問題文全文(内容文)：
共通テスト前のNG行動

問題文全文(内容文)：
2022年度共通テスト「数学２B」の解説動画です。

問題文全文(内容文)：
平面上の点Oを中心とする半径1の円周上に、3点A,B,Cがあり、
$\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }=-\frac{2}{3}および\overrightarrow{ OC }=-\overrightarrow{ OA }$を満たすとする。tを$0 \lt t \lt 1$を満たす
実数とし、線分ABを$t:(1-t)$に内分する点をPとする。
また、直線OP上に点Qをとる。

(1)$\cos\angle AOB=\frac{\boxed{\ \ アイ\ \ }}{\boxed{\ \ ウ\ \ }}$　である。
また、実数$k$を用いて、$\overrightarrow{ OQ }=k\overrightarrow{ OP }$と表せる。したがって
$\overrightarrow{ OQ }=\boxed{\ \ エ\ \ }\ \overrightarrow{ OA }+\boxed{\ \ オ\ \ }\ \overrightarrow{ OB }　　\ldots\ldots\ldots\ldots①$
$\overrightarrow{ CQ }=\boxed{\ \ カ\ \ }\ \overrightarrow{ OA }+\boxed{\ \ キ\ \ }\ \overrightarrow{ OB }$
となる。
$\overrightarrow{ OA }$と$\overrightarrow{ OP }$が垂直となるのは、$t=\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$　のときである。

$\boxed{\ \ エ\ \ }　～　\boxed{\ \ キ\ \ }$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$kt$　　①$(k-kt)$　　②$(kt+1)$
③$(kt-1)$　④$(k-kt+1)$　　⑤$(k-kt-1)$

以下、$t \neq \frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$とし、$\angle OCQ$が直角であるとする。

(2)$\angle OCQ$が直角であることにより、(1)のkは
$k=\frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }\ t-\boxed{\ \ シ\ \ }}　\ldots②$
となることがわかる。

平面から直線OAを除いた部分は、直線OAを境に二つの部分に分けられる。
そのうち、点Bを含む部分を$D_1$、含まない部分を$D_2$とする。また、平面
から直線OBを除いた部分は、直線OBを境に二つの部分に分けられる。
そのうち、点Aを含む部分を$E_1$、含まない部分を$E_2$とする。
・$0 \lt t \lt \frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$ならば、点Qは$\boxed{\ \ ス\ \ }$。
・$\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }} \lt t \lt 1$ならば、点Qは$\boxed{\ \ セ\ \ }$。

$\boxed{\ \ ス\ \ }、\boxed{\ \ セ\ \ }$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$D_1$に含まれ、かつ$E_1$に含まれる
①$D_1$に含まれ、かつ$E_2$に含まれる
②$D_2$に含まれ、かつ$E_1$に含まれる
③$D_2$に含まれ、かつ$E_2$に含まれる

(3)太郎さんと花子さんは、点Pの位置と$|\overrightarrow{ OQ }|$の関係について考えている。
$t=\frac{1}{2}$のとき、①と②により、$|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$とわかる。

太郎:$t\neq \frac{1}{2}$のときにも、$|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$となる場合があるかな。
花子:$|\overrightarrow{ OQ }|$を$t$を用いて表して、$|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$
を満たすtの値について考えればいいと思うよ。
太郎:計算が大変そうだね。
花子:直線OAに関して、$t=\frac{1}{2}$のときの点Qと対称な点をRとしたら
$|\overrightarrow{ OR }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$となるよ。
太郎:$\overrightarrow{ OR }$を$\overrightarrow{ OA }$と$\overrightarrow{ OB }$を用いて表すことができれば、
tの値が求められそうだね。

直線OAに関して、$t=\frac{1}{2}$のときの点Qと対称な点をRとすると
$\overrightarrow{ CR }=\boxed{\ \ タ\ \ }\ \overrightarrow{ CQ }$
$=\boxed{\ \ チ\ \ }\ \overrightarrow{ OA }+\boxed{\ \ ツ\ \ }\ \overrightarrow{ OB }$
となる。
$t\neq \frac{1}{2}$のとき、$|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$となるtの値は$\frac{\boxed{\ \ テ\ \ }}{\boxed{\ \ ト\ \ }}$である。

2021共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
2024共通テスト数学ⅠA第3問解説です

箱の中にカ ー ドが 2 枚以上入っており、それぞれのカ ードにはアルファベットが一文字だけ書かれている。この箱の中からカ ー ドを一枚取り出し、書かれているアルファベットを確認してからもとに戻すという試行をり返し行う。
(1)箱の中にA,Bのカードが 1 枚ずつ全部で 2 枚入っている場合を考える。以下では、2 以上の自然数nに対しn回の試行で A. Bがそろっているとは、n回の試行でA,Bのそれぞれが少なくとも1回は取り出されることを意味する。
(i)２回の試行でA,Bがそろっている確率は$\dfrac{ア}{イ}$である。
(ii)３回の試行でA,Bがそろっている確率を求める。
　例えば、３回の試行のうちAを１回、Bを２回取り出す取り出し方は３通りあり、それらを全て挙げると次のようになる。※表は動画内参照
このように考えることにより、3 回の試行で A. B がそろっている取り出し方はウ通りあることがわかる。よって、3 回の試行で A. B がそろっている確率は$\dfrac{ウ}{2^3}$である。
(iii) 4 回の試行で A. B がそろっている取り出し方はエオ通りある。 よって、4 回の試行でA,B がそろっている確率は$\dfrac{カ}{キ}$である。
(2)箱の中にA,B,Cのカ ー ドが一枚ずつ全で 3 枚入っている場合を考える。
以下では、3 以上の自然数nに対しn回目の試行で初めて A. B. C がそろうとn回の試行で A,B,Cのそれぞれが少なくとも1回は取り出されかつA,B.Cのうちいずれか1枚がn回目の試行で初めて取り出されることを意味する。
(i)3 回目の試行で初めて A. B, C がそろう取り出し方はク通りある。よって、3 回目の試行で初めて A. B, C がそろう確率は$\dfrac{ク}{3^3}$である。
(ii) 4 回目の試行で初めて A.B,C がそろう確率を求める。4 回目の試行で初めて A. B. C がそろう取り出し方は.(1)の(ii)を振り返ることにより、3×ウ通りあることがわかる。よって、4 回目の試行で初めて A. B, C がそろう確率は$\dfrac{ケ}{コ}$である。
(iii)5 回目の試行で初めて A. B. C がそろう取り出し方はサシ通りある。よってを 5 回目の試行で初めてA,B,Cがそろう確率は$\dfrac{サシ}{3^3}$である。
太郎さんと花子さんは. 6 回目の試行で初めて A. B, C, D がそろう確率について考えている。
太郎:例えば. 5 回目までにA,B,Cのそれぞれが少なくとも1回は取り出され.かっ 6 回目に初めてDが取り出される場合を考えたら計算できそうだね。
花子:それなら初めて A. B. C だけがそろうのが, 3 回目のとき. 4 回目のとき. 5 回目のときで分けて考えてみてはどうかな。
6 回の試行のうち 3 回目の試行で初めて A. B. C だけがそろう取り出し方がク通りであることに注意すると「 6 回の試行のうち 3 回目の試行で初めて A. B. C だけがそろい、かつ6 回目の試行で初めてDが取り出される取り出し方はスセ通りあることがわかる。同じように考えると６回の試行のうち 4 回目の試行で初めて A, B, C だけがそろい、かっ 6 回目の試行で初めてDが取り出される」取り出し方はソタ通りあることもわかる。以上のように考えることにより, 6 回目の試行で初めて A. B. C, D がそろう確率は$\dfrac{チツ}{テトナ}$であることがわかる。

2024共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
第5問
三角錐PABCにおいて、辺BCの中点をMとおく。また、$\angle$PAB=$\angle$PACとし、この角度をθをおく。0°＜ θ ＜ 90°とする。
(1)$\overrightarrow{AM}$は
$\overrightarrow{AM}$=$\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }}\overrightarrow{AB}$+$\frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }}{\boxed{\ \ エ\ \ }}\overrightarrow{AC}$
と表せる。また
$\frac{\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AC}|}$=$\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$　　...①
$\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$の解答群
⓪$\sin \theta$　①$\cos \theta$　②$\tan \theta$　
③$\frac{1}{\sin \theta}$　④$\frac{1}{\cos \theta}$　⑤$\frac{1}{\tan \theta}$　
⑥$\sin\angle$BPC　⑦$\cos\angle$BPC　⑧$\tan\angle$BPC
(2)θ=45°とし、さらに
$|\overrightarrow{AP}|$=3√2,　$|\overrightarrow{AB}|$=$|\overrightarrow{PB}|$=3,　$|\overrightarrow{AC}|$=$|\overrightarrow{PC}|$=3
が成り立つ場合を考える。このとき
$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AC}$=$\boxed{\ \ カ\ \ }$
である。さらに、直線AM上の点Dが$\angle$APD=90°を満たしているとする。このとき、$\overrightarrow{AD}$=$\boxed{\ \ キ\ \ }\overrightarrow{AM}$である。
(3)
$\overrightarrow{AQ}$=$\boxed{\ \ キ\ \ }\overrightarrow{AM}$
で定まる点をQとおく。$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直である三角錐PABCはどのようなものかについて考えよう。例えば(2)の場合では、点Qは点Dと一致し、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$は垂直である。
(i)$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直であるとき、$\overrightarrow{PQ}$を$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{AP}$を用いて表して考えると、$\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }}$が成り立つ。さらに①に注意すると、$\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }}$から$\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$が成り立つことがわかる。
したがって、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直であれば、$\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$が成り立つ。逆に、$\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$が成り立てば、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$は垂直である。
$\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }}$の解答群
⓪$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AP}$
①$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AC}$=$-\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AP}$
②$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}・\overrightarrow{AC}$
③$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AC}$=$-\overrightarrow{AB}・\overrightarrow{AC}$
④$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AC}$=0
⑤$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AC}$=0
$\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$の解答群
⓪$|\overrightarrow{AB}|$+$|\overrightarrow{AC}|$=$\sqrt 2|\overrightarrow{BC}|$
①$|\overrightarrow{AB}|$+$|\overrightarrow{AC}|$=$2|\overrightarrow{BC}|$
②$|\overrightarrow{AB}|\sin\theta$+$|\overrightarrow{AC}|\sin\theta$=$|\overrightarrow{AP}|$
③$|\overrightarrow{AB}|\cos\theta$+$|\overrightarrow{AC}|\cos\theta$=$|\overrightarrow{AP}|$
④$|\overrightarrow{AB}|\sin\theta$=$|\overrightarrow{AC}|\sin\theta$=$2|\overrightarrow{AP}|$
⑤$|\overrightarrow{AB}|\cos\theta$=$|\overrightarrow{AC}|\cos\theta$=$2|\overrightarrow{AP}|$
(ii)kを正の実数とし
$k\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AC}$
が成り立つとする。このとき、$\boxed{\boxed{\ \ コ\ \ }}$が成り立つ。
また、点Bから直線APに下ろした垂線と直線APとの交点をB'とし、同様に点Cから直線APに下ろした垂線と直線APとの交点をC'とする。
このとき、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直であることは、$\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}$であることと同値である。特にk=1のとき、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直であることは、$\boxed{\boxed{\ \ シ\ \ }}$であることと同値である。
$\boxed{\boxed{\ \ コ\ \ }}$の解答群
⓪$k|\overrightarrow{AB}|$=$|\overrightarrow{AC}|$　①$|\overrightarrow{AB}|$=$k|\overrightarrow{AC}|$　
②$k|\overrightarrow{AP}|$=$\sqrt 2|\overrightarrow{AB}|$　③$k|\overrightarrow{AP}|$=$\sqrt 2|\overrightarrow{AC}|$
$\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}$の解答群
⓪B'とC'がともに線分APの中点
①B'とC'が線分APをそれぞれ(k+1):1と1:(k+1)に内分する点
②B'とC'が線分APをそれぞれ1:(k+1)と(k+1):1に内分する点
③B'とC'が線分APをそれぞれk:1と1:kに内分する点
④B'とC'が線分APをそれぞれ1:kとk:1に内分する点
⑤B'とC'がともに線分APをk:1に内分する点
⑥B'とC'がともに線分APを1:kに内分する点
$\boxed{\boxed{\ \ シ\ \ }}$の解答群
⓪$\triangle$PABと$\triangle$PACがともに正三角形
①$\triangle$PABと$\triangle$PACがそれぞれ$\angle$PBA=90°, $\angle$PCA=90°を満たす直角二等辺三角形
②$\triangle$PABと$\triangle$PACがそれぞれBP=BA, CP=CAを満たす二等辺三角形
③$\triangle$PABと$\triangle$PACが合同
④AP=BC

2023共通テスト過去問