdots+(x_k-\bar{x})^2f_k\right\}$
で求めることができる。さらにs^2は
$s^2=\displaystyle \frac{1}{n} \left\{(x_1^2f_1+x_2^2f_2+\cdots+x_k^2f_k)-2\bar{x}× \boxed{\boxed{\ \ ヌ\ \ }}+(\bar{x})^2×\boxed{\boxed{\ \ ネ\ \ }}\right\}$

と変形できるので
$s^2=\displaystyle \frac{1}{n}(x_1^2f_1$$+x_2^2f_2+\cdots+x_k^2f_k)-\boxed{\boxed{\ \ ノ\ \ }}$　$\cdots$①
である。
$\boxed{\boxed{\ \ ヌ\ \ }}～\boxed{\boxed{\ \ ノ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい)
⓪$n$
①$n^2$
②$\bar{x}$
③$n\bar{x}$
④$2n\bar{x}$
⑤$n^2\bar{x}$
⑥$(\bar{x})^2$
⑦$n(\bar{x})^2$
⑧$2n(\bar{x})^2$
⑨$3n(\bar{x})^2$

図3(※動画参照)は図2を再掲したヒストグラムである。


図3のヒストグラムに関して、各階級に含まれるデータの値が全て
その階級値に等しいと仮定すると、平均値$\bar{x}$は(2)で求めた$\boxed{\ \ トナニ\ \ }$
である。$\boxed{\ \ トナニ\ \ }$の値と式①を用いると、分散$s^2$は$\boxed{\boxed{\ \ ハ\ \ }}$である。

$\boxed{\boxed{\ \ ハ\ \ }}$については、最も近いものを、次の⓪～⑦のうちから一つ選べ。
⓪$3900$　①$4900$　②$5900$　③$6900$
④$7900$　⑤$8900$　⑥$9900$　⑦$10900$

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
平面上の点Oを中心とする半径1の円周上に、3点A,B,Cがあり、
$\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }=-\frac{2}{3}および\overrightarrow{ OC }=-\overrightarrow{ OA }$を満たすとする。tを$0 \lt t \lt 1$を満たす
実数とし、線分ABを$t:(1-t)$に内分する点をPとする。
また、直線OP上に点Qをとる。

(1)$\cos\angle AOB=\frac{\boxed{\ \ アイ\ \ }}{\boxed{\ \ ウ\ \ }}$　である。
また、実数$k$を用いて、$\overrightarrow{ OQ }=k\overrightarrow{ OP }$と表せる。したがって
$\overrightarrow{ OQ }=\boxed{\ \ エ\ \ }\ \overrightarrow{ OA }+\boxed{\ \ オ\ \ }\ \overrightarrow{ OB }　　\ldots\ldots\ldots\ldots①$
$\overrightarrow{ CQ }=\boxed{\ \ カ\ \ }\ \overrightarrow{ OA }+\boxed{\ \ キ\ \ }\ \overrightarrow{ OB }$
となる。
$\overrightarrow{ OA }$と$\overrightarrow{ OP }$が垂直となるのは、$t=\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$　のときである。

$\boxed{\ \ エ\ \ }　～　\boxed{\ \ キ\ \ }$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$kt$　　①$(k-kt)$　　②$(kt+1)$
③$(kt-1)$　④$(k-kt+1)$　　⑤$(k-kt-1)$

以下、$t \neq \frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$とし、$\angle OCQ$が直角であるとする。

(2)$\angle OCQ$が直角であることにより、(1)のkは
$k=\frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }\ t-\boxed{\ \ シ\ \ }}　\ldots②$
となることがわかる。

平面から直線OAを除いた部分は、直線OAを境に二つの部分に分けられる。
そのうち、点Bを含む部分を$D_1$、含まない部分を$D_2$とする。また、平面
から直線OBを除いた部分は、直線OBを境に二つの部分に分けられる。
そのうち、点Aを含む部分を$E_1$、含まない部分を$E_2$とする。
・$0 \lt t \lt \frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$ならば、点Qは$\boxed{\ \ ス\ \ }$。
・$\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }} \lt t \lt 1$ならば、点Qは$\boxed{\ \ セ\ \ }$。

$\boxed{\ \ ス\ \ }、\boxed{\ \ セ\ \ }$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$D_1$に含まれ、かつ$E_1$に含まれる
①$D_1$に含まれ、かつ$E_2$に含まれる
②$D_2$に含まれ、かつ$E_1$に含まれる
③$D_2$に含まれ、かつ$E_2$に含まれる

(3)太郎さんと花子さんは、点Pの位置と$|\overrightarrow{ OQ }|$の関係について考えている。
$t=\frac{1}{2}$のとき、①と②により、$|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$とわかる。

太郎:$t\neq \frac{1}{2}$のときにも、$|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$となる場合があるかな。
花子:$|\overrightarrow{ OQ }|$を$t$を用いて表して、$|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$
を満たすtの値について考えればいいと思うよ。
太郎:計算が大変そうだね。
花子:直線OAに関して、$t=\frac{1}{2}$のときの点Qと対称な点をRとしたら
$|\overrightarrow{ OR }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$となるよ。
太郎:$\overrightarrow{ OR }$を$\overrightarrow{ OA }$と$\overrightarrow{ OB }$を用いて表すことができれば、
tの値が求められそうだね。

直線OAに関して、$t=\frac{1}{2}$のときの点Qと対称な点をRとすると
$\overrightarrow{ CR }=\boxed{\ \ タ\ \ }\ \overrightarrow{ CQ }$
$=\boxed{\ \ チ\ \ }\ \overrightarrow{ OA }+\boxed{\ \ ツ\ \ }\ \overrightarrow{ OB }$
となる。
$t\neq \frac{1}{2}$のとき、$|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$となるtの値は$\frac{\boxed{\ \ テ\ \ }}{\boxed{\ \ ト\ \ }}$である。

2021共通テスト数学過去問