問題文全文(内容文)：
[1]座標平面上に点A(-8,0)をとる。また、不等式
$x^2+y^2-4x-10y+4 \leqq 0$
の表す領域をDとする。

(1)領域Dは、中心が点$(\boxed{\ \ ア\ \ },\boxed{\ \ イ\ \ })$、半径が$\boxed{\ \ ウ\ \ }$の円の
$\boxed{\ \ エ\ \ }$である。

$\boxed{\ \ エ\ \ }$の解答群
⓪　周　　　①　内部　　　②　外部　　　
③　周および内部　　　④　周および外部　　

以下、点$(\boxed{\ \ ア\ \ },\boxed{\ \ イ\ \ })$をQとし、方程式
$x^2+y^2-4x-10y+4=0$
の表す図形をCとする。

(2)点Aを通る直線と領域Dが共有点をもつのはどのようなときかを考えよう。
$(\textrm{i})(1)$により、直線$y=\boxed{\ \ オ\ \ }$は点Aを通るCの接線の一つとなること
がわかる。
太郎さんと花子さんは点Aを通るCのもう一つの接線について話している。
点Aを通り、傾きがkの直線をlとする。

太郎:直線lの方程式は$y=k(x+8)$と表すことができるから、
これを
$x^2+y^2-4x-10y+4=0$
に代入することで接線を求められそうだね。
花子:x軸と直線AQのなす角のタンジェントに着目することでも
求められそうだよ。

$(\textrm{ii})$　太郎さんの求め方について考えてみよう。
$y=k(x+8)$を$x^2+y^2-4x-10y+4=0$に代入すると、
xについての2次方程式
$(k^2+1)x^2+(16k^2-10k-4)x+64k^2-80k+4=0$
が得られる。この方程式が$\boxed{\ \ カ\ \ }$ときのkの値が接線の傾きとなる。

$\boxed{\ \ カ\ \ }$の解答群
⓪重解をもつ
①異なる２つの実数解をもち、1つは0である
②異なる２つの正の実数解をもつ
③正の実数解と負の実数解をもつ
④異なる2つの負の実数解をもつ
⑤異なる2つの虚数解をもつ

$(\textrm{iii})$花子さんの求め方について考えてみよう。
x軸と直線AQのなす角を$\theta(0 \lt \theta \leqq \frac{\pi}{2})$とすると
$\tan\theta=\frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{\boxed{\ \ ク\ \ }}$
であり、直線$y=\boxed{\ \ オ\ \ }$と異なる接線の傾きは$\tan\boxed{\ \ ケ\ \ }$
と表すことができる。

$\boxed{\ \ ケ\ \ }$の解答群
⓪$\theta$　　　①$2\theta$　　　②$(\theta+\frac{\pi}{2})$
③$(\theta-\frac{\pi}{2})$　　　④$(\theta+\pi)$　　　⑤$(\theta-\pi)$
⑥$(2\theta+\frac{\pi}{2})$　　　⑦$(2\theta-\frac{\pi}{2})$

$(\textrm{iv})$点Aを通るCの接線のうち、直線$y=\boxed{\ \ オ\ \ }$と異なる接線の傾き
を$k_0$とする。このとき、$(\textrm{ii})$または$(\textrm{iii})$の考え方を用いることにより
$k_0=\frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }}$
であることがわかる。
直線lと領域Dが共有点をもつようなkの値の範囲は$\boxed{\ \ シ\ \ }$である。

$\boxed{\ \ シ\ \ }$の解答群
⓪$k \gt k_0$　①$k \geqq k_0$
②$k \lt k_0$　③$k \leqq k_0$
④$0 \lt k \lt k_0$　⑤$0 \leqq k \leqq k_0$

2022共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
数学1A　大問3解説動画です

問題文全文(内容文)：
センター試験！
「あと1週間で、あがける３つのコト」についてお話しています。

問題文全文(内容文)：
${\large第4問}$
初項3、交差$p$の等差数列を$\left\{a_n\right\}$とし、初項3、公比$r$の等比数列を$\left\{b_n\right\}$と
する。ただし、$p \ne 0$かつ$r \ne 0$とする。さらに、これらの数列が次を満たすとする。
$a_nb_{n+1}-2a_{n+1}b_n+3b_{n+1}=0$　$(n=1,2,3,\ldots)\cdots$①

(1)$p$と$r$の値を求めよう。自然数$n$について、$a_n,a_{n+1},b_n$はそれぞれ
$a_n=\boxed{\ \ ア\ \ }+(n-1)p$　$\cdots$②
$a_{n+1}=\boxed{\ \ ア\ \ }+np$　$\cdots$③
$b_n=\boxed{\ \ イ\ \ }r^{n-1}$
と表される。$r \ne 0$により、すべての自然数$n$について、$b_n \ne 0$となる。
$\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n}=r$であることから、①の両辺を$b_n$で割ることにより
$\boxed{\ \ ウ\ \ }a_{n+1}=r\left(a_n+\boxed{\ \ エ\ \ }\right)$　$\cdots$④
が成り立つことが分かる。④に②と③を代入すると
$\left(r-\boxed{\ \ オ\ \ }\right)pn=r\left(p-\boxed{\ \ カ\ \ }\right)$$+\boxed{\ \ キ\ \ }$　$\cdots$⑤
となる。⑤が全ての$n$で成り立つことおよび$p \ne 0$により、$r=\boxed{\ \ オ\ \ }$を得る。
さらに、このことから、$p=\boxed{\ \ ク\ \ }$を得る。
以上から、すべての自然数$n$について、$a_n$と$b_n$が正であることもわかる。

(2)$p=\boxed{\ \ ク\ \ },$　$r=\boxed{\ \ オ\ \ }$であるから、$\left\{a_n\right\},$　$\left\{b_n\right\}$の初項から第$n$項
までの和は、それぞれ次の式で与えられる。
$\sum_{k=1}^na_k=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ケ\ \ }}{\boxed{\ \ コ\ \ }}n\left(n+\boxed{\ \ サ\ \ }\right)$
$\sum_{k=1}^nb_k$$=\boxed{\ \ シ\ \ }\left(\boxed{\ \ オ\ \ }^n-\boxed{\ \ ス\ \ }\right)$

(3)数列$\left\{a_n\right\}$に対して、初項3の数列$\left\{c_n\right\}$が次を満たすとする。
$a_nc_{n+1}-4a_{n+1}c_n+3c_{n+1}=0$　$(n=1,2,3,\ldots)\cdots$⑥
$a_n$が正であることから、⑥を変形して、$c_{n+1}=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ セ\ \ }a_{n+1}}{a_n+\boxed{\ \ ソ\ \ }}c_n$を得る。
さらに、$p=\boxed{\ \ ク\ \ }$であることから、数列$\left\{c_n\right\}$は$\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}$ことがわかる。

$\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}$の解答群
⓪すべての項が同じ値をとる数列である
①公差が0でない等差数列である
②公比が1より大きい等比数列である
③公比が1より小さい等比数列である
④等差数列でも等比数列でもない

(4)$q,u$は定数で$q \ne 0$とする。数列$\left\{b_n\right\}$に対して、初項3の数列$\left\{d_n\right\}$が
次を満たすとする。
$d_nb_{n+1}-qd_{n+1}b_n+ub_{n+1}=0$　$(n=1,2,3,\ldots)\cdots$⑦
$r=\boxed{\ \ オ\ \ }$であることから、⑦を変形して、$d_{n+1}=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ チ\ \ }}{q}(d_n+u)$
を得る。したがって、数列$\left\{d_n\right\}$が、公比が0より大きく1より小さい
等比数列となるための必要十分条件は、$q \gt \boxed{\ \ ツ\ \ }$かつ$u=\boxed{\ \ テ\ \ }$
である。

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
[2]a,bは正の実数であり、$a\neq 1,b\neq 1$を満たすとする。太郎さんは
$\log_ab$と$\log_ba$の大小関係を調べることにした。
(1)太郎さんは次のような考察をした。
まず、$\log_39=\boxed{\ \ ス\ \ },　\log_93=\frac{1}{\boxed{\ \ ス\ \ }}$である、この場合

$\log_39 \gt \log_93$
が成り立つ。
一方、$\log_{\frac{1}{4}}\boxed{\ \ セ\ \ }=-\frac{3}{2},\log_{\boxed{セ}}\frac{1}{4}=-\frac{2}{3}$である。この場合

$\log_{\frac{1}{4}}\boxed{\ \ セ\ \ } \lt \log_{\boxed{セ}}\frac{1}{4}$
が成り立つ。
(2)ここで
$\log_ab=t　\ldots①$
とおく。
(1)の考察をもとにして、太郎さんは次の式が成り立つと推測し、
それが正しいことを確かめることにした。
$\log_ba=\frac{1}{t}　\ldots②$
①により、$\boxed{\ \ ソ\ \ }$である。このことにより$\boxed{\ \ タ\ \ }$が得られ、②が
成り立つことが確かめられる。

$\boxed{\ \ ソ\ \ }$の解答群
$⓪a^k=t　①a^t=b　②b^a=t$
$③b^t=a　④t^a=b　⑤t^b=a$

$\boxed{\ \ タ\ \ }$の解答群
$⓪a=t^{\frac{1}{b}}　①a=b^{\frac{1}{t}}　②b=t^{\frac{1}{a}}$
$③b=a^{\frac{1}{t}}　④t=b^{\frac{1}{a}}　⑤t=a^{\frac{1}{b}}$

(3)次に、太郎さんは(2)の考察をもとにして
$t \gt \frac{1}{t}　\ldots③$
を満たす実数$t(t\neq 0)$の値の範囲を求めた。
太郎さんの考察
$t \gt 0$ならば、③の両辺にtを掛けることにより、$t^2 \gt 1$を得る。
このような$t(t \gt 0)$の値の範囲は$1 \lt t$である。
$t \lt 0$ならば、③の両辺にtを掛けることにより、$t^2 \lt 1$を得る。
このような$t(t \lt 0)$の値の範囲は$-1 \lt t \lt 0$である。

この考察により、③を満たす$t(t\neq 0)$の値の範囲は
$-1 \lt t \lt 0,　1 \lt t$
であることが分かる。
ここで、aの値を一つ定めたとき、不等式
$\log_ab \gt \log_ba　\ldots④$
を満たす実数$b(b \gt 0,　b\neq 1)$の値の範囲について考える。
④を満たすbの値の範囲は$a \gt 1$のときは$\boxed{\ \ チ\ \ }$であり、
$0 \lt a \lt 1$のときは$\boxed{\ \ ツ\ \ }$である。

$\boxed{\ \ チ\ \ }$の解答群
$⓪0 \lt b \lt \frac{1}{a},　1 \lt b \lt a　　　①0 \lt b \lt \frac{1}{a},　a \lt b$
$②\frac{1}{a} \lt b \lt 1,　1 \lt b \lt a　　　③\frac{1}{a} \lt b \lt 1,　a \lt b$

$\boxed{\ \ ツ\ \ }$の解答群
$⓪0 \lt b \lt a,　1 \lt b \lt \frac{1}{a}　　　①0 \lt b \lt a,　\frac{1}{a} \lt b$
$②a \lt b \lt 1,　1 \lt b \lt \frac{1}{a}　　　③a \lt b \lt 1,　\frac{1}{a} \lt b$

(4)$p=\frac{12}{13},　q=\frac{12}{11},　r=\frac{14}{13}$とする。
次の⓪～③のうち、正しいものは$\boxed{\ \ テ\ \ }$である。

$\boxed{\ \ テ\ \ }$の解答群
$⓪\log_pq \gt \log_qp$かつ$\log_pr \gt \log_rp$
$①\log_pq \gt \log_qp$かつ$\log_pr \lt \log_rp$
$②\log_pq \lt \log_qp$かつ$\log_pr \gt \log_rp$
$③\log_pq \lt \log_qp$かつ$\log_pr \lt \log_rp$

2022共通テスト数学過去問