【問題】
次の2つの等式を同時に満たす整数の組(m, n)をすべて求めよ。
・(m - 2n + 20)(m + n) = -12
・(3n - 25)(m + n) = 6

【解説のポイント】
・整数問題の王道「(式の積) = (整数)」の形に着目します。
・闇雲に探すと時間が足りなくなるため、1文字（n）のみで構成されている『(3n - 25)(m + n) = 6』から絞り込むのが最大の攻略ポイント！
・かけて 6 になる整数のペア（±1, ±2, ±3, ±6 の8通り）から 3n - 25 の候補を絞り、n が整数になるものだけを抽出します。
・n = 9 のとき m = -6 が求まり、これがもう一方の式『(m - 2n + 20)(m + n) = -12』を同時に満たすか検証。
・「すべて求めよ」という問いに対して、解が1組 (-6, 9) のみというトラップにも動じず、論理的に解き切る技術を学びましょう！

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【問題】
0 < a < 2 とする。
√(a + b) + √(a - b) = 2 のとき、a を b の式で表しなさい。

【解説のポイント】
・中学校で習う基本的な等式の変形ですが、根号（ルート）が2つ入っているため中学生には馴染みが薄く、差がつく難問です。
・【注意点】(√A + √B)² ≠ A + B です！必ず式全体をかっこで括って2乗する展開公式 (x + y)² = x² + 2xy + y² を適用します。
・1回目の2乗を行うと √ の項が1つ残るため、根号の項を左辺に孤立させて「√（式） = (2 - a)」の形を作ります。
・その状態から【2回目の2乗】を行うことで、ルートを完全に消去できます！
・両辺を展開して a² を消去し、目的の文字 a について解くことで「a = (b² + 4)/4」を導き出すプロセスの美しさを体感してください。

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【問題】
3x² + 12xy + 12y² + 2x + 4y - 8 を因数分解しなさい。

【解説のポイント】
・前半の3項（3x² + 12xy + 12y²）を「3」で括り、続く2項（2x + 4y）を「2」で括ることで、どちらにも「x + 2y」という共通のまとまりが出現します。
・x + 2y = A と置き換えることで、式は「3A² + 2A - 8」というシンプルな2次式に変形できます。
・ここから高校数学の標準テクニックである【たすき掛け】を用いて (3A - 4)(A + 2) へと因数分解！
・最後に A を元の (x + 2y) に戻して展開整理し、(3x + 6y - 4)(x + 2y + 2) を導き出します。
・難関高校入試でよく出る「置き換え」と「たすき掛け」の組み合わせテクニックをしっかり身につけましょう！

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