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（問）今年は2025年です。2025は同じ整数同士をかけ合わせてできる数です。では、前回の同じ整数同士をかけ合わせてできる数の年は何年前ですか。

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入試問題　近畿大学附属高等学校

定番の良問

$\displaystyle \frac{5x-2y}{3}-\displaystyle \frac{2x-3y}{2}-\displaystyle \frac{3x+2y}{5}$
の計算をせよ。
$x^2-2x-3-y^2-4y$
の因数分解せよ。

・大小$2$つのさいころを投げて出た目を それぞれ$a,ℓ$とする。
$\sqrt{ a^{ℓ} }$が整数となる確率?
・$\sqrt{ 7 }$より大きく、$3\sqrt{ 5 }$より小さい整数 は何個あるか。

図のように
$y=\displaystyle \frac{1}{4}x^2$と直線
$y=-x+3$･･･①がある
また、直線②は①と、傾きが等しく、
切片が$5$だけ大きい。
$A、B、C、D$は図の通りの位置関係
(1) 四角形$ABCD$の面積?
(2)Oを通り、$\Box ABCD$を$2$分する直線?
※図は動画内参照

半径$9cm$の円○がある。
$E$弦$AB$の長さを$12cm$とし、
直径$BC$上に点$D$を$BD:DC = 1:2$となるようにとる。
また、線分$AD$を点$D$の方へ延長した半直線と円○との交点を$E$とする。
(1)点$D$から線分$AB$に重線。交点$H$。$DH=?$
(2)$AE = ?$
(3)$\triangle ABC$と$\triangle BED$の面積比?
※図は動画内参照

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1　次の□にあてはまる数を求めなさい。

(1) $3.125\div0.8-0.375\div\square=1.75$

(2) K中学校の剣道部の生徒数は□人です。合宿の時に、すべて5人部屋に分けると、2人が部屋に入れませんでした。そこで、すべて6人部屋に分けると、2部屋余り、最後の部屋は4人になりました。

(3) □％の食塩水$200\mathrm{g}$と5％の食塩水$300\mathrm{g}$を混ぜる予定でしたが、誤って混ぜる量を逆にしたため7.1％になってしまいました。

(4) Aさんが1人ですると12時間、Bさんが1人ですると8時間かかる仕事があります。AさんとBさんで3時間一緒に仕事をしたあと、残りをAさんが1人で仕上げると、あと□時間かかります。

(5) 日本の昔の単位には里（り）という長さを表す単位があり、外国にはマイルという長さを表す単位があります。$1$里$=3.9\mathrm{km}$、$1$マイル$=1.6\mathrm{km}$とするとき、$3000$里$=$□マイルです。

(6) 分子が1で分母が整数の分数のうち、$0.09$より大きく$0.21$より小さい数は全部で□個あります。

(7) $49280000$は、2で□回割り切れます。

(8) 半径$2\mathrm{cm}$の円を、右下の図の平行四辺形の辺に沿って、すべることなく転がして1周させます。円の中心が動いてできる線の長さは□$\mathrm{cm}$です。ただし、円周率は3.14とします。


2　ある路線には6両編成の普通列車と10両編成の急行列車、7両編成の特急列車の3種類が運行しています。ただし、列車はすべて1両$20\mathrm{m}$です。開智さんは駅で普通列車を待っていました。その駅では急行列車は停まらないため、立ち止まっている開智さんの前を10秒で通過しました。

(1) 急行列車は時速何$\mathrm{km}$ですか。

その後、開智さんは普通列車に乗りました。乗っている途中で急行列車に追い抜かれました。急行列車が普通列車に追いついてから完全に追い抜くまで96秒かかりました。

(2) 普通列車は時速何$\mathrm{km}$ですか。

この路線の途中には橋Aがあります。橋Aは普通列車がわたり始めてからわたり終えるまでの時間と、急行列車がわたり始めてからわたり終えるまでの時間が同じです。

(3) 橋Aの長さは何$\mathrm{m}$ですか。

この路線を走っている普通列車と特急列車が出会ってから完全にすれ違うまでの時間は、急行列車と特急列車が出会ってから完全にすれ違うまでの時間の$\dfrac{13}{16}$倍でした。

(4) 特急列車は時速何$\mathrm{km}$ですか。


3　図のような正方形$ABCD$があります。

図1のように、正方形$ABCD$のそれぞれの辺の真ん中の点を$E,\ F,\ G,\ H$とし、三角形$APH$の面積を$1\mathrm{cm}^2$とします。

(1) 図1の四角形$HPSD$の面積は何$\mathrm{cm}^2$ですか。

(2) 図1の正方形$ABCD$の面積は何$\mathrm{cm}^2$ですか。

(3) 図1の四角形$PQRS$の面積は何$\mathrm{cm}^2$ですか。

図2の正方形$ABCD$の辺上の点は、それぞれの辺の長さを五等分する点です。三角形$APH$の面積を$1\mathrm{cm}^2$とします。

(4) 図2の四角形$PQRS$の面積は何$\mathrm{cm}^2$ですか。


4　整数を1から☆まで小さい順に、うずまき状に並べていきます。例えば、☆$=9$まで並べるときは図1のように、☆$=10$まで並べるときは図2のように並べます。

図1

$3\ \ 4\ \ 5$

$2\ \ 1\ \ 6$

$9\ \ 8\ \ 7$

図2

$\phantom{10}\ \ 3\ \ 4\ \ 5$

$\phantom{10}\ \ 2\ \ 1\ \ 6$

$10\ \ 9\ \ 8\ \ 7$

(1) ☆$=50$まで並べるとき、右から1番目、上から1番目の数は何ですか。

(2) ☆が2けたの整数のとき、図2のように1番左の列に数が1つだけあるような整数☆は何個ありますか。

(3) ☆$=2026$まで並べるとき、右から1番目、上から1番目の数は何ですか。

(4) ☆$=2026$まで並べるとき、8は右から①番目、上から②番目の数です。①、②にあてはまる数はそれぞれ何ですか。

問題文全文(内容文)：
(1) 次のように、ある規則にしたがって数が並んでいます。並べられた数の和を答えなさい。
1, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 6, 5, 6, 7, 8, 7, 8, 9, 10,.....75, 76, 77, 78, 77, 78, 79, 80

(2) バス停からバス停Bまで5kmあり、途中に体育館があります。バス停 A もどから体育館まで行くのに、自転車で行く場合と、バスに乗ってバス停Bまで行き、体育館まで歩いて戻る場合では同じ時間かかります。バスは分速800m,自転車は分速180mで進み、歩く速さは分速45mです。バス停Aから体育館までの道のりは何mですか。

(3) みかん、りんご、ももの1個あたりの値段はそれぞれ100円,150円,173円 。これらの果物を3403円分おつりがないように買います。個数の合計が最も多くなるように買うには、みかん、りんご、ももをそれぞれ何個ずつ買えばよいですか。ただし、どの果物も1個以上は買うものとします。

問題文全文(内容文)：
4ケタの数abcdを求めよ。
$
\begin{array}{r}
abcd \\[-3pt]
\underline{\times\phantom{0000}9}\\[-3pt]
dcba \\[-3pt]

\end{array}
$

甲陽学院中学校