大学入試問題#666「受験生には是非解いてほしい良問」京都大学(1969)

大学入試問題#666「受験生には是非解いてほしい良問」　京都大学(1969)

問題文全文(内容文)：
実数

x, y

が次の範囲を動くものとする。

x ≧ 0, y ≧ 0, x + y ≧ 1

a

が正の定数であるとき

f (x, y) = \sqrt{x} + a \sqrt{y}

の最小値を求めよ

出典：1969年京都大学　入試問題

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
実数

x, y

が次の範囲を動くものとする。

x ≧ 0, y ≧ 0, x + y ≧ 1

a

が正の定数であるとき

f (x, y) = \sqrt{x} + a \sqrt{y}

の最小値を求めよ

出典：1969年京都大学　入試問題

投稿日：2023.12.03

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指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

a_{n}

の一般項

a_{1} = b_{1} = 1

a_{n + 1} = a_{n} + 4 b_{n}

b_{n + 1} = a_{n} + b_{n}

を求めよ.

埼玉大過去問

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福田の数学〜名古屋大学2022年理系第４問〜定積分の極限と方程式の解

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#積分とその応用#関数の極限#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
関数f(x)は区間

x ≧ 0

において連続な増加関数で

f (0) = 1

を満たすとする。
ただしf(x)が区間

x ≧ 0

における増加関数であるとは、区間内の任意の実数

x_{1}, x_{2}

に対し

x_{1} < x_{2}

ならば

f (x_{1}) < f (x_{2})

が成り立つ時をいう。以下、nは正の整数とする。
(1)

lim_{n \to \infty} \int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{f (x)}{2 - x} d x = \infty

　を示せ。
(2)区間

y > 2

において関数

F_{n} (y)

を

F_{n} (y) = \int_{2 + \frac{1}{n}}^{y} \frac{f (x)}{2 - x} d x

と定めるとき、

lim_{y \to \infty} F_{n} (y) = \infty

を示せ。また

2 + \frac{1}{n}

より大きい実数

a_{n}

で

\int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{f (x)}{2 - x} d x + \int_{2 + \frac{1}{n}}^{a_{n}} \frac{f (x)}{2 - x} d x = 0

を満たすものがただ1つ存在することを示せ。
(3)(2)の

a_{n}

について、不等式

a_{n} < 4

がすべてのnに対して成り立つことを示せ。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
座標平面上に放物線 C を

y = x^{2} - 3 x + 4

で定め、領域Dを

y ≧ x^{2} - 3 x + 4

で定める。原点を通る 2 直線l, m は C に接する。
( 2 )次の条件を満たす点 P(p,q)の動きうる範囲を求め、座標平面上に図示せよ。
条件:領域Dのすべての点は(x,y)に対し、不等式

p x + q y ≦ 0

が成り立つ。

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大学入試問題#462「~らん~さんからの紹介」　横国・信州大学　類題　#定積分

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{(\sin^{5} x + 1)} + e} d x

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素数を扱え！整数問題【数学入試問題】【千葉大学】

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問題文全文(内容文)：

p

は奇数である素数とし、

N = (p + 1) (p + 3) (p + 5)

とおく。
(1)

N

は

48

の倍数であることを示せ。
(2)

N

は

144

の倍数になるような

p

の値を小さい順に

3

つ求めよ。

千葉大過去問

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