問題文全文(内容文)：
大問1：小問集合
(1)実数xの2次方程式$2x^2-3x+1＜0$を解け。
(2)$(3x+y)^4$を展開したときの$x^2y^2$の係数を答えよ。
(3)5つの文字A,B,C,D,Eを円形に並べる方法は何通りか。
(4)次のデータの平均値は3であるとする。1,2,3,7,a。aの値を求めよ。また、このデータの分散を求めよ。
(5)mは実数の定数とする。xy平面上の2直線$l_1:3x-y+5=0,l_2:mx+2y+4=0$が垂直になるとき、mの値を求めよ。
(6)実数xの方程式$4^x=2\sqrt{2}$を解け。
(7)実数x,yについて、x＞0かつy＞0であることは、xy＞0であるための何条件か?
(選択肢)①必要十分条件である。②必要条件であるが、十分条件ではない。③十分条件であるが、必要条件ではない。④必要条件でも、十分条件でもない

大問2-1：高次方程式
a,bを実数の定数とする。xの3次式$P(x)=x^3+(2a-1)x^2-(a^2+2a-2)x+b$があり、3次方程式 P(x)=0がx=1を解にもつ。
(1)bをaを用いて表せ。
(2)P(x)を1次式x−1で割ったときの商をaを用いて表せ。
(3)3次方程式P(x)=0において、異なる実数解の個数が2となるようなaの値を求めよ。

大問2-2：確率
赤球1個と白球1個と青球1個の合計3個の球が入った袋がある。この袋から 1個の球を取り出しその色を確認して袋に戻すことを、繰り返し5回行う。
(1)5回とも赤球が取り出される確率を求めよ。
(2)5回のうち、赤球が2回取り出され、かつ白球が3回取り出される確率を求めよ。
(3)3種類の色の球が取り出される確率を求めよ。

大問3：図形と方程式
mを実数の定数とする。Oを原点とするxy平面上に点(2,3)を通り、傾きがmの直線がある。また、2点A(1,0),B(-1,0)があり、軸上のy＞0の部分にある点Cが∠ACB=90°を満たしている。
(1)lの方程式を求めよ。また、Cの座標を求めよ。
(2)点Cと直線の距離をdとする。dをmを用いて表せ。
(3)不等式y＞0の表す領域内の点Pが∠APB=45°を満たして動くとき、Pが描く図形をKとする。
(i)Kはある円の一部である。その円の中心の座標と半径を求めよ。
(ii)aを正の定数とし、Kと線分AB (両端を含む)で囲まれる領域(境界を含む)をDとする。点(x,y)がD上を動くとき、$\displaystyle\frac{y-a}{x-2}$の最大値をM(a)とする。M($\frac{1}{2}$)とM(3)をそれぞれ求めよ。

大問4：三角関数
kはk≧1を満たす定数とする。下の図のように、OB=1,∠OAB=$\frac{π}{2}$,∠AOB=θ(0＜θ＜$\frac{π}{4}$)である直角三角形OABがある。また、半直線OA上に点Pを、OP=2kABを満たすようにとる。
(1)辺OAの長さをを用いて表せ。また、線分OPの長さをk、θを用いて表せ。
(2)sinθcosθをsin2θを用いて表せ。また、sin²θをcos2θを用いて表せ。
(3) $BP^2$をk, sin2θ,cos2θを用いて表せ。
(4-i) k=1とする。θが0＜θ＜$\frac{π}{4}$の範囲を変化するとき、$BP^2$の最小値を求めよ。また、そのときのθの値を求めよ。
(4-ii) k＞1とする。θが0＜θ＜$\frac{π}{4}$の範囲を変化するとき、$BP^2$のとり得る値の範囲をkを用いて表せ。

大問5：微分法
3次関数 $f(x)=x^3+kx^2-kx+k^2$がある。ただし、kは実数とする。
(1)f'(−1)=0とする。
(i)kの値を求めよ。
(ii)0≦x≦1におけるf(x)の最大値と最小値を求めよ。
(2)f(x)はx＞0の範囲に極大値と極小値をもつとする。
(i)kのとり得る値の範囲を求めよ。
(ii)f(x)の極大値と極小値の和をS(k)とする。kの値が(2-i)で求めた範囲を変化するとき、S(k)の最大値を求めよ。

大問6：数列
数列{$a_n$}を$a_1=\frac{1}{\sqrt{2}},a_2=\sqrt{2},a_{n+2}a_{n+1}-a_{n+1}a_{n}=n+1(n=1,2,3,...)$により定める。また、数列{$b_n$}を$b_n=a_{n+1}a_{n}(n=1,2,3,･･･)$により定める。
(1)$b_1$を求めよ。また、$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ。
(2)数列{$b_n$}の一般項を求めよ。
(3)$c_n=\displaystyle\frac{\sqrt{2}a_n}{n}(n=1,2,3,…)$とおく。$c_{n+1}$を$c_n$を用いて表せ。また、数列{$c_n$}の一般項を求めよ。
(4)$a_n＞50$を満たす最小の正の整数の値をNとするとき、$\displaystyle \sum_{k=1}^N\frac{2k+1}{{a_{n+1}}^2{a_n}²}$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
大問1：小問集合
(1)$AB＝5$,$BC＝7$,$CA＝6$の三角形ABCがある。$cos∠BAC$の値と三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

(2)aは実数の定数とする。xの2次方程式$x^2-2ax+5a-6=0$が異なる2つの正の解をもつようなaの値の範囲を求めよ。

(3)方程式$x^3-4x²+8=0$を解け。

(4)mは実数の定数とする。座標平面における原点Oと直線$y=mx+m+2$の距離が2より大きくなるようなmの値の範囲を求めよ。

(5)実数xが、$2^x+2^{-x}=3$を満たしている。$4^x+4^{-x}$の値を求めよ。

(6)方程式$log_{ 4 } {(5x-1)}=log_{2}{(2x-1)}$を解け。

大問2：三角関数
(1)$sin{\frac{π}{12}}$,$cos{\frac{π}{12}}$の値を求めよ。

(2)Oを原点とするxy平面上にOを中心とする半径1の円Eがあり、E上に3点$A(0,-1)$,$B(\frac{-\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$, $C(\frac{1}{2},\frac{-\sqrt{3}}{2})$がある。また、Eの上に点Pをとり、$P(cosθ,sinθ)$$(0≦θ≦\frac{π}{2})$とするとき、Lを$L＝AP²＋BP²＋CP²$と定める。
(i)Lをθで表せ。
(ii)θが$0≦θ≦\frac{π}{2}$を変化するとき、Lの最大値、最小値とそれを与えるθの値を求めよ。

大問3：場合の数
1,2,3,4,5,6,7,8,9の9枚のカードをA,B,Cの3人に3枚ずつ配る。
(1)カードの配り方は全部で何通りあるか。
(2)Aのカードの番号がいずれも2の倍数であるような3人への配り方は何通りあるか。
(3)Aのカードの番号の積が3の倍数となるような3人への配り方は何通りあるか。
(4)A,B,Cのカードの番号の積がそれぞれ6の倍数となるような3人への配り方は何通りあるか。

大問4：微分法
aを正の定数とし、関数f(x)を$f(x)=x^3-ax^2+4a-8$とする。
連立不等式$y≧f(x),y≦f(0),x≧0$を満たす整数の組$(x,y)$の個数を$N(a)$とする。
(1)$a=2$のとき、f(x)の増減、極値を調べ、$y=f(x)$のグラフの概形をかけ。
(2)$N(2)$を求めよ。
(3)$f(x)$の極大値をMとする。曲線$y=f(x)$と直線$y=M$の共有点のx座標のうち、正であるものを求めよ。
(4)aを$\frac{9}{4}＜a＜\frac{5}{2}$を満たす定数とするとき、$N(a)=N(2)$となるようなaの値の範囲を求めよ。


大問5：数列
rは0以外の実数とする。数列$a_n$は、$a_1=1$,$a_{n+1}=ra_n$ $(n=1,2,3,…)$を満たしている。また、この数列$a_n$に対して、数列$b_n$を、$b_1=-1$,$b_{n+1}=2b_n+a_n $ $(n=1,2,3,…)$によって定める。
(1)数列$a_n$の一般項を求めよ。
(2)数列$c_n$を $c_n=\frac{b_n}{r^n}$ によって定める。
(i)$c_{n+1}$を$r$と$c_n$を用いて表せ。
(ii)数列$c_n$の一般項を求めよ。
(3)$S_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k$とする。$r=2$のとき、$S_n$を最小にする正の整数$n$の値をすべて求めよ。また、$r=4$のとき、$S_n$を最小にする正の整数$n$の値をすべて求めよ。

問題文全文(内容文)：
三角形ABCがあり、辺ABを1:2に内分する点をD、辺BCを1:3に内分する点をE、三 角形ABCの重心をGとする。
(1)AD, AE, AGをそれぞれAB, ACを用いて表せ。
(2)GF=tAB(tは実数)と表される点Fがある。
(i)AFをt,AB,ACを用いて表せ。
(ii)さらに、FがDF=uDE(uは実数)を満たすとき、t,uの値を求めよ。
(3)AB=√3,AB・AC=-1,AC=√7とし、Gから直線ABに下した垂線と直線ABとの交点をH とする。 (i)AH=kAB(kは実数)とおくとき、kの値を求めよ。
(ii)Fが(2)(ii)の点であるとき、4点D,F,G,Hを頂点とする四角形の面積を求めよ。

問題文全文(内容文)：
aを実数の定数とする。xの3次式 $P(x)=x^3+3x^2+3x+a$ があり、$P(-2)=0$を満たす。
(1)aの値を求めよ。
(2)方程式$P(x)=0$を解け。
(3)方程式$P(x)=0$の虚数解のうち、虚部が正であるものを$\alpha$、虚部が負であるもの を$\beta$と表す。また、方程式$P(x)=0$の実数解を$γ$と表す。さらに、$A=\alpha+1、B=\beta+1、 C=γ+1$とする。
(i)$A^2+B^2、A^3、B^3$の3つの値をそれぞれ求めよ。
(ii)nを2020以下の正の整数とする。$A^n+B^n+C^n=0$を満たすnの個数を求めよ。

問題文全文(内容文)：
大問1:小問集合
(1) $(x+2)(2x^2-4x+1)$を展開せよ。
(2) $a^2+3ab-6b-4$を因数分解せよ。
(3) $\dfrac{1}{\sqrt5+1} + \dfrac{1}{\sqrt5+3}$ を計算せよ。
(4) $90^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$において、$\sin\theta=\dfrac14$のとき、$\cos\theta$の値を求めよ。
(5) 不等式 $\dfrac{x+2}{4} \geqq \dfrac{3x-5}2$を解け。
(6) 次のデータがある。 $2,3,4,4,5,6,7,9$
このデータの中央値と第3四分位数を求めよ。
(7) 円と2本の直線が図のように交わっているとき、$x$の値を求めよ。

大問2-1：図形と計量
三角形$\rm ABC$があり、$\rm AB=1, BC=\sqrt7, \cos\angle ABC=\dfrac{5}{2\sqrt7}$ である。
(1) 辺$\rm CA$の長さを求めよ。
(2) $\cos\angle \rm BAC$の値を求めよ。また、三角形$\rm ABC$の面積を求めよ。
(3) $\rm \angle BAC$を5等分する4本の直線が辺$\rm BC$と交わる4個の点のうち、頂点$\rm B$に最も近い点を$\rm D$とする。線分$\rm AD$の長さを求めよ

大問2-2：場合の数
$\rm A,A,B,C,D,E$の6個の文字を横1列に並べる。
(1) 並べ方は全部で何通りあるか。
(2) $\rm A$が左端にないような並べ方は何通りあるか。
(3) $\rm A$が左端になく、かつEが右端にないような並べ方は何通りあるか。

大問3：2次関数
$a, k$を実数とする。2つの関数
$f(x)=x^2+(2-2a)x-6a+3$
$g(x)=2x^2-2ax-\dfrac{a^2}{2}+2a+k$
に対して、$f(x)$の最小値を$M$, $g(x)$の最小値を$m$とする。
(1) $a=0$のときの$M$の値を求めよ。
(2) $m$を$a, k$を用いて表せ。
(3) $M$と$m$の小さくない方を$a$の関数とみなし、$h(a)$とする。すなわち、
$M\geqq m$のとき、$h(a)=M$
$M\leqq m$のとき、$h(a)=m$
(i) $k=-1$のとき, $h(a)=-\dfrac14$となるような$a$の値を求めよ。
(ii) $h(a)$が次の(条件)を満たすような$a$のとり得る値の範囲を求めよ。
(条件) 異なる3個以上の$a$の値に対して $h(a)$ が同じ値をとることがある。


大問4：複素数と方程式
$x$の2次方程式 $x^2-x+2=0$ がある。
(1) (*)を解け。
(2) 3次式 $x^3+2x^2+7$ を2次式 $x^2-x+2$ で割ったときの商と余りを求めよ。
(3) (*)の2つの解を$\alpha ,\beta$とする。
(i) $(\alpha+1)(\beta+1)$ の値と $\alpha^3+\beta^3$ の値を求めよ。
(ii) $a, b$を実数の定数とする、$x$の2次方程式 $x^2+ax+b=0$ の2つの解が
$(\alpha+1)^3(\beta+1)^3$ となるような$a,b$の値の組 $(a, b)$を求めよ。
(4) $p$を(*)の解とし、
$A=(p^3+2p-2+7)^6+9(p^3+2p^2+7)^3+81$ とする、$A$の値を求めよ。

大問5：確率
4個のサイコロ$A,B,C,D$がある。
(1) $A,B$の2個のサイコロを1回振り、出た目をそれぞれ$a,b$とするとき, $ab=30$となる確率を求めよ。
(2) $A,B,C$の3個のサイコロを1回振り、出た目をそれぞれ$a,b,c$とする。
(i) $abc=30$となる確率と,$abc=180$となる確率をそれぞれ求めよ。
(ii) $abc$が30の倍数となる確率を求めよ。
(3) $A,B,C,D$の4個のサイコロを1回振り、出た目をそれぞれ$a,b,c,d$とする。
(i) $a,b,c,d$の中に、5と6がともに含まれる確率を求めよ。
(ii) $abcd$が30の倍数となる確率を求めよ。