単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#面積、体積#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
[1]aを実数とし、$f(x)=x^3-6ax+16$
(1)$y=f(x)$のグラフの概形は
$a=0$のとき、$\boxed{\ \ ア\ \ }$
$a \gt 0$のとき、$\boxed{\ \ イ\ \ }$
である.
$\boxed{\ \ ア\ \ },\boxed{\ \ イ\ \ }$については、最も適当なものを、次の⓪～⑤のうちから
1つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
(※選択肢は動画参照)
(2)$a \gt 0$とし、pを実数とする。座標平面上の曲線$y=f(x)$と直線$y=p$
が3個の共有点をもつようなpの値の範囲は$\boxed{\ \ ウ\ \ } \lt p \lt \boxed{\ \ エ\ \ }$
である。
$p=\boxed{\ \ ウ\ \ }$のとき、曲線$y=f(x)$と直線$y=p$は2個の共有点をもつ。
それらのx座標を$q,r(q \lt r)$とする。曲線$y=f(x)$と直線$y=p$
が点(r,p)で接することに注意すると
$q=\boxed{\ \ オカ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ キ\ \ }}\ a^{\frac{1}{2}}, r=\sqrt{\boxed{\ \ ク\ \ }}\ a^{\frac{1}{2}}$
と表せる。
$\boxed{\ \ ウ\ \ }, \boxed{\ \ エ\ \ }$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$2\sqrt2a^{\frac{3}{2}}+16$ ①$-2\sqrt2a^{\frac{3}{2}}+16$
②$4\sqrt2a^{\frac{3}{2}}+16$ ③$-4\sqrt2a^{\frac{3}{2}}+16$
④$8\sqrt2a^{\frac{3}{2}}+16$ ⑤$-8\sqrt2a^{\frac{3}{2}}+16$
(3)方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数をnとする。次の⓪～⑤のうち、
正しいものは$\boxed{\ \ ケ\ \ }$と$\boxed{\ \ コ\ \ }$である。
$\boxed{\ \ ケ\ \ }, \boxed{\ \ コ\ \ }$の解答群(解答の順序は問わない。)
$⓪n=1ならばa \lt 0 ①a \lt 0ならばn=1$
$②n=2ならばa \lt 0 ③a \lt 0ならばn=2$
$④n=2ならばa \gt 0 ⑤a \gt 0ならばn=3$
[2]$b \gt 0$とし、$g(x)=x^3-3bx+3b^2, h(x)=x^3-x^2+b^2$とおく。
座標平面上の曲線$y=g(x)$を$C_1$, 曲線$y=h(x)$を$C_2$とする。
$C_1$と$C_2$は2点で交わる。これらの交点のx座標をそれぞれ$\alpha,\beta$
$(\alpha \lt \beta)$とすると、$\alpha=\boxed{\ \ サ\ \ }, \beta=\boxed{\ \ シス\ \ }$である。
$\alpha \leqq x \leqq \beta$の範囲で$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積をSとする。また、
$t \gt \beta$とし、$\beta \leqq x \leqq t$の範囲で$C_1$と$C_2$および直線$x=t$で囲まれた図形の
面積をTとする。
このとき
$S=\int_{\alpha}^{\beta}\boxed{\ \ セ\ \ }dx$
$T=\int_{\beta}^{t}\boxed{\ \ ソ\ \ }dx$
$S-T=\int_{\alpha}^{t}\boxed{\ \ タ\ \ }dx$
であるので
$S-T=\frac{\boxed{\ \ チツ\ \ }}{\boxed{\ \ テ\ \ }}(2t^3-\ \boxed{\ \ ト\ \ }bt^2+\boxed{\ \ ナニ\ \ }b^2t-\ \boxed{\ \ ヌ\ \ }b^3)$
が得られる。
したがって、$S=T$となるのは$t=\frac{\boxed{\ \ ネ\ \ }}{\boxed{\ \ ノ\ \ }}\ b$のときである。
$\boxed{\ \ セ\ \ }～\boxed{\ \ タ\ \ }$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
$⓪\left\{g(x)+h(x)\right\} ①\left\{g(x)-h(x)\right\}$
$②\left\{h(x)-g(x)\right\} ③\left\{2g(x)+2h(x)\right\}$
$④\left\{2g(x)-2h(x)\right\} ⑤\left\{2h(x)-2g(x)\right\}$
$⑥2g(x) ⑦2h(x)$
2022共通テスト数学過去問
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