単元：
#大学入試過去問(数学)#センター試験・共通テスト関連#センター試験#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\large第1問}$
[1]$a$を定数とする。
(1)直線$l:y=(a^2-2a-8)x+a$ の傾きが負となるのは、$a$の値の範囲が
$\boxed{\ \ アイ\ \ } \lt a \lt \boxed{\ \ ウ\ \ }$
のときである。
(2)$a^2-2a-8 \ne 0$とし、(1)の直線$l$と$x$軸との交点の$x$座標を$b$とする。
$a \gt 0$の場合、$b \gt 0$となるのは$\boxed{\ \ エ\ \ } \lt a \lt \boxed{\ \ オ\ \ }$のときである。
$a \leqq 0$の場合、$b \gt 0$となるのは$a \lt \boxed{\ \ カキ\ \ }$のときである。
また、$a=\sqrt3$のとき
$b=\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ケ\ \ }}-\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サシ\ \ }}$
である。
[2]自然数$n$に関する三つの条件$p,q,r$を次のように定める。
$p:n$は$4$の倍数である
$q:n$は$6$の倍数である
$r:n$は$24$の倍数である
条件$p,q,r$の否定をそれぞれ$\bar{ p },\bar{ q },\bar{ r }$で表す。
条件$p$を満たす自然数全体の集合を$P$とし、条件$q$を満たす自然数全体
の集合を$Q$とし、条件$r$を満たす自然数全体の集合を$R$とする。自然数全体
の集合を全体集合とし、集合$P,Q,R$の補集合をそれぞれ$\bar{ P },\bar{ Q },\bar{ R }$で表す。
(1)次の$\boxed{\ \ ス\ \ }$に当てはまるものを、下の⓪～⑤のうちから一つ選べ。
$32 \in \boxed{\ \ ス\ \ }$である。
⓪$P \cap Q \cap R$ ①$P \cap Q \cap \bar{ R }$ ②$P \cap \bar{ Q }$
③$\bar{ P } \cap Q$ ④$\bar{ P } \cap \bar{ Q } \cap R$ ⑤$\bar{ P } \cap \bar{ Q } \cap \bar{ R }$
(2)次の$\boxed{\ \ タ\ \ }$に当てはまるものを、下の⓪～④のうちから一つ選べ。
$P \cap Q$に属する自然数のうち最小のものは$\boxed{\ \ セソ\ \ }$である。
また、$\boxed{\ \ セソ\ \ }\ \boxed{\ \ タ\ \ }\ R$である。
⓪= ①$\subset$ ②$\supset$ ③$\in$ ④$\notin$
(3)次の$\boxed{\ \ チ\ \ }$に当てはまるものを、下の⓪～③のうちから一つ選べ。
自然数$\boxed{\ \ セソ\ \ }$は、命題$\boxed{\ \ チ\ \ }$の反例である。
⓪「($p$かつ$q$) $\implies \bar{ r }$」 ①「($p$または$q$) $\implies \bar{ r }$」
②「$r \implies$ ($p$かつ$q$)」 ③「($p$かつ$q$) $\implies r$」
[3]$c$を定数とする。2次関数$y=x^2$のグラフを、2点$(c,0),$ $(c+4,0)$
を通るように平行移動して得られるグラフを$G$とする。
(1)$G$をグラフにもつ2次関数は、$c$を用いて
$y=x^2-2\left(c+\boxed{\ \ ツ\ \ }\right)\ x+$$c\left(c+\boxed{\ \ テ\ \ }\right)$
と表せる。
$2$点$(3,0),$ $(3,-3)$を両端とする線分と$G$が共有点をもつような
$c$の値の範囲は
$-\boxed{\ \ ト\ \ } \leqq c \leqq \boxed{\ \ ナ\ \ },$ $\boxed{\ \ ニ\ \ } \leqq c \leqq \boxed{\ \ ヌ\ \ }$
である。
(2)$\boxed{\ \ ニ\ \ } \leqq c \leqq \boxed{\ \ ヌ\ \ }$の場合を考える。$G$が点$(3,-1)$を通る
とき、$G$は2次関数$y=x^2$のグラフを$x$軸方向に$\boxed{\ \ ネ\ \ }+\sqrt{\boxed{\ \ ノ\ \ }}$。
$y$軸方向に$\boxed{\ \ ハヒ\ \ }$だけ平行移動したものである。また、このとき
$G$と$y$軸との交点の$y$座標は$\boxed{\ \ フ\ \ }+\boxed{\ \ ヘ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ホ\ \ }}$である。
2020センター試験過去問
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