問題文全文(内容文)：
和訳問題：Interesting as this sounds, the story has a flaw.

問題文全文(内容文)：
aを実数とし、xの4次関数f(x)を$f(x)=3x^4-4(a+2)x^3+12a{x}^2+1$とする。次の問に答 えよ。
(1)f(x)が極大値をもつようなaの値の範囲を求めよ。
(2)(1)で求めた範囲 をaが動くとき、曲線y=f(x)において、f(x)が極大となる点の軌跡を求めよ。

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数学でとれなかったのは仕方ない？！
「2018年5月全統マーク」についてお話しています。

問題文全文(内容文)：
(1)$(x+y+2{)}^2$を展開せよ。
(2)${\displaystyle \frac{x^2-2x}{x^2+4x+3}}\times {\displaystyle \frac{2x+2}{x-2}}$を計算せよ。
(3)2次関数$y=2x^2-8x+9(0\leqq x\leqq 1)$における最小値を求めよ。
(4)iを虚数単位とする。${\displaystyle \frac{2+i}{1-3i}}$を$a+bi$(a,bは実数)の形で表せ。
(5)$AB=3,BC=4\sqrt{2},CA=5$である三角形ABCにおいて、$\cos \mathrm{\angle }ABC$を求めよ。また、三 角形ABCの面積を求めよ。
(6)男子6人、女子4人の合計10人から3人を選ぶとき、選び方は全部で何通りか。 また、そのうち、女子が少なくとも1人含まれるような選び方は何通りか。

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第一問

[1]方程式$9x^2-6x-1=0$の二つの実数解をα,β（α＜β）とすると

$\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{ア}-\sqrt{\mathrm{イ}}}{\mathrm{ウ}}}$,$\beta ={\displaystyle \frac{\mathrm{ア}+\sqrt{\mathrm{イ}}}{\mathrm{ウ}}}$

である。

(1)$n<{\displaystyle \frac{1}{\beta }<n+1}$を満たす整数nは エ である

(2)xについての連立不等式

$\{\begin{array}{l}\alpha x<1\\ \beta x<1\end{array}$

を考える。
αの符号に注意すると、不等式①の解は　オ　と表される。
よって連立不等式①かつ②の解は　カ　と表される。

オ　の解答群

⓪　$x<{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$　　①　${\displaystyle \frac{1}{\alpha }<x}$

カ　の解答群

⓪　$x<{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$　　①　${\displaystyle \frac{1}{\alpha }<x<{\displaystyle \frac{1}{\beta }}}$　　②　${\displaystyle \frac{1}{\beta }<x}$

(3)-9以上9以下の整数のうち、(2)の連立不等式①かつ②の解の範囲に含まれるものの個数は　キ　個である。

[2]△ABCにおいて、$AB=7$,$BC=3\sqrt{2}$,$CA=5$とする。このとき

$cos\angle BAC={\displaystyle \frac{\mathrm{ク}}{\mathrm{ケ}}}$,$sin\angle BAC={\displaystyle \frac{\mathrm{コ}}{\mathrm{サ}}}$

である。

△ABCの外接円の中心Oとすると、円Oの半径は${\displaystyle \frac{\mathrm{シ}\sqrt{\mathrm{ス}}}{\mathrm{セ}}}$である。
円OのAを含まない弧BC上に点Pを、△PBCの面積が最大となるようにとる。このとき

$PC=\sqrt{\mathrm{ソ}}$

である。

また、直線AOと円Oとの交点のうち、Aと異なる方をDとすると

$CD=\mathrm{タ}$

であり、

$\angle ADC=\mathrm{チ}\mathrm{ツ}°$

である。

直線AD上に動点Qをとり、二つの線分$CQ$、$PQ$の長さの和を $L=CQ+PQ$ とする。

太郎:Lの最小値を求めるにはどうすればよいのかな。
花子:直線ADに関してCと対称な点を考えればよいね。

$A{B}^2>B{C}^2+C{A}^2$が成り立つから∠ACBは鈍角であり、直線ADに関して3 点B, C, Pがすべて同じ側にあることに注意して考えると、Lの最小値は$\mathrm{テ}\sqrt{\mathrm{ト}}$である。