4S数学CのB問題解説

【数C】【平面上のベクトル】ベクトルを使った面積、内心 ※問題文は概要欄

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

教材： #4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#平面上のベクトル

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
問題1
次の3点を頂点とする三角形の面積

S

を求めよ。
(1)

O (0, 0), A (2, - 3), B (- 1, 2)

(2)

A (1, 2), B (2 + \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}), C (2, 2 + \sqrt{3})

(3)

A (1 + \sqrt{3}, 2), B (\sqrt{3}, 5), C (4 + \sqrt{3}, 1)

問題2

△ O A B

において、

\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}

とする。

| \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = 3, | \vec{a} + \vec{b} | = 4

のとき、

△ O A B

の面積

S

を求めよ。

問題3

∠ A = 60 °, A B = 8, A C = 5

である

△ A B C

の内心を

I

とする。

\vec{A B} = \vec{b}, \vec{A C} = \vec{c}

とするとき、

\vec{A I}

を

\vec{b}, \vec{c}

を用いて表せ。

問題4
三角形ABCの辺BC, CA, ABの中点をそれぞれA(1), B(1), C(1)とし、平面上の任意の点Oに対し、線分OA, OB, OCの中点をそれぞれA(2), B(2), C(2)とする。線分A(1)A(2), B(1)B(2),C(1)C(2)の中点は一致することを証明せよ。

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【数C】【平面上のベクトル】ベクトル方程式1 ※問題文は概要欄

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問題文全文(内容文)：
問題1

△ A B C

の重心を

G

、辺

B C

の中点を

M

とし、

\vec{G A} = \vec{a}, \vec{G B} = \vec{b}

とする。
(1)

\vec{A M}

、

\vec{G C}

を

\vec{a}, \vec{b}

を用いて表せ。
(2)点

M

を通り、辺

C A

に平行な直線上の点を

P

とし、

\vec{G P} = \vec{p}

とする。この直線のベクトル方程式を、

\vec{a}, \vec{b}, \vec{p}

を用いて求めよ。

問題2
２直線

l : (x, y) = (0, 3) + s (1, 2), m : (x, y) = (6, 1) + t (- 2, 3)

について、次の問いに答えよ。ただし、

s, t

は媒介変数とする。
(1)

l

と

m

の交点の座標を求めよ。
(2)点

P (4, 1)

から

l

に垂線

P Q

を下ろす。このとき、点

Q

の座標を求めよ。

問題3

△ O A B

に対して、点

P

が次の条件を満たしながら動くとき、点

P

の存在範囲を図示せよ。
(1)

\vec{O P} = s \vec{O A} + t \vec{O B}, s + t = 4, s ≧ 0, t ≧ 0

(2)

\vec{O P} = s \vec{O A} + t \vec{O B}, 0 ≦ s + t ≦ 4, s ≧ 0, t ≧ 0

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【数C】【平面上のベクトル】ベクトルと図形3 ※問題文は概要欄

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問題文全文(内容文)：
問題1

△ A B C

において、

A B = 3, A C = 2, ∠ A = 60^{\circ}

，外心を

O

とする。

\vec{AB} = \vec{b}, \vec{AC} = \vec{c}

とするとき、

\vec{AO}

を

\vec{b}, \vec{c}

を用いて表せ。

問題2
平行四辺形

A B C D

において、次の等式が成り立つことを証明せよ。

2 (A B^{2} + B C^{2}) ＝ A C^{2} ＋ B D^{2}

問題3

△ A B C

の辺

B C

を1:2に内分する点を

D

とする。このとき、等式

2 A B^{2} + A C^{2} = 3 (A D^{2} + 2 B D^{2})

が成り立つことを証明せよ。

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【数C】【平面上のベクトル】位置ベクトル ※問題文は概要欄

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問題文全文(内容文)：
問題1

△ A B C

の重心を

G

とするとき、この平面上の任意の点

P

に対して、等式

\vec{A P} + \vec{B P} - 2 \vec{C P} = 3 \vec{G C}

が成り立つことを証明せよ。

問題2

△ A B C

と点

P

に対して、次の等式が成り立つとき、点

P

の位置をいえ。
(1)

\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{A B}

(2)

\vec{A P} + \vec{B P} + \vec{C P} = \vec{0}

(3)

\vec{P A} + \vec{P C} = \vec{A C}

問題3

△ A B C

と点

P

に対して、等式

5 \vec{A P} + 4 \vec{B P} + 3 \vec{C P} = \vec{0}

が成り立っている。
(1)点

P

の位置をいえ。
(2)

△ P B C : △ P C A : △ P A B

を求めよ。

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【数C】【平面上のベクトル】ベクトルの成分5 ※問題文は概要欄

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\vec{a} = (3, 1)

,

\vec{b} = (1, 2)

のとし、

\vec{c} = \vec{a} + t \vec{b}

(tは実数)とする。
(1)

| \vec{c} | = \sqrt{15}

のとき、tの値を求めよ。
(2)

| \vec{c} |

の最小値と、そのときのtの値を求めよ。

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【数C】【平面上のベクトル】ベクトルの成分4 ※問題文は概要欄

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問題文全文(内容文)：

\vec{a} = (2, 2)

,

\vec{b} = (3, 1)

のとき､

\vec{x} - \vec{b}

が

\vec{a}

に平行で､
かつ

| \vec{x} + \vec{b} | = 4

となるような

\vec{x}

を成分表示せよ｡

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【数C】【平面上のベクトル】ベクトルの成分3 ※問題文は概要欄

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\vec{a} = (x, - 1)

,

\vec{b} = (2, - 3)

について、

\vec{a} + 3 \vec{b}

と

\vec{b} - \vec{a}

が
平行になるように、xの値を定めよ。

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【数C】【平面上のベクトル】ベクトルの成分2 ※問題文は概要欄

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平行四辺形の3つの頂点が A(-2 ,2) ,B(1 ,- 3) ,C(3 ,0) のとき、第4の頂点Dの座標を求めよ。

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【数C】【平面上のベクトル】ベクトルの成分1 ※問題文は概要欄

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問題文全文(内容文)：

\vec{a} = (5, 0)

,

\vec{b} = (- 2, 3)

とする。
等式

2 \vec{x} + \vec{y} = \vec{a}

,

\vec{x} + 2 \vec{y} = \vec{b}

を満たす

\vec{x}

,

\vec{y}

を成分表示せよ。

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【数C】【平面上のベクトル】ベクトルの基本計算4 ※問題文は概要欄

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四角形ABCDについて、次のことを証明せよ。
四角形ABCDが平行四辺形である ⇔

\vec{A C} + \vec{B D} = 2 \vec{A D}

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【数C】【平面上のベクトル】ベクトルの基本計算3 ※問題文は概要欄

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問題文全文(内容文)：
平行四辺形ABCDの辺

\vec{A B} = \vec{a}

,

\vec{A D} = \vec{b}

,

\vec{A E} = \vec{u}

,

\vec{A F} = \vec{v}

とするとき、

\vec{a}

,

\vec{b}

を

\vec{u}

,

\vec{v}

を用いて表せ。

BCの中点をE、辺CD上の点でCF:FD=3:2 を満たす点をFとする。

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【数C】【平面上のベクトル】ベクトルの基本計算2 ※問題文は概要欄

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問題文全文(内容文)：
(1)

\vec{O A} = 2 \vec{a}

,

\vec{O A} = 3 \vec{b}

,

\vec{O P} = 6 \vec{b} - 4 \vec{a}

であるとき、
　

\vec{O P} / / \vec{A B}

であることを示せ。ただし、

\vec{a} \neq 0

,

\vec{b} \neq 0

で、

\vec{a}

と

\vec{b}

は平行でないとする。
(2)

\vec{O A} = \vec{a}

,

\vec{O B} = \vec{b}

,

\vec{O P} = 3 \vec{a} - 2 \vec{b}

,

\vec{O Q} = 3 \vec{a}

である
とき、

\vec{P Q} / / \vec{O B}

であることを示せ。ただし、

\vec{a} \neq 0

,

\vec{b} \neq 0

で、

\vec{a}

と

\vec{b}

は平行でないとする。

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【数C】【平面上のベクトル】ベクトルの基本計算1 ※問題文は概要欄

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問題文全文(内容文)：
次の等式を同時に満たすベクトル

\vec{x}

,

\vec{y}

を

\vec{a}

,

\vec{b}

を用いて表せ。

(1)

2 \vec{x} + \vec{y} = \vec{a}

\vec{x} - \vec{y} = \vec{b}

(2)

2 \vec{b} - 3 \vec{y} = \vec{a} + \vec{b}

\vec{x} + \vec{y} = \vec{a} - \vec{b}

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【数C】【複素数平面】複素数の回転と三角形 ※問題文は概要欄

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問題文全文(内容文)：
複素数平面上の3点O(0),A(2-i),Bについて､次の条件を満たしているとき､
点Bを表す複素数を求めよ｡
(1)△OABが正三角形となる｡(2)△OABがBを直角の頂点とする二等辺三角形になる｡

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【数C】【複素数平面】極形式から三角比の値を求める ※問題文は概要欄

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問題文全文(内容文)：

1 + i

､

\sqrt{3} + i

を極形式で表すことにより､

c o s \frac{5 π}{12}

と

s i n \frac{5 π}{12}

の値を求めよ｡

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【数C】【複素数平面】極形式で表す ※問題文は概要欄

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問題文全文(内容文)：
次の複素数を極形式で表せ｡ただし､偏角θは0≦θ＜2πとする｡

(1)

\frac{4 + 3 i}{1 + 7 i}

(2)

\sqrt{3} + \frac{1 - i}{1 + i}

(3)

ｰ 4 (\cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6})

(4)

c o s \frac{2 π}{3} ｰ i s i n \frac{2 π}{3}

(5)

2 (s i n \frac{π}{3} + i c o s \frac{π}{3})

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【数C】【複素数平面】複素数の大きさ ※問題文は概要欄

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問題文全文(内容文)：

z = 2 - i

のとき、

| z + \frac{1}{z} |^{2}

の値を求めよ。

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【数C】【複素数平面】実数であることの証明 ※問題文は概要欄

単元： #複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C

教材： #4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#複素数平面

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問題文全文(内容文)：
α、βを複素数とし、α≠０とするとき、次のことを証明せよ。
αβが実数　⇔　β＝kαとなる実数ｋがある

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【数C】【複素数平面】基本公式と式変形 ※問題文は概要欄

単元： #複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C

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問題文全文(内容文)：
複素数

z

が

3 z + \bar{z} = 2 - 2 i

を満たすとき、以下の問いに答えよ。

（１）

3 \bar{z} + z

を求めよ。

（２）

z

を求めよ。

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【数C】【平面上のベクトル】ベクトルと図形1 ※問題文は概要欄

単元： #平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

教材： #4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#平面上のベクトル

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問題文全文(内容文)：
問題1

△ A B C

の辺

A B

，

B C

，

C A

を2:1に内分する点を、それぞれ

A_{1}

，

B 1_{1}

，

C_{1}

とする。更に、

△ A_{1} B_{1} C_{1}

の辺

A_{1} B_{1}

，

B_{1} C_{1}

を2:1に内分する点を、それぞれ

A_{2}

，

B_{2}

とする。このとき、

A_{2} B_{2} / / A B

であることを示せ。

問題2
△ABCにおいて、辺BCを2:1に外分する点をP，辺ABを1:2に内分する点をQ、辺CAの中点をRとする。
(1)3点P，Q，Rは一直線上にあることを証明せよ。
(2)QR:QPを求めよ。

問題3
平行四辺形ABCDにおいて、辺ABを3:2に内分する点をP、対角線BDを2:5に内分する点をQとする。
(1)3点P，Q，Cは一直線上にあることを証明せよ。
(2)PQ:QCを求めよ。

問題4
△ABCにおいて、辺ABを1:2に内分する点をD、辺ACを3:1に内分する点をEとし、線分CD、BEの交点をPとする。

\vec{A B} = \vec{b}

，

\vec{A C} = \vec{c}

とするとき、

\vec{A P}

を

\vec{b}

，

\vec{c}

を用いて表せ。

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【数C】【平面上のベクトル】ベクトルを使った面積、内心 ※問題文は概要欄

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【数C】【平面上のベクトル】ベクトルの成分4 ※問題文は概要欄

【数C】【平面上のベクトル】ベクトルの成分3 ※問題文は概要欄

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【数C】【平面上のベクトル】ベクトルの成分1 ※問題文は概要欄

【数C】【平面上のベクトル】ベクトルの基本計算4 ※問題文は概要欄

【数C】【平面上のベクトル】ベクトルの基本計算3 ※問題文は概要欄

【数C】【平面上のベクトル】ベクトルの基本計算2 ※問題文は概要欄

【数C】【平面上のベクトル】ベクトルの基本計算1 ※問題文は概要欄

【数C】【複素数平面】複素数の回転と三角形 ※問題文は概要欄

【数C】【複素数平面】 極形式から三角比の値を求める ※問題文は概要欄

【数C】【複素数平面】 極形式で表す ※問題文は概要欄

【数C】【複素数平面】複素数の大きさ ※問題文は概要欄

【数C】【複素数平面】実数であることの証明 ※問題文は概要欄

【数C】【複素数平面】基本公式と式変形 ※問題文は概要欄

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