問題文全文(内容文)：
(1) 整数$n$を$2$で割った余りで分類することで、$3n^2-n$が$2$の倍数であることを証明せよ。
(2) 整数$n$を$3$で割った余りで分類することで、 $n^3-n+9$が$3$の倍数であることを証明せよ。

問題文全文(内容文)：
四角形$\rm ABCD$は平行四辺形で、辺上の各点は、辺$\rm AD$を4等分する点、辺$\rm BC$ を5等分する点です。平行四辺形$\rm ABCD$の面積と斜線部分の面積の比を最も簡単な整数の比で求めなさい。

問題文全文(内容文)：
2つの水そうAとBに水が入っています。はじめにAとBに入っていた水の量の比は3:2でした。Aから毎分20Lの割合で水を出し、同時にBへは毎分30Lの割合で水を入れることにします。Bに水を入れはじめてから、7分12秒後に2つの水そうの水の量が等しくなりました。次の問いに答えなさい。
(1) はじめ、AとBの水そうには、それぞれどれだけの水が入っていましたか。
(2) AとBの水そうの水の量の比が7:9となるのは、Bに水を入れはじめてから何分後ですか。

問題文全文(内容文)：
条件$a_1=3,{a_n}^2=(n+1)a_{n+1}+1$
によって定められる数列$\{a_n\}$がある。
(1) $a_2,a_3,a_4$を求めよ。
(2) 第$n$項$a_n$を推測して、
その結果を数学的帰納法によって証明せよ。

問題文全文(内容文)：
(1) $n$は自然数とする。
$5^{n+1}+6^{2n-1}$は31で割り切れることを、
数学的帰納法によって証明せよ。
(2) $n$は2以上の自然数とする。
$2^{3n}-7n-1$は49で割り切れることを、
数学的帰納法によって証明せよ。

問題文全文(内容文)：
数学的帰納法によって次の不等式を証明せよ。
(1) $n$が自然数のとき$1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2< \dfrac{(n+1)^3}3$
(2) $n$が4以上の自然数のとき$2^n>3n+1$
(3) $n$が3以上の自然数、$h>0$のとき$(1+h)^n> 1+nh^2$

問題文全文(内容文)：
$n$は自然数とする。数学的帰納法によって、次の等式を証明せよ。
(1) $1+2\cdot\dfrac32+\cdots+n(\dfrac32)^{n-1}=2(n-2)(\dfrac32)^n+4$
(2) $(n+1)(n+2)(n+3)\cdots(2n)=2^n\cdot1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)$

問題文全文(内容文)：
現在、私の家族は私、両親、弟て、4人の年令の和は125才、母の年令は46才です。 8年前はおばあさんがいたので、5人の年令の和は166才でした。また、15年前は弟が生まれていなかったので、4人の年令の和は133才でした。今から9年後、父の年令は私の年令の2倍になります。次の問いに答えなさい。
(1) 8年前のおばあさんの年令は何才でしたか。
(2) 現在の弟の年令は何才ですか。
(3) 現在の父の年令は何才ですか。

問題文全文(内容文)：
図のように、長さ1.50mの太さが一様でない棒の左側0.50mの部分を水平台にのせ、棒の右端に糸をとりつけて鉛直上向きに張力を加える。張力が15Nよりも大きくなると、棒は点Aを回転軸として反時計まわりに回転し始めた。また，張力が10Nよりも小さくなると、棒は点Bを回転軸として時計まわりに回転し始めた。
（1） 棒の重さをW点Aから棒の重心までの距離をｘとする。糸の張力が15Nのとき、棒が受ける力を図示し、点Aのまわりの力のモーメントのつりあいの式を示せ。
（2）糸の張力が10Nのとき、棒が受ける力を図示し、点Bのまわりの力のモーメントのつりあいの式を示せ。
（3）W［N），x［m］をそれぞれ求めよ。

問題文全文(内容文)：
分子式 C₅H₁₂O で表される化合物 A~Fについて,それらの構造を以下の実験から推定する。
実験1 A~Fにナトリウムを加えたところ, B~Fからは気体が発生したが,Aには変化が見られなかった。
実験2 A~Fにヨウ素と水酸化ナトリウム水溶液を加えて温めると,BとCから特異臭をもつ黄色の沈殿が生じた。
実験3 A~Fをニクロム酸カリウムの希硫酸溶液でおだやかに酸化すると,AとDは変化しなかったが, B, C, EおよびFは酸化されて,それぞれアルデヒドかケトンのいずれかを生成した。また,これらの生成物にフェーリング液を作用させたところ,Eの酸化によって得られた化合物からのみ赤色沈殿が生じた。
実験 4 加熱した濃硫酸にFを加えると,分子内で脱水反応がおこり, 1種類のアルケンのみが生じた。このアルケンはシストランス異性体の混合物として得られた。

問題文全文(内容文)：
父母と子ども3人の5人家族がいます。今、父母の年令の和は子どもの年令の和のちょうど9倍ですが、3年後にはちょうど4倍になります。父は母より2才年下で、 一番上の子どもの年令は3番目の子どもの年令の3倍です。今の家族全員の年令を答えなさい。

問題文全文(内容文)：
AとBの所持金の比は9:7でしたが、Aは250円もらい Aは250円もらい、Bは170円使ったので、AとBの所持金の比が11:4になりました。現在のAの所持金はいくらですか。

問題文全文(内容文)：
大問1:小問集合
(1) $(x+2)(2x^2-4x+1)$を展開せよ。
(2) $a^2+3ab-6b-4$を因数分解せよ。
(3) $\dfrac{1}{\sqrt5+1} + \dfrac{1}{\sqrt5+3}$ を計算せよ。
(4) $90^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$において、$\sin\theta=\dfrac14$のとき、$\cos\theta$の値を求めよ。
(5) 不等式 $\dfrac{x+2}{4} \geqq \dfrac{3x-5}2$を解け。
(6) 次のデータがある。 $2,3,4,4,5,6,7,9$
このデータの中央値と第3四分位数を求めよ。
(7) 円と2本の直線が図のように交わっているとき、$x$の値を求めよ。

大問2-1：図形と計量
三角形$\rm ABC$があり、$\rm AB=1, BC=\sqrt7, \cos\angle ABC=\dfrac{5}{2\sqrt7}$ である。
(1) 辺$\rm CA$の長さを求めよ。
(2) $\cos\angle \rm BAC$の値を求めよ。また、三角形$\rm ABC$の面積を求めよ。
(3) $\rm \angle BAC$を5等分する4本の直線が辺$\rm BC$と交わる4個の点のうち、頂点$\rm B$に最も近い点を$\rm D$とする。線分$\rm AD$の長さを求めよ

大問2-2：場合の数
$\rm A,A,B,C,D,E$の6個の文字を横1列に並べる。
(1) 並べ方は全部で何通りあるか。
(2) $\rm A$が左端にないような並べ方は何通りあるか。
(3) $\rm A$が左端になく、かつEが右端にないような並べ方は何通りあるか。

大問3：2次関数
$a, k$を実数とする。2つの関数
$f(x)=x^2+(2-2a)x-6a+3$
$g(x)=2x^2-2ax-\dfrac{a^2}{2}+2a+k$
に対して、$f(x)$の最小値を$M$, $g(x)$の最小値を$m$とする。
(1) $a=0$のときの$M$の値を求めよ。
(2) $m$を$a, k$を用いて表せ。
(3) $M$と$m$の小さくない方を$a$の関数とみなし、$h(a)$とする。すなわち、
$M\geqq m$のとき、$h(a)=M$
$M\leqq m$のとき、$h(a)=m$
(i) $k=-1$のとき, $h(a)=-\dfrac14$となるような$a$の値を求めよ。
(ii) $h(a)$が次の(条件)を満たすような$a$のとり得る値の範囲を求めよ。
(条件) 異なる3個以上の$a$の値に対して $h(a)$ が同じ値をとることがある。


大問4：複素数と方程式
$x$の2次方程式 $x^2-x+2=0$ がある。
(1) (*)を解け。
(2) 3次式 $x^3+2x^2+7$ を2次式 $x^2-x+2$ で割ったときの商と余りを求めよ。
(3) (*)の2つの解を$\alpha ,\beta$とする。
(i) $(\alpha+1)(\beta+1)$ の値と $\alpha^3+\beta^3$ の値を求めよ。
(ii) $a, b$を実数の定数とする、$x$の2次方程式 $x^2+ax+b=0$ の2つの解が
$(\alpha+1)^3(\beta+1)^3$ となるような$a,b$の値の組 $(a, b)$を求めよ。
(4) $p$を(*)の解とし、
$A=(p^3+2p-2+7)^6+9(p^3+2p^2+7)^3+81$ とする、$A$の値を求めよ。

大問5：確率
4個のサイコロ$A,B,C,D$がある。
(1) $A,B$の2個のサイコロを1回振り、出た目をそれぞれ$a,b$とするとき, $ab=30$となる確率を求めよ。
(2) $A,B,C$の3個のサイコロを1回振り、出た目をそれぞれ$a,b,c$とする。
(i) $abc=30$となる確率と,$abc=180$となる確率をそれぞれ求めよ。
(ii) $abc$が30の倍数となる確率を求めよ。
(3) $A,B,C,D$の4個のサイコロを1回振り、出た目をそれぞれ$a,b,c,d$とする。
(i) $a,b,c,d$の中に、5と6がともに含まれる確率を求めよ。
(ii) $abcd$が30の倍数となる確率を求めよ。

問題文全文(内容文)：
AとBの所持金の比は10:9でしたが、7:5の比てお金を使ったので、残金は2人とも390円ずつになりました。はじめのAの所持金はいくらですか。

問題文全文(内容文)：
山本さんの家は現在5人家族です。3人の子どもの年令の差は3才ずつて、父は母より3才年下です。また、父の年令は一番下の子どもの年令の17倍です。7年前は下の子ども2人はまだ生まれていなかったので、3人家族でした。このときの3 人の年令の和は58才でした。現在の母の年令は何才ですか。

問題文全文(内容文)：
現在、父の年令は50才、母の年令は46才で、3人の子どもたちの年令はそれぞれ 7才,3才,1オです。父と母の年令の和が3人の子どもたちの年令の和の3倍になるのは、今から何年後ですか。

問題文全文(内容文)：
姉と妹が持っているお金の比は1:1でした。姉が妹に550円あげたので、2人の持っているお金の比は7:2になりました。はじめ、姉はいくら持っていましたか。

問題文全文(内容文)：
表の出る確率が1/3である硬貨を投げて、
表が出たら点数を1点増やし、
裏が出たら点数はそのままとするゲームについて考える。
0点から始めて、硬貨を$n$回投げたときの点数が偶数である確率$P_n$を求めよ。
ただし、0は偶数と考える。

問題文全文(内容文)：
図のように、1辺の長さ1の正方形の各辺を2:1に内分する
4点を結んでできる正方形の面積を$S_1$とする。
同様に、新しくできた正方形の各辺を2:1に内分する
4点を結んでできる正方形の面積を$S_2$とする。
以下同様に、この操作を$n$回行った後にできる
正方形の面積を$S_n$とする。

(1) $S_n$をnの式で表せ。
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^n S_n$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
AとBの所持金の比は11: 7でしたが、Aは230円、Bは60円使ったので、AとBの所持金の比が4:3になりました。はじめのBの所持金を求めなさい。

問題文全文(内容文)：
図のように、粗い斜面上で物体が静止している。物体の重力を斜面に平行な方向と垂直な方向に分解したところ，それぞれ4.0Nと20Nであった。物体と斜面との間の静止摩擦係数を0.50として、次の各問に答えよ。
（1） 物体が受ける静止摩擦力の大きさはいくらか。
（2） 物体に斜面下向きの力を加える。物体がすべり出すためには、何よりも大きな力を加える必要があるか。

問題文全文(内容文)：
炭素、水素、酸素からなるエステルA~Dは,互いに異性体である。
33.0mgのAを完全燃焼させると二酸化炭素 66.0mgと水 27.0mgが生じた。
また、4.40gのAをベンゼン100gに溶かした溶液の凝固点は、ベンゼンよりも2.56℃低かった。A,Bを加水分解すると,それぞれ銀鏡反応を示す化合物Eが生じた。 Aを加水分解して得られるアルコールを酸化すると, ケトンが得られた。 Cを加水分解するとカルボン酸FとアルコールGが生じ,Gを酸化するとFが生じた。
(1) Aの分子式を求めよ。 ベンゼンのモル凝固点降下は5.12K kg/mol である。
(2) エステルA~Dの示性式を記せ。
(3) エステルAの加水分解を, 化学反応式で表せ。

問題文全文(内容文)：
AとBの所持金の比は3:2でしたが、Aは860円、Bは250円もらったので、A とBの所持金の比が2: 1になりました。はじめのBの所持金を求めなさい。

問題文全文(内容文)：
満30才の父親と満27才の母親との間に五つ子が生まれました。五つ子の満年令の合計が両親の満年令の合計と等しくなるのは、五つ子が生まれてから何年後ですか。 生まれてから1年後が満1才です。

問題文全文(内容文)：
平面上に$n$個の円があって、それらのどの2つも異なる2点で交わり、
またどの3つも1点で交わらないとする。
これらの$n$個の円が平面を$a_n$個の部分に分けるとき、$\{a_n\}$をnの式で表せ。

問題文全文(内容文)：
現在、父の年令は41才、母の年令は39才で、3人の子どもたちの年令はそれぞれ 15才,14才,13才です。父と母の年令の和が3人の子どもたちの年令の和と等しくなるのは、今から何年後ですか。

問題文全文(内容文)：
AとBの所持金の比は10:9でしたが、7:5の比てお金を使ったので、残金は2人とも390円ずつになりました。はじめのAの所持金はいくらですか。

問題文全文(内容文)：
AとBの所持金の比は5:3でしたが、2人とも630円ずつもらったので、AとBの所持金の比が6:5になりました。はじめのAの所持金はいくらですか。

問題文全文(内容文)：
図のように、斜面に平行な方向にｘ軸，垂直な方向にy軸をとる。斜面上に置かれた重さ50Nの物体が受けている重力のｘ成分、ｙ成分をそれぞれ求めよ。

問題文全文(内容文)：
分子内に不斉炭素原子が2つある場合一般に4種類の立体異性体ができ、これらのうち,互いに鏡像の関係にはない立体異性体をジアステレオ異性体という。天然に存在するアミノ酸イソロイシン(図のA)とその立体異性 体B~Dを示す。Aのジアステレオ異性体となるものを記号で記せ。