問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}4\mathrm{問}$
[1]自然数$n$に対して、$S_n=5^n-1$とする。さらに、数列$\left\{a_n\right\}$の初項から
第$n$項までの和が$S_n$であるとする。このとき、$a_1=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$である。また
$n\geqq 2$のとき
$a_n=\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}\mathrm{・}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}^{n-1}$
である。この式は$n=1$の時にも成り立つ。
上で求めたことから、すべての自然数$n$に対して
$\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{a_k}={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}\mathrm{カ}}}}(1-{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}^{-n})}}$
が成り立つことが分かる。

[2]太郎さんは和室の畳を見て、畳の敷き方が何通りあるかに興味を持った。
ちょうど手元にタイルがあったので、畳をタイルに置き換えて、
数学的に考えることにした。
縦の長さが1、横の長さが2の長方形のタイルが多数ある。
それらを縦か横の向きに、隙間も重なりもなく敷き詰めるとき、
その敷き詰め方をタイルの「配置」と呼ぶ。

上の図(※動画参照)のように、縦の長さが3,横の長さが$2n$の長方形を$R_n$とする。
$3n$枚のタイルを用いた$R_n$内の配置の総数を$r_n$とする。
$n=1$のときは、下の図(※動画参照)のように$r_1=3$である。

また、$n=2ｎ4$ときは、下の図(※動画参照)のように$r_2=11$である。

(1)太郎さんは次のような図形$T_n$内の配置を考えた。
$(3n+1)$枚のタイルを用いた$T_n$内の配置の総数を$t_n$とする。$n=1$
のときは、$t_1=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}$である。
さらに、太郎さんは$T_n$内の配置について、右下隅のタイルに注目して
次のような図(※動画参照)をかいて考えた。

この図(※動画参照)から、2以上の自然数$n$に対して
$t_n=A{r}_n+B{t}_{n-1}$
が成り立つことが分かる。ただし、$A=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}, B=\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}$である。
以上から、$t_2=\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}\mathrm{シ}}}$であることが分かる。
同様に、$R_n$の右下隅のタイルに注目して次のような図(※動画参照)をかいて考えた。

この図(※動画参照)から、2以上の自然数$n$に対して
$r_n=C{r}_{n-1}+D{t}_{n-1}$
が成り立つことが分かる。ただし、$C=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}, D=\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}$である。

(2)畳を縦の長さが1,　横の長さが2の長方形と見なす。縦の長さが3,　横の長さが6
の長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき、敷き詰め方の総数は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}\mathrm{タ}}}$である。
また、縦の長さが、横の長さがの長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき、
敷き詰め方の総数は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}\mathrm{ツ}\mathrm{テ}}}$である。

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
（1）
$\sin \theta +\cos \theta =\sin \theta \cos \theta$であれば
$\sin \theta \cos \theta =[ ]\sqrt{[ ]}+[ ]$

（2）
$f(x)={\cos }^{2}x-\sqrt{5}\sin x-3$の最大値とそのときの$x$の値$(0\leqq x\leqq 2\pi )$

出典：共通一次試験　過去問

問題文全文(内容文)：
【共通テスト】数学IA 第3問確率が簡単になるテクニック、解説動画です

球が4つある。
赤、青、黄、緑、紫のうちいずれか1色でそれぞれ塗る。
1本の紐で繋がれた2つの球は異なる色。
赤をちょうど2回使う塗り方は何通り？

問題文全文(内容文)：
$y=-3x^2$でxの変域が$-4\leqq x\leqq 1$のとき
$▢\leqq y\leqq ▢$

2021東京都立共通問題

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}5\mathrm{問}$
点$Z$を端点とする半直線$ZX$と半直線$ZY$があり、$0°<\mathrm{\angle }XZY<90°$とする。
また、$0°<\mathrm{\angle }SZX<\mathrm{\angle }XZY$かつ$0°<\mathrm{\angle }SZY<\mathrm{\angle }XZY$を満たす点$S$をとる。
点$S$を通り、半直線$ZX$と半直線$ZY$の両方に接する円を作図したい。
円$O$を、次の$(Step1)～(Step5)$の手順で作図する。

手順
$(Step1) \mathrm{\angle }XZY$の二等分線$l$上に点$C$をとり、下図(※動画参照)のように半直線$ZX$
と半直線$ZY$の両方に接する円$C$を作図する。また、円$C$と半直線$ZX$との接点を$D,$
半直線$ZY$との接点を$E$とする。
$(Step2)$　円Cと直線$ZS$との交点の一つを$G$とする。
$(Step3)$　半直線$ZX$上に点$H$を$DG//HS$を満たすようにとる。
$(Step4)$　点$H$を通り、半直線$ZX$に垂直な直線を引き、$l$との交点を$O$とする。
$(Step5)$　点$O$を中心とする半径$OH$の円$O$をかく。

(1)$(Step1)～(Step5)$の手順で作図した円$O$が求める円であることは、次の構想に
基づいて下のように説明できる。

構想:円$O$が点$S$を通り、半直線$ZX$と半直線$ZY$の両方に接する円であることを
示すには、$OH=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}}$が成り立つことを示せばよい。

作図の手順より、$\mathrm{△}ZDG$と$\mathrm{△}ZHS$との関係、および$\mathrm{△}ZDC$と$\mathrm{△}ZHO$との
関係に着目すると
$DG:\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}}=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}}:\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}}$
$DC:\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}}:\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}}$

であるから、$DG:\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}}=DC:\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}$となる。
ここで、3点$S,O,H$が一直線上にある場合は、$\mathrm{\angle }CDG=\mathrm{\angle }\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}}$で
あるので、$\mathrm{△}CDG$と$\mathrm{△}\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}}$との関係に着目すると、$CD=CG$より
$OH=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}}$であることがわかる。
なお、3点$S,O,H$が一直線上にある場合は、$DG=\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}DC$となり、
$DG:\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}}=DC:\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}$より$OH=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}}$である
ことがわかる。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}}～\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$DH$　①$HO$　②$HS$　③$OD$　④$OG$
⑤$OS$　⑥$ZD$　⑦$ZH$　⑧$ZO$　⑨$ZS$

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}}$の解答群
⓪$OHD$　①$OHG$　②$OHS$　③$ZDS$
④$ZHG$　⑤$ZHS$　⑥$ZOS$　⑦$ZCG$


(2)点$S$を通り、半直線$ZX$と半直線$ZY$の両方に接する円は二つ作図できる。
特に、点$S$が$\mathrm{\angle }XZY$の二等分線$l$上にある場合を考える。半径が大きい方の
円の中心を$O_1$とし、半径が小さい方の円の中心を$O_2$とする。また、円$O_2$と
半直線$ZY$が接する点を$I$とする。円$O_1$と半直線$ZY$が接する点を$J$とし、円$O_1$と
半直線$ZX$が接する点を$K$とする。
作図をした結果、円$O_1$の半径は$5$,　円$O_2$の半径は3であったとする。このとき、
$IJ=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}\mathrm{コ}}}}$である。さらに、円$O_1$と円$O_2$の接点$S$に
おける共通接線と半直線$ZY$との交点を$L$とし、
直線$LK$と円$O_1$との交点で点$K$とは異なる点を$M$とすると

$LM\mathrm{・}LK=\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}\mathrm{シ}}}$

である。
また、$ZI=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}\mathrm{ソ}}}}$であるので、直線$LK$と直線$l$との交点を$N$とすると

${\displaystyle \frac{LN}{NK}={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}}, SN={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}}}}}}$

である。

2021共通テスト過去問