数Ⅲ
数Ⅲ
（1）定数a、b、cの値を定めよ。（3x+2）/｛x（x+1）²｝=a/x+b/（x+1）+c/（x+1）²（2）不定積分∫（3x+2）/｛x（x+1）²｝dxを求めよ。【数Ⅲ】【積分法｜不定積分】
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(1) 次の等式が成り立つように、定数 $a,\ b,\ c$ の値を定めよ。
$\dfrac{3x+2}{x(x+1)^2}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}+\dfrac{c}{(x+1)^2}$
(2) 不定積分 $\displaystyle \int\dfrac{3x+2}{x(x+1)^2}dx$ を求めよ。
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(1) 次の等式が成り立つように、定数 $a,\ b,\ c$ の値を定めよ。
$\dfrac{3x+2}{x(x+1)^2}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}+\dfrac{c}{(x+1)^2}$
(2) 不定積分 $\displaystyle \int\dfrac{3x+2}{x(x+1)^2}dx$ を求めよ。
不定積分を求めよ（1）∫（x²+x+1）/（x²+1）dx（2）∫x⁴/（x²−1）dx【数Ⅲ】【積分法｜不定積分】
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(1) $\displaystyle \int\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}dx$
(2) $\displaystyle \int\dfrac{x^4}{x^2-1}dx$
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(1) $\displaystyle \int\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}dx$
(2) $\displaystyle \int\dfrac{x^4}{x^2-1}dx$
曲線y=eˣ+2e⁻ˣにおいて，傾きが1である接線の方程式を求めよ。【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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#微分とその応用#色々な関数の導関数#数学(高校生)#数Ⅲ
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曲線 $y=e^x+2e^{-x}$ において、傾きが 1 である接線の方程式を求めよ。
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曲線 $y=e^x+2e^{-x}$ において、傾きが 1 である接線の方程式を求めよ。
次の曲線について，与えられた点を通る接線の方程式を求めよ。（1）y=√x（−2，0）（2）y=2x/（x+1）（1，2）（3）y=e²ˣ⁺¹（0，0）【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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次の曲線について、与えられた点を通る接線の方程式を求めよ。
(1) $y=\sqrt{x}\quad(-2,\ 0)$
(2) $y=\dfrac{2x}{x+1}\quad(1,\ 2)$
(3) $y=e^{2x+1}\quad(0,\ 0)$
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次の曲線について、与えられた点を通る接線の方程式を求めよ。
(1) $y=\sqrt{x}\quad(-2,\ 0)$
(2) $y=\dfrac{2x}{x+1}\quad(1,\ 2)$
(3) $y=e^{2x+1}\quad(0,\ 0)$
次の曲線について（ ）内のtの値に対応する接線の方程式を求めよ（1）x=√3cost，y=sint（t=π/6）（2）x=cos2t，y=sint+1（t=−π/6）【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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媒介変数 $t$ で表された次の曲線について、（ ）内の $t$ の値に対応する点における接線の方程式を求めよ。
(1) $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}\cos t\\y=\sin t\end{array}\right.\ \left(t=\dfrac{\pi}{6}\right)$
(2) $\left\{\begin{array}{l}x=\cos2t\\y=\sin t+1\end{array}\right.\ \left(t=-\dfrac{\pi}{6}\right)$
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媒介変数 $t$ で表された次の曲線について、（ ）内の $t$ の値に対応する点における接線の方程式を求めよ。
(1) $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}\cos t\\y=\sin t\end{array}\right.\ \left(t=\dfrac{\pi}{6}\right)$
(2) $\left\{\begin{array}{l}x=\cos2t\\y=\sin t+1\end{array}\right.\ \left(t=-\dfrac{\pi}{6}\right)$
xの関数yが，tを媒介変数として，x=cost+tsint，y=sint−tcostと表されるとき，d²y/dx²をtの関数として表せ。【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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$x$ の関数 $y$ が、$t$ を媒介変数として、$x=\cos t+t\sin t,\ y=\sin t-t\cos t$ と表されるとき、$\dfrac{d^2y}{dx^2}$ を $t$ の関数として表せ。
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$x$ の関数 $y$ が、$t$ を媒介変数として、$x=\cos t+t\sin t,\ y=\sin t-t\cos t$ と表されるとき、$\dfrac{d^2y}{dx^2}$ を $t$ の関数として表せ。
次の関数について，dy/dxを求めよ。（1）x²+3xy−y²=1（2）x=cosy（3）x=（1+t²）/（1−t²），y=2t/（1−t²）他【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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次の関数について、$\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ。ただし、(1)、(2)では、$y$ を用いて表してもよい。また、(3)、(4)では、$t$ の関数として表せ。$a,\ b$ は正の定数とする。
(1) $x^2+3xy-y^2=1$
(2) $x=\cos y$
(3) $x=\dfrac{1+t^2}{1-t^2},\ y=\dfrac{2t}{1-t^2}$
(4) $x=a\cos^3t,\ y=b\sin^3t$
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次の関数について、$\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ。ただし、(1)、(2)では、$y$ を用いて表してもよい。また、(3)、(4)では、$t$ の関数として表せ。$a,\ b$ は正の定数とする。
(1) $x^2+3xy-y^2=1$
(2) $x=\cos y$
(3) $x=\dfrac{1+t^2}{1-t^2},\ y=\dfrac{2t}{1-t^2}$
(4) $x=a\cos^3t,\ y=b\sin^3t$
成り立つことを証明せよ（1）y=x√（1+x²）のとき（1+x²）y″+xy′=4y（2）y=e⁻²ˣ（acos2x+bsin2x）のときy″+4y′+8y=0【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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次のことが成り立つことを証明せよ。ただし、$a,\ b$ は定数とする。
(1) $y=x\sqrt{1+x^2}$ のとき $(1+x^2)y''+xy'=4y$
(2) $y=e^{-2x}(a\cos2x+b\sin2x)$ のとき $y''+4y'+8y=0$
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次のことが成り立つことを証明せよ。ただし、$a,\ b$ は定数とする。
(1) $y=x\sqrt{1+x^2}$ のとき $(1+x^2)y''+xy'=4y$
(2) $y=e^{-2x}(a\cos2x+b\sin2x)$ のとき $y''+4y'+8y=0$
次の関数の第3次導関数を求めよ。（1）y=1/（x²−x）（2）y=√（2x+1）（3）y=cos³x【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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次の関数の第3次導関数を求めよ。
(1) $y=\dfrac{1}{x^2-x}$
(2) $y=\sqrt{2x+1}$
(3) $y=\cos^3x$
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次の関数の第3次導関数を求めよ。
(1) $y=\dfrac{1}{x^2-x}$
(2) $y=\sqrt{2x+1}$
(3) $y=\cos^3x$
次の極限を求めよ。（1）limₓ→0log（1+x）/x（2）limₓ→∞（x/（x+1））ˣ（3）limₓ→0（1+2x）¹/ˣ（4）limₓ→∞（1−2/x）ˣ【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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$\displaystyle \lim_{h\to0}(1+h)^{\frac{1}{h}}=e$ を用いて、次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\log(1+x)}{x}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{x}{x+1}\right)^x$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to0}(1+2x)^{\frac{1}{x}}$
(4) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(1-\dfrac{2}{x}\right)^x$
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$\displaystyle \lim_{h\to0}(1+h)^{\frac{1}{h}}=e$ を用いて、次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\log(1+x)}{x}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{x}{x+1}\right)^x$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to0}(1+2x)^{\frac{1}{x}}$
(4) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(1-\dfrac{2}{x}\right)^x$
対数微分法により、次の関数を微分せよ。（1）y=（x+1）²/｛（x+2）³（x+3）⁴｝（2）y=（1+x）³（1−2x）/｛（1−x）（1+2x）³｝他【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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対数微分法により、次の関数を微分せよ。ただし、$a$ は定数とする。
(1) $y=\dfrac{(x+1)^2}{(x+2)^3(x+3)^4}$
(2) $y=\dfrac{(1+x)^3(1-2x)}{(1-x)(1+2x)^3}$
(3) $y=\sqrt[4]{(x+1)(x^2+2)}$
(4) $y=\dfrac{x}{\sqrt{(a^2+x^2)^3}}$
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対数微分法により、次の関数を微分せよ。ただし、$a$ は定数とする。
(1) $y=\dfrac{(x+1)^2}{(x+2)^3(x+3)^4}$
(2) $y=\dfrac{(1+x)^3(1-2x)}{(1-x)(1+2x)^3}$
(3) $y=\sqrt[4]{(x+1)(x^2+2)}$
(4) $y=\dfrac{x}{\sqrt{(a^2+x^2)^3}}$
次の関数を微分せよ。ただし，a，bは定数で，a＞0，a≠1とする。（1）y=e⁻²ˣsin2x（2）y=10ˢⁱⁿˣ（3）y=logₓa（4）y=log（logx）他【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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次の関数を微分せよ。ただし、$a,\ b$ は定数で、$a>0,\ a\ne1$ とする。
(1) $y=e^{-2x}\sin2x$
(2) $y=10^{\sin x}$
(3) $y=\log_x a$
(4) $y=\log(\log x)$
(5) $y=\log(x+\sqrt{x^2-a^2})$
(6) $y=\log\dfrac{x^2-b}{x^2+b}$
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次の関数を微分せよ。ただし、$a,\ b$ は定数で、$a>0,\ a\ne1$ とする。
(1) $y=e^{-2x}\sin2x$
(2) $y=10^{\sin x}$
(3) $y=\log_x a$
(4) $y=\log(\log x)$
(5) $y=\log(x+\sqrt{x^2-a^2})$
(6) $y=\log\dfrac{x^2-b}{x^2+b}$
次の極限値を求めよ。（1）limₓ→ₐ（sinx−sina）/sin（x−a）（2）limₓ→ₐ（x²sina−a²sinx）/（x−a）【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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次の極限値を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{\sin x-\sin a}{\sin(x-a)}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{x^2\sin a-a^2\sin x}{x-a}$
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次の極限値を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{\sin x-\sin a}{\sin(x-a)}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{x^2\sin a-a^2\sin x}{x-a}$
次の関数を微分せよ。（1）y=sin²3x（2）y=sin⁵xcos5x（3）y=sin⁴xcos⁴x（4）y=√（1+sin²x）他【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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#微分とその応用#色々な関数の導関数#数学(高校生)#数Ⅲ
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次の関数を微分せよ。
(1) $y=\sin^23x$
(2) $y=\sin^5x\cos5x$
(3) $y=\sin^4x\cos^4x$
(4) $y=\sqrt{1+\sin^2x}$
(5) $y=\sin\sqrt{x^2+x+1}$
(6) $y=\left(\tan x+\dfrac{1}{\tan x}\right)^2$
(7) $y=\dfrac{\cos x}{1-\sin x}$
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次の関数を微分せよ。
(1) $y=\sin^23x$
(2) $y=\sin^5x\cos5x$
(3) $y=\sin^4x\cos^4x$
(4) $y=\sqrt{1+\sin^2x}$
(5) $y=\sin\sqrt{x^2+x+1}$
(6) $y=\left(\tan x+\dfrac{1}{\tan x}\right)^2$
(7) $y=\dfrac{\cos x}{1-\sin x}$
すべての実数xに対して，1+2x−3x²≦f（x）≦1+2x+3x²が成り立つような関数f（x）がある。このとき，f'（0）を求めよ。【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
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すべての実数 $x$ に対して、$1+2x-3x^2\leq f(x)\leq1+2x+3x^2$ が成り立つような関数 $f(x)$ がある。このとき、$f'(0)$ を求めよ。
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すべての実数 $x$ に対して、$1+2x-3x^2\leq f(x)\leq1+2x+3x^2$ が成り立つような関数 $f(x)$ がある。このとき、$f'(0)$ を求めよ。
f（x）=1/（x³+1）の逆関数f⁻¹（x）のx=1/9における微分係数を求めよ。【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
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$f(x)=\dfrac{1}{x^3+1}$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ の $x=\dfrac{1}{9}$ における微分係数を求めよ。
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$f(x)=\dfrac{1}{x^3+1}$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ の $x=\dfrac{1}{9}$ における微分係数を求めよ。
次の関数を微分せよ。（1）y=x/（1+x³）²（2）y=1/x⁴√x（3）y=x√（x²+2）（4）y=x/√（1−x²）【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
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次の関数を微分せよ。
(1) $y=\dfrac{x}{(1+x^3)^2}$
(2) $y=\dfrac{1}{x\sqrt[4]{x}}$
(3) $y=x\sqrt{x^2+2}$
(4) $y=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
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次の関数を微分せよ。
(1) $y=\dfrac{x}{(1+x^3)^2}$
(2) $y=\dfrac{1}{x\sqrt[4]{x}}$
(3) $y=x\sqrt{x^2+2}$
(4) $y=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
次の関数を微分せよ。（1）y=（x+2）（x−1）（x−5）（2）y=（x³−x）（x²+1）（x−1）【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
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次の関数を微分せよ。
(1) $y=(x+2)(x-1)(x-5)$
(2) $y=(x^3-x)(x^2+1)(x-1)$
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次の関数を微分せよ。
(1) $y=(x+2)(x-1)(x-5)$
(2) $y=(x^3-x)(x^2+1)(x-1)$
双曲線xy=k²上に点A（k，k）をとる。Aと異なる点Pをとり，Pを通り直線PAに垂直な直線を引き，直線OAとの交点をQとする。点Pが点Aに近づくとき点Qの座標を求めよ【数Ⅲ】【関数の極限】
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
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双曲線 $xy=k^2$（$k$ は正の定数）上に点 $A(k,\ k)$ をとる。この曲線の第 1 象限にある部分の上に A と異なる点 P をとり、P を通り直線 PA に垂直な直線を引き、直線 OA との交点を Q とする。点 P がこの双曲線にそって点 A に限りなく近づくとき、点 Q が近づいていく点の座標を求めよ。ただし、O は原点とする。
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双曲線 $xy=k^2$（$k$ は正の定数）上に点 $A(k,\ k)$ をとる。この曲線の第 1 象限にある部分の上に A と異なる点 P をとり、P を通り直線 PA に垂直な直線を引き、直線 OA との交点を Q とする。点 P がこの双曲線にそって点 A に限りなく近づくとき、点 Q が近づいていく点の座標を求めよ。ただし、O は原点とする。
limₓ→−∞（f（x）−2x³）/x²=1，limₓ→0f（x）/x=−3を満たすxの多項式で表される関数f（x）を求めよ。【数Ⅲ】【関数の極限】
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)-2x^3}{x^2}=1,\ \displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x}=-3$ を満たす $x$ の多項式で表される関数 $f(x)$ を求めよ。
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$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)-2x^3}{x^2}=1,\ \displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x}=-3$ を満たす $x$ の多項式で表される関数 $f(x)$ を求めよ。
rは定数とする。次の数列の極限を調べよ。（1）r＞0のとき {1/（2+rⁿ）}（2）r≠±1のとき {（rⁿ+2）/（rⁿ−1）}（3）r≠0のとき {1/rⁿ}【数Ⅲ】【極限｜無限等比数列】
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#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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$r$ は定数とする。次の数列の極限を調べよ。
(1) $r>0$ のとき $\left\{\dfrac{1}{2+r^n}\right\}$
(2) $r\ne\pm1$ のとき $\left\{\dfrac{r^{n+2}}{r^n-1}\right\}$
(3) $r\ne0$ のとき $\left\{\dfrac{1}{r^n}\right\}$
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$r$ は定数とする。次の数列の極限を調べよ。
(1) $r>0$ のとき $\left\{\dfrac{1}{2+r^n}\right\}$
(2) $r\ne\pm1$ のとき $\left\{\dfrac{r^{n+2}}{r^n-1}\right\}$
(3) $r\ne0$ のとき $\left\{\dfrac{1}{r^n}\right\}$
次の数列が収束するような実数xの値の範囲を求めよ。（1）{（x/（1+2x））ⁿ}（2）{x（x²−5x+5）²ⁿ⁻¹}【数Ⅲ】【極限｜無限等比数列】
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#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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次の数列が収束するような実数 $x$ の値の範囲を求めよ。
(1) $\left\{\left(\dfrac{x}{1+2x}\right)^n\right\}$
(2) $\{x(x^2-5x+5)^{n-1}\}$
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次の数列が収束するような実数 $x$ の値の範囲を求めよ。
(1) $\left\{\left(\dfrac{x}{1+2x}\right)^n\right\}$
(2) $\{x(x^2-5x+5)^{n-1}\}$
座標平面上を運動する点Pの時刻tにおける座標（x，y）が，x=e⁻ᵗsint，y=e⁻ᵗcostで表されるとき，速度vとOPのなす角θを求めよ。【数Ⅲ】【微分とその応用｜速度と加速度】
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#微分とその応用#速度と近似式#数学(高校生)#数Ⅲ
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座標平面上を運動する点 P の時刻 $t$ における座標 $(x,\ y)$ が、$x=e^{-t}\sin t$、
$y=e^{-t}\cos t$ で表されるとき、速度 $\vec{v}$ と $\overrightarrow{OP}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。ただし、O
は原点 $(0,\ 0)$ とする。
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座標平面上を運動する点 P の時刻 $t$ における座標 $(x,\ y)$ が、$x=e^{-t}\sin t$、
$y=e^{-t}\cos t$ で表されるとき、速度 $\vec{v}$ と $\overrightarrow{OP}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。ただし、O
は原点 $(0,\ 0)$ とする。
座標平面上を運動する点Pの時刻tにおける座標（x，y）が，x=2（ωt−sinωt），y=2（1−cosωt）で表されるとき，速さvの最大値とtの値を求めよ【数Ⅲ】【微分とその応用｜速度と加速度】
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座標平面上を運動する点 P の時刻 $t$ における座標 $(x,\ y)$ が、
$x=2(\omega t-\sin\omega t),\ y=2(1-\cos\omega t)$ で表されるとき、速さ $|\vec{v}|$ の最大値と、
そのときの $t$ の値を求めよ。ただし、$\omega$ は正の定数とする。
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座標平面上を運動する点 P の時刻 $t$ における座標 $(x,\ y)$ が、
$x=2(\omega t-\sin\omega t),\ y=2(1-\cos\omega t)$ で表されるとき、速さ $|\vec{v}|$ の最大値と、
そのときの $t$ の値を求めよ。ただし、$\omega$ は正の定数とする。
水面から30mの高さの岸壁の上から58mの距離にある船を綱で引き寄せる。毎秒4mの速さで綱をたぐるとき，2秒後の船の速さを求めよ。【数Ⅲ】【微分とその応用｜速度と加速度】
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#微分とその応用#速度と近似式#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
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水面から 30 m の高さの岸壁の上から 58 m の距離にある船を網で引き寄せる。
毎秒 4 m の速さで網をたぐるとき、2 秒後の船の速さを求めよ。
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水面から 30 m の高さの岸壁の上から 58 m の距離にある船を網で引き寄せる。
毎秒 4 m の速さで網をたぐるとき、2 秒後の船の速さを求めよ。
4次方程式x⁴+ax³+bx²−2b+2=0がx=2を重解にもつとき，定数a，bの値を求めよ。【数Ⅲ】【微分とその応用｜接線と法線】
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#微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#数学(高校生)#数Ⅲ
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4 次方程式 $x^4+ax^3+bx^2-2b+2=0$ が $x=2$ を重解にもつとき、定数 $a,\ b$ の値を求めよ。
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4 次方程式 $x^4+ax^3+bx^2-2b+2=0$ が $x=2$ を重解にもつとき、定数 $a,\ b$ の値を求めよ。
点P（a，0）から曲線y=xeˣに接線が引けるためのaの条件を求めよ。【数Ⅲ】【微分とその応用｜接線と法線】
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#微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#数学(高校生)#数Ⅲ
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点 $\mathrm{P}(a,\ 0)$ から曲線 $y=xe^x$ に接線が引けるための $a$ の条件を求めよ。
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点 $\mathrm{P}(a,\ 0)$ から曲線 $y=xe^x$ に接線が引けるための $a$ の条件を求めよ。
曲線xy=k（k≠0）上の任意の点Pにおける接線が，x軸，y軸と交わる点を，それぞれQ，Rとするとき，△OQRの面積は一定であることを示せ。ただし，Oは原点とする【数Ⅲ】【微分とその応用｜接線と法線】
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曲線 $xy=k\ (k\ne0)$ 上の任意の点 P における接線が、$x$ 軸、$y$ 軸と交わる点を、それぞれ Q、R とするとき、$\triangle OQR$ の面積は一定であることを示せ。ただし、O は原点とする。
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曲線 $xy=k\ (k\ne0)$ 上の任意の点 P における接線が、$x$ 軸、$y$ 軸と交わる点を、それぞれ Q、R とするとき、$\triangle OQR$ の面積は一定であることを示せ。ただし、O は原点とする。
関数1/√xの定積分を用いて，次の不等式を証明せよ。ただし，nは自然数とする。2（√（n+1）−1）＜1+1/√2+1/√3+……+1/√n≦2√n−1【数Ⅲ】【積分法｜定積分の種々の問題】
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関数 $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ の定積分を用いて、次の不等式を証明せよ。ただし、$n$ は自然数とする。
$2(\sqrt{n+1}-1)<1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\leq2\sqrt{n}-1$
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関数 $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ の定積分を用いて、次の不等式を証明せよ。ただし、$n$ は自然数とする。
$2(\sqrt{n+1}-1)<1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\leq2\sqrt{n}-1$
次の不等式を証明せよ。（1）π/2＜∫0π/2 dx/√（1−1/2sin²x）＜π/√2（2）1/3＜∫0¹e（sinx+cosx）²dx＜1/2【数Ⅲ】【積分法｜定積分の種々の問題】
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#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
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次の不等式を証明せよ。
(1) $\dfrac{\pi}{2}<\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{dx}{\sqrt{1-\dfrac{1}{2}\sin^2x}}<\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}$
(2) $\dfrac{1}{3}<\displaystyle \int_0^1x^{(\sin x+\cos x)^2}dx<\dfrac{1}{2}$
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次の不等式を証明せよ。
(1) $\dfrac{\pi}{2}<\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{dx}{\sqrt{1-\dfrac{1}{2}\sin^2x}}<\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}$
(2) $\dfrac{1}{3}<\displaystyle \int_0^1x^{(\sin x+\cos x)^2}dx<\dfrac{1}{2}$