問題文全文(内容文)：
一辺の長さが1である立方体QACB-CFGEを考える。
$\overrightarrow{ OA } = \overrightarrow{ a },\ \overrightarrow{ OB } $
$= \overrightarrow{ b },\ \overrightarrow{ OC } = \overrightarrow{ c },$ とおき、実数s,tに対し
点P,Qを
$\overrightarrow{ OP } =(1-s)\overrightarrow{ a } +s\ \overrightarrow{ b }+$
$s\ \overrightarrow{ c },\ \ \overrightarrow{ OQ } =\overrightarrow{ a } +t\ \overrightarrow{ b }+(1-t)\ \overrightarrow{ c }$
を満たす点とする。
(1)点Pは直線$\boxed{あ}$上にあり、点Qは直線$\boxed{い}$上にある。
(2)直線$\boxed{あ}$と直線$\boxed{い}$とは$\boxed{う }$

$\boxed{う}$の選択肢
$(\textrm{a})$一致する $(\textrm{b})$平行である $(\textrm{c})$直交する $(\textrm{d})$交わるが直交しない。
$(\textrm{e})$ねじれの位置にあって垂直である $(\textrm{f})$ねじれの位置にあって垂直でない。

(3)線分PQの長さは、$s=\boxed{え},\ t=\boxed{お}$のとき最小値をとり、
このとき$PQ^2=\boxed{か}$である。

$\boxed{え}\ \boxed{お}\ \boxed{か}$の選択肢
$(\textrm{a})0\ \ \ (\textrm{b})\frac{1}{6}\ \ \ (\textrm{c})\frac{1}{4}\ \ \ (\textrm{d})\frac{1}{3}$
$(\textrm{e})\frac{1}{2}\ \ \ (\textrm{f})\frac{2}{3}\ \ \ (\textrm{g})\frac{3}{4}\ \ \ (\textrm{h})1$
$(\textrm{i})\frac{4}{3}\ \ \ (\textrm{j})\frac{3}{2}\ \ \ (\textrm{k})2\ \ \ (\textrm{l})3$

(4)$s,t$が$0 \leqq s \leqq 1,\ 0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき、線分PQの中点Mの動く領域は
$\boxed{き}$であり、その面積は$\frac{\sqrt{\boxed{オ}}}{\boxed{カ}}$である。

$\boxed{き}$の選択肢
$(\textrm{a})$正三角形 $(\textrm{b})$直角二等辺三角形 $(\textrm{c})$直角二等辺三角形でない直角三角形
$(\textrm{d})$直角二等辺三角形でない直角三角形でもない三角形 $(\textrm{e})$正方形 $(\textrm{f})$正方形でない長方形
$(\textrm{g})$長方形でない平行四辺形 $(\textrm{h})$並行四辺形でない四角形$(\textrm{i})$五角形$(\textrm{i})$六角形
(5)$s,t$が$0 \leqq s \leqq 1,\ 0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき、線分PQが通過する領域の体積は
$\frac{\boxed{キ}}{\boxed{ク}}$である。

2022上智大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ 点O, A, B, Cを頂点とする四面体OABCを考える。辺OA, OB, OCの中点をそれぞれP, Q, Rとし、辺BC, CA, ABの中点をそれぞれS, T, Uとする。
(1)辺PS, QT, RUが1点で交わることを示せ。
(2)$OA^2$+$BC^2$=$OB^2$+$CA^2$=$OC^2$+$AB^2$ のとき、点P, Q, R, S, T, Uが同一球面上にあることを示せ。
(3)(2)において、辺PSが辺OA, BCと直交するとし、辺OA, BCの長さをそれぞれ$a$, $k$とする。点P, Q, R, S, T, Uを頂点とする八面体の体積$V$を$a$と$k$を用いて表せ。
(4)(3)において、$k$=1のとき八面体の体積$V$の最大値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
${\large第4問}$
点$O$を原点とする座標空間に2点
$A(3,　3,　-6),$　$B(2+2\sqrt3,$　$2-2\sqrt3,　-4)$
をとる。3点$O,A,B$の定める平面を$\alpha$とする。また、$\alpha$に含まれる点$C$は

$\overrightarrow{ OA } \bot \overrightarrow{ OC },$　$\overrightarrow{ OB }・\overrightarrow{ OC }=24$　$\cdots$①

を満たすとする。

(1)　$|\overrightarrow{ OA }|=\boxed{\ \ ア\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ イ\ \ }},$　$|\overrightarrow{ OB }|=\boxed{\ \ ウ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ エ\ \ }}$であり、
$\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }=\boxed{\ \ オカ\ \ }$である。

(2)点$C$は平面$\alpha$上にあるので、実数$s,$　$t$を用いて、$\overrightarrow{ OC }=s\ \overrightarrow{ OA }+t\ \overrightarrow{ OB }$と
表すことができる。このとき、①から$s=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }},$　$t=\boxed{\ \ コ\ \ }$である。
したがって、$|\overrightarrow{ OC }|=\boxed{\ \ サ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ シ\ \ }}$である。

(3)$\overrightarrow{ CB }=\left(\boxed{\ \ ス\ \ },　\boxed{\ \ セ\ \ },　\boxed{\ \ ソタ\ \ }\right)$である。したがって、平面$\alpha$上の
四角形$OABC$は$\boxed{\ \ チ\ \ }$。
$\boxed{\ \ チ\ \ }$に当てはまるものを、次の⓪～④のうちから一つ選べ。
ただし、少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という。

⓪正方形である
①正方形ではないが、長方形である
②長方形ではないが、平行四辺形である
③平行四辺形ではないが、台形である
④台形ではない

$\overrightarrow{ OA } \bot \overrightarrow{ OC }$であるので、四角形$OABC$の面積は$\boxed{\ \ ツテ\ \ }$である。

(4)$\overrightarrow{ OA } \bot \overrightarrow{ OD },$　$\overrightarrow{ OC }・\overrightarrow{ OD }=2\sqrt6$かつ$z$座標が1であるような点$D$の座標は
$\left(\boxed{\ \ ト\ \ }+\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\ \ ナ\ \ }}}{\boxed{\ \ ニ\ \ }},　\boxed{\ \ ヌ\ \ }+\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\ \ ネ\ \ }}}{\boxed{\ \ ノ\ \ }},　1\right)$
である。このとき$\angle COD=\boxed{\ \ ハヒ\ \ }°$である。
3点$O,C,D$の定める平面を$\beta$とする。$\alpha$と$\beta$は垂直であるので、三角形
$ABC$を底面とする四面体$DABC$の高さは$\sqrt{\boxed{\ \ フ\ \ }}$である。したがって、
四面体$DABC$の体積は$\boxed{\ \ ヘ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ホ\ \ }}$　である。

2020センター試験過去問

問題文全文(内容文)：
${\large\boxed{1}}$(1)座標空間内に3点A$(2,0,0),\ B(0,4,0),\ C(0,0,8)$をとる。
2つのベクトル$\overrightarrow{ AP }$と$\overrightarrow{ BP }+\overrightarrow{ CP }$の内積が0となるような点$P(x,y,z)$
のうち、$|\overrightarrow{ AP }$|が最大となる点Pの座標を求めよ。

2022早稲田大学教育学部過去問

問題文全文(内容文)：
各辺の長さが1の正四面体$OABC$に対し、$OB$を$2:1$に内分する点を$D,OC$を2等分する点を$E,BC$を2等分にする点を$F$とする。
$DE$と$OF$の交点を$G$とするとき、以下の各問いに答えよ。
（1）$OG$の長さを求めよ。
（2）$AG$の長さを求めよ。