問題文全文(内容文)：
aを実数とし、xの4次関数f(x)を$f(x)=3x^4-4(a+2)x^3+12ax^2+1$とする。次の問に答 えよ。
(1)f(x)が極大値をもつようなaの値の範囲を求めよ。
(2)(1)で求めた範囲 をaが動くとき、曲線y=f(x)において、f(x)が極大となる点の軌跡を求めよ。

問題文全文(内容文)：
第1問：小問集合
次の□にあてはまる数または式を求めよ.
(1)$(x^2+x)(x^2+x-3)$を展開すると、$\Box$となる.
(2)$2x^2-5xy-3y^2$を因数分解すると、$\Box$となる.
(3)$\alpha=3+\sqrt6、\beta=3-\sqrt6$について、$\alpha\beta$の値は$\Box$であり、$\Box$である.
(4)$\theta$は鋭角とする.$\tan\theta=\sqrt3$のとき、$\cos\theta=\Box$である.
(5)不等式$-x\lt 3x-4\lt x$の解は$\Box$である.
(6)次のデータがある。$6,3,5,2,2,7,1,4,8$ このデータの第3四分位数は$\Box$であり、四分位範囲は$\Box$である.

第2問[1]：図形と計量
三角形$ABC$があり、$AB=4,AC=5,\cos\angle BAC=\dfrac{1}{8}$である。
(1)$\sin\angle BAC$の値を求めよ。また、辺$BC$の長さを求めよ。
(2)辺$AC$(両端を除く)上に点$D$をとり、三角形$BCD$の外接円の半径を$R$とする。
(i)$\angle BDC=\theta$とおくとき、$\sin\theta$を$R$を用いて表せ.
(ii)$R=4$のとき、線分$BD$の長さと線分$AD$の長さを求めよ.

[2]：場合の数
1個のサイコロを4回振り、出た目の数を左から順に並べて4桁の整数Nを作る。例えば、1個のサイコロを4回振り、出た目の数が順に$1,2,3,4$である場合は$N=1234$となる。　
(1)$N$は全部で何個できるか.
(2)$2126,3335$のように、同じ数を含む$N$は何個できるか．
(3)$4321$より大きい$N$は何個できるか.

第3問：2次関数
$x$の2次関数$f(x)=x^2-2x+2$があり、放物線$y=f(x)$を$C_1$とする。
(1)(i)$C_1$の座標を求めよ。
(ii)$0\leqq x\leqq 4$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ。
(2)$p$を正の整数とする。$C_1$を$x$軸の方向に$p$、$y$軸方向に$-p$だけ平行移動した放物線を$C_2$とし、$C_2$の方程式を$y=g(x)$とする。
(i)$C_2$の頂点の座標を求めよ。
(ii)$0\leqq x\leqq 4$における$g(x)$の最小値を$m$とする。$m$を$p$を用いて表せ。
(iii)次の2つの条件(A),(B)がともに成り立つような$p$の値の範囲を求めよ。
　 (A)$0\leqq x\leqq 4$を満たすすべての実数$x$に$g(x)\gt 0$
(B)$0\leqq x\leqq 4$を満たすある実数xに対して$g(x)\gt 8$

第4問：複素数と方程式
$a,b$を実数の定数とし、$c$を0でない実数の定数とする。2つの2次方程式
$x^2-6x+10=0$ …①
$x^2-ax+b=0$ …②
があり、②の2つの解は$1+ci、1-ci$である。ただし、$i$は虚数単位である。
(1)①を解け。
(2)$a$の値を求めよ。また、$b$を$c$を用いて表せ。
(3)$d$を実数の定数とする。多項式$P(x)$があり、$P(x)$を2次式$x^2-ax+b=0$で割ると、商は $x^2-6x+10=0$、余りは$cx+d$である。
　(i)$P(1+ci)$を$p+qi$ ($p,q$は実数であり、いずれも$c,d$で表された式)の形で表せ。
　(ii)①の２つの解を$\alpha,\beta$と表し、複素数の集合$A,B$を
　$A={\alpha,\beta,1+ci,1-ci}、B={P(\alpha)，P(\beta)，P(1+ci)，P(1-ci)}$
　と定める。$A=B$となるような$b,c,d$の組($b.c,d$)をすべて求めよ。ただし、$A=B$とは、$A$の要素と$B$の要素がすべて一致することである。

第5問：確率
1が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、2が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、3が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、4が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、計12枚のカードが袋の中に入っている。この袋から無作為に3枚のカードを同時に取り出す。
(1)取り出した3枚のカードに書かれた数がすべて同じ数である確率を求めよ。
(2)取り出した3枚のカードに書かれた数がすべて異なる数である確率を求めよ。
(3)取り出した3枚のカードに書かれた数の和が3の倍数である確率を求めよ。
(4)取り出した3枚のカードに書かれた数の和が3の倍数であるとき、その3枚のカードの中に赤色のカードが含まれている条件付き確率を求めよ。

問題文全文(内容文)：
関数f(x)を次の式で定める。ただし、kは正の定数である。$f(x)=kx^3-4x^2+x+k^2$ 原点をOとする座標平面上において、曲線$C：y=f(x)$とy軸の交点をAとし、Aにお けるCの接線と垂直でAを通る直線をlとする。
(1)lの方程式を求めよ。
(2)Cとlが A以外に2点で交わるとする。このとき、kの値の範囲を求めよ。
(3)(2)のとき、CとlのA以外の2交点をP、Qとし、三角形OPQの面積をSとする。kが(2)で求めた範 囲を変化するとき、Sの最大値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
大問1:小問集合
(1)AB=15, AC=7, ∠BAC=60°の△ABCがある。辺BCの長さと△ABCの内接円の半径を求めよ。
(2)aを実数の定数とする。xの2次方程式x2-ax-a-9=0が-2より小さい解と3より大きい解をもつようなの値の範囲を求めよ。
(3)方程式x3+3x2+2x-6=0を複素数の範囲で解け。
(4)座標平面上の直線y=x上の点で、直線x+2y-4=0までの距離が√5である点の座標をすべて求めよ。
(5)方程式4^(x+1)+7・2^x-2=0を解け。
(6)不等式log₂x+1≧log₂(2-x)を解け。

大問2:三角関数
aを正の定数とし、関数f(θ)をf(θ)=2sin²θ+2√3sinθcosθ+a(√3sinθ+cosθ)-6a²+1とする。
(1)√3sinθ+cosθをrsin(θ+α)の形に表せ。ただし、r＞0,-π＜α≦πとする。
(2)t=√3sinθ+cosθとおくとき、f(θ)をtの2次式で表せ。
(3)方程式f(θ)=0(0≦θ≦π)…(*)について考える。
(i)a=1のとき、(*)を解け。
(ii)(*)の異なる解の個数がちょうど2個となるようなaの値の範囲を求めよ。

大問3:場合の数
A,B,Cの3人を含む9人の生徒について考える。
(1)4人と5人の2つの組に分けるとき、分け方は何通りあるか。
(2)3人ずつ3つの組に分けるとき、
(i)分け方は全部で何通りあるか。
(ii)AとBが同じ組に入る分け方は何通りあるか。
(3)「9人を3人ずつ3つの班に分けて、それぞれの班で1人ずつ班長を選ぶこと」を班決めということにする。その際、AとBが同じ班に入るときAは班長になることができず、BとCが同じ班に入るときBは班長になることができないものとする。
(i)AとBが同じ班に入り、Cは別の班に入る班決めの仕方は何通りあるか。
(ii)班決めの仕方は全部で何通りあるか。

大問4:微分法
t＞0とする。f(x)=x⁴-6x²とし、曲線C:y=f(x)上の点P(t,f(t))におけるCの接線をlとする。
(1)t=1のときのlの方程式を求めよ。また、このときlとCのP以外の共有点の座標を求めよ。
(2)lとCがP以外に異なる2つの共有点をもつようなtの値の範囲を求めよ。
(3)(2)のとき、lとCのP以外の2つの共有点をQ(α,f(α)), R(β,f(β))(a＜β)とし、3点P, Q, RにおけるCの接線の傾きをそれぞれmP、mQ、mRとする。このとき、mP+mQ+mRのとり得る値の範囲を求めよ。

大問5:数列
数列{a[n]}(n=1,2,3,…)は公差が正の等差数列でa₁+a₂+a₃=-3. a₁a₃=-3を満たし、数列{b[n]}は
b₁=-1, b[n+1]=│b[n]│+a[n] (n=1,2,3,…)を満たしている。
(1)数列{a[n])の一般項を求めよ。
(2)b₂、b₃を求めよ。また、b≧0となるようなnの値の範囲を求めよ。
(3)n≧4のとき、数列{b[n]}の一般項を求めよ。
(4)n≧4のとき、∑[k=1～n]b[k]を求めよ。

問題文全文(内容文)：
Oを原点とする座標平面上に点Pがある。最初、Pは原点Oにあり、1個のサイコロを1回投げるごとに次の(規則)に従ってPを動かす。
(規則)
・1,2いずれかの目が出たときはx軸の正の方向に1だけ動かす。
・3の目が出たときはx軸の正の方向に2だけ動かす。
・4,5,6いずれかの目が出たときはy軸の正の方向に1だけ動かす。
例えば、さいころを2回投げて、1回目に2の目、2回目に5の目が出たとき、Pは O(0,0)→点(1,0)→点(1,1) と動く。
(1)サイコロを3回投げたとき、Pの座標が(3,0)である確率を求めよ。
(2)サイコロを3回投げたとき、Pのy座標が2である確率を求めよ。
(3)サイコロを6回投げたとき、Pの座標が(5,2)である確率を求めよ。
(4)サイコロを6回投げたとき、Pのx座標が5であったという条件のもとで、Pのy座標が2である条件付き確率を求めよ。