問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}4\mathrm{問}$
初項3、交差$p$の等差数列を$\left\{a_n\right\}$とし、初項3、公比$r$の等比数列を$\left\{b_n\right\}$と
する。ただし、$p\ne 0$かつ$r\ne 0$とする。さらに、これらの数列が次を満たすとする。
$a_n{b}_{n+1}-2a_{n+1}{b}_n+3b_{n+1}=0$　$(n=1,2,3,\dots )\cdots$①

(1)$p$と$r$の値を求めよう。自然数$n$について、$a_n,a_{n+1},b_n$はそれぞれ
$a_n=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}+(n-1)p$　$\cdots$②
$a_{n+1}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}+np$　$\cdots$③
$b_n=\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}{r}^{n-1}$
と表される。$r\ne 0$により、すべての自然数$n$について、$b_n\ne 0$となる。
${\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n}=r}$であることから、①の両辺を$b_n$で割ることにより
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}{a}_{n+1}=r(a_n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}})$　$\cdots$④
が成り立つことが分かる。④に②と③を代入すると
$(r-\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}})pn=r(p-\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}})$$+\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}$　$\cdots$⑤
となる。⑤が全ての$n$で成り立つことおよび$p\ne 0$により、$r=\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$を得る。
さらに、このことから、$p=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}$を得る。
以上から、すべての自然数$n$について、$a_n$と$b_n$が正であることもわかる。

(2)$p=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}},$　$r=\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$であるから、$\left\{a_n\right\},$　$\left\{b_n\right\}$の初項から第$n$項
までの和は、それぞれ次の式で与えられる。
$\sum _{k=1}^n{a}_k={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}n(n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}})}$
$\sum _{k=1}^n{b}_k$$=\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}({\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}^n-\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}})$

(3)数列$\left\{a_n\right\}$に対して、初項3の数列$\left\{c_n\right\}$が次を満たすとする。
$a_n{c}_{n+1}-4a_{n+1}{c}_n+3c_{n+1}=0$　$(n=1,2,3,\dots )\cdots$⑥
$a_n$が正であることから、⑥を変形して、$c_{n+1}={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}{a}_{n+1}}{a_n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}{c}_n}$を得る。
さらに、$p=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}$であることから、数列$\left\{c_n\right\}$は$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}}}$ことがわかる。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}}}$の解答群
⓪すべての項が同じ値をとる数列である
①公差が0でない等差数列である
②公比が1より大きい等比数列である
③公比が1より小さい等比数列である
④等差数列でも等比数列でもない

(4)$q,u$は定数で$q\ne 0$とする。数列$\left\{b_n\right\}$に対して、初項3の数列$\left\{d_n\right\}$が
次を満たすとする。
$d_n{b}_{n+1}-q{d}_{n+1}{b}_n+u{b}_{n+1}=0$　$(n=1,2,3,\dots )\cdots$⑦
$r=\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$であることから、⑦を変形して、$d_{n+1}={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}}{q}(d_n+u)}$
を得る。したがって、数列$\left\{d_n\right\}$が、公比が0より大きく1より小さい
等比数列となるための必要十分条件は、$q>\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}$かつ$u=\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}}$
である。

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