問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
第5問　\triangle ABCの重心をGとし、線分AG上で点Aとは異なる位置に点Dをとる。\\
直線AGと辺BCの交点をEとする。また、直線BC上で辺BC上にはない位置に点Fをとる。\\
直線DFと辺ABの交点をP、直線DFと辺ACの交点をQとする。\\
(1)点Dは線分AGの中点であるとする。このとき、\triangle ABCの形状に関係なく\frac{AD}{DE}=\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }}\\
である。また、点Fの位置に関係なく\frac{BP}{AP}=\boxed{\ \ ウ\ \ }×\frac{\boxed{\ \ エ\ \ }}{\boxed{\ \ オ\ \ }},\\
\frac{CQ}{AQ}=\boxed{\ \ カ\ \ }×\frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{\boxed{\ \ ク\ \ }}であるので、常に\frac{BP}{AP}+\frac{CQ}{AQ}=\boxed{\ \ ケ\ \ }\\
\\
\\
\boxed{\ \ エ\ \ }～\boxed{\ \ ケ\ \ }の解答群\\
⓪BC　①BF　②CF　③EF　④FP　⑤FQ　⑥PQ\\
\\
(2)AB=9,　BC=8,　AC=6とし、(1)と同様に、点Dは線分AGの中点であるとする。\\
ここで、4点B,C,Q,Pが同一円周上にあるように点Fをとる。このとき、\\
\\
AQ=\frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }}\ APであるから\\
\\
AP=\frac{\boxed{\ \ シス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }},　AQ=\frac{\boxed{\ \ ソタ\ \ }}{\boxed{\ \ チ\ \ }}であり、CF=\frac{\boxed{\ \ ツテ\ \ }}{\boxed{\ \ トナ\ \ }}である。\\
\\
(3)\triangle ABCの形状や点Fの位置に関係なく、常に\frac{BP}{AP}+\frac{CQ}{AQ}=10となるのは\\
\frac{AD}{DG}=\frac{\boxed{\ \ ニ\ \ }}{\boxed{\ \ ヌ\ \ }}のときである。

\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large第5問}\\
Oを原点とする座標空間に2点A(-1,2,0),　B(2,p,q)がある。ただし、q \gt 0とする。\\
線分ABの中点Cから直線OAに引いた垂線と直線OAの交点Dは、線分OAを9:1に内分\\
するものとする。また、点Cから直線OBに引いた垂線と直線OBの交点Eは、線分OBを3:2\\
に内分するものとする。\\
\\
(1)点Bの座標を求めよう。\\
|\overrightarrow{ OA }|^2=\boxed{\ \ ア\ \ }である。また、\overrightarrow{ OD }=\frac{\boxed{\ \ イ\ \ }}{\boxed{\ \ ウエ\ \ }}\overrightarrow{ OA }であることにより、\\
\overrightarrow{ CD }=\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\overrightarrow{ OA }-\frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{\boxed{\ \ ク\ \ }}\overrightarrow{ OB }と表される。\overrightarrow{ OA } \bot \overrightarrow{ CD }から\\
\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }=\boxed{\ \ ケ\ \ }　\ldots①\\
である。同様に、\overrightarrow{ CE }を\overrightarrow{ OA },\overrightarrow{ OB }を用いて表すと、\overrightarrow{ OB } \bot \overrightarrow{ CE }から\\
|\overrightarrow{ OB }|^2=20　\ldots②\\
を得る。\\
\\
①と②、およびq \gt 0から、Bの座標は\left(2,　\boxed{\ \ コ\ \ },　\sqrt{\boxed{\ \ サ\ \ }}\right)である。\\
\\
\\
(2)3点O,A,Bの定める平面を\alphaとし、点(4,　4,　-\sqrt7)をGとする。\\
また、\alpha上に点Hを\overrightarrow{ GH } \bot \overrightarrow{ OA }と\overrightarrow{ GH } \bot \overrightarrow{ OB }が成り立つようにとる。\overrightarrow{ OH }を\\
\overrightarrow{ OA },\overrightarrow{ OB }を用いて表そう。\\
Hが\alpha上にあることから、実数s,tを用いて\\
\overrightarrow{ OH }=s\ \overrightarrow{ OA }+t\ \overrightarrow{ OB }\\
と表される。よって\\
\overrightarrow{ GH }=\boxed{\ \ シ\ \ }\ \overrightarrow{ OG }+s\ \overrightarrow{ OA }+t\ \overrightarrow{ OB }\\
である。これと、\overrightarrow{ GH } \bot \overrightarrow{ OA }および\overrightarrow{ GH } \bot \overrightarrow{ OB }が成り立つことから、\\
s=\frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }},　t=\frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }}{\boxed{\ \ タチ\ \ }}が得られる。ゆえに\\
\overrightarrow{ OH }=\frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}\ \overrightarrow{ OA }+\frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }}{\boxed{\ \ タチ\ \ }}\ \overrightarrow{ OB }\\
となる。また、このことから、Hは\boxed{\boxed{\ \ ツ\ \ }}であることがわかる。\\
\\
\boxed{\boxed{\ \ ツ\ \ }}の解答群\\
⓪三角形OACの内部の点\\
①三角形OBCの内部の点\\
②点O,Cと異なる、線分OC上の点\\
③三角形OABの周上の点\\
④三角形OABの内部にも周上にもない点
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
[2]a,bは正の実数であり、a≠1,b≠1を満たすとする。太郎さんは\\
\log_abと\log_baの大小関係を調べることにした。\\
(1)太郎さんは次のような考察をした。\\
まず、\log_39=\boxed{\ \ ス\ \ },　\log_93=\frac{1}{\boxed{\ \ ス\ \ }}である、この場合\\
\\
\log_39 \gt \log_93\\
\\
が成り立つ。\\
一方、\log_{\frac{1}{4}}\boxed{\ \ セ\ \ }=-\frac{3}{2},\log_{\boxed{セ}}\frac{1}{4}=-\frac{2}{3}である。この場合\\
\\
\log_{\frac{1}{4}}\boxed{\ \ セ\ \ } \lt \log_{\boxed{セ}}\frac{1}{4}\\
\\
が成り立つ。\\
(2)ここで\\
log_ab=t　\ldots①\\
とおく。\\
(1)の考察をもとにして、太郎さんは次の式が成り立つと推測し、\\
それが正しいことを確かめることにした。\\
\log_ba=\frac{1}{t}　\ldots②\\
①により、\boxed{\ \ ソ\ \ }である。このことにより\boxed{\ \ タ\ \ }が得られ、②が\\
成り立つことが確かめられる。\\
\\
\\
\boxed{\ \ ソ\ \ }の解答群\\
⓪a^k=t　①a^t=b　②b^a=t\\
③b^t=a　④t^a=b　⑤t^b=a\\
\\
\boxed{\ \ タ\ \ }の解答群\\
⓪a=t^{\frac{1}{b}}　①a=b^{\frac{1}{t}}　②b=t^{\frac{1}{a}}\\
③b=a^{\frac{1}{t}}　④t=b^{\frac{1}{a}}　⑤t=a^{\frac{1}{b}}\\
\\
(3)次に、太郎さんは(2)の考察をもとにして\\
t \gt \frac{1}{t}　\ldots③\\
を満たす実数t(t≠0)の値の範囲を求めた。\\
\\
太郎さんの考察\\
t \gt 0ならば、③の両辺にtを掛けることにより、t^2 \gt 1を得る。\\
このようなt(t \gt 0)の値の範囲は1 \lt tである。\\
t \lt 0ならば、③の両辺にtを掛けることにより、t^2 \lt 1を得る。\\
このようなt(t \lt 0)の値の範囲は-1 \lt t \lt 0である。\\
\\
この考察により、③を満たすt(t≠0)の値の範囲は\\
-1 \lt t \lt 0,　1 \lt t\\
であることが分かる。\\
ここで、aの値を一つ定めたとき、不等式\\
\log_ab \gt \log_ba　\ldots④\\
を満たす実数b(b \gt 0,　b≠1)の値の範囲について考える。\\
④を満たすbの値の範囲はa \gt 1のときは\boxed{\ \ チ\ \ }であり、\\
0 \lt a \lt 1のときは\boxed{\ \ ツ\ \ }である。\\
\\
\boxed{\ \ チ\ \ }の解答群\\
⓪0 \lt b \lt \frac{1}{a},　1 \lt b \lt a　　　①0 \lt b \lt \frac{1}{a},　a \lt b\\
②\frac{1}{a} \lt b \lt 1,　1 \lt b \lt a　　　③\frac{1}{a} \lt b \lt 1,　a \lt b\\
\\
\\
\boxed{\ \ ツ\ \ }の解答群\\
⓪0 \lt b \lt a,　1 \lt b \lt \frac{1}{a}　　　①0 \lt b \lt a,　\frac{1}{a} \lt b\\
②a \lt b \lt 1,　1 \lt b \lt \frac{1}{a}　　　③a \lt b \lt 1,　\frac{1}{a} \lt b\\
\\
\\
(4)p=\frac{12}{13},　q=\frac{12}{11},　r=\frac{14}{13}とする。\\
次の⓪～③のうち、正しいものは\boxed{\ \ テ\ \ }である。\\
\\
\boxed{\ \ テ\ \ }の解答群\\
⓪\log_pq \gt \log_qpかつ\log_pr \gt \log_rp\\
①\log_pq \gt \log_qpかつ\log_pr \lt \log_rp\\
②\log_pq \lt \log_qpかつ\log_pr \gt \log_rp\\
③\log_pq \lt \log_qpかつ\log_pr \lt \log_rp\\
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large第4問}\\
[1]自然数nに対して、S_n=5^n-1とする。さらに、数列\left\{a_n\right\}の初項から\\
第n項までの和がS_nであるとする。このとき、a_1=\boxed{\ \ ア\ \ }である。また\\
n \geqq 2のとき\\
a_n=\boxed{\ \ イ\ \ }・\boxed{\ \ ウ\ \ }^{n-1}\\
である。この式はn=1の時にも成り立つ。\\
上で求めたことから、すべての自然数nに対して\\
\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}=\frac{\boxed{\ \ エ\ \ }}{\boxed{\ \ オカ\ \ }}\left(1-\boxed{\ \ キ\ \ }^{-n}\right)\\
が成り立つことが分かる。\\
\\
[2]太郎さんは和室の畳を見て、畳の敷き方が何通りあるかに興味を持った。\\
ちょうど手元にタイルがあったので、畳をタイルに置き換えて、\\
数学的に考えることにした。\\
縦の長さが1、横の長さが2の長方形のタイルが多数ある。\\
それらを縦か横の向きに、隙間も重なりもなく敷き詰めるとき、\\
その敷き詰め方をタイルの「配置」と呼ぶ。\\
\\
上の図(※動画参照)のように、縦の長さが3,横の長さが2nの長方形をR_nとする。\\
3n枚のタイルを用いたR_n内の配置の総数をr_nとする。\\
n=1のときは、下の図(※動画参照)のようにr_1=3である。\\
\\
また、n=2ｎときは、下の図(※動画参照)のようにr_2=11である。\\
\\
(1)太郎さんは次のような図形T_n内の配置を考えた。\\
(3n+1)枚のタイルを用いたT_n内の配置の総数をt_nとする。n=1\\
のときは、t_1=\boxed{\ \ ク\ \ }である。\\
さらに、太郎さんはT_n内の配置について、右下隅のタイルに注目して\\
次のような図(※動画参照)をかいて考えた。\\
\\
この図(※動画参照)から、2以上の自然数nに対して\\
t_n=Ar_n+Bt_{n-1}\\
が成り立つことが分かる。ただし、A=\boxed{\ \ ケ\ \ },　B=\boxed{\ \ コ\ \ }である。\\
以上から、t_2=\boxed{\ \ サシ\ \ }であることが分かる。\\
同様に、R_nの右下隅のタイルに注目して次のような図(※動画参照)をかいて考えた。\\
\\
この図(※動画参照)から、2以上の自然数nに対して\\
r_n=Cr_{n-1}+Dt_{n-1}\\
が成り立つことが分かる。ただし、C=\boxed{\ \ ス\ \ },　D=\boxed{\ \ セ\ \ }である。\\
\\
(2)畳を縦の長さが1,　横の長さが2の長方形と見なす。縦の長さが3,　横の長さが6\\
の長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき、敷き詰め方の総数は\boxed{\ \ ソタ\ \ }である。\\
また、縦の長さが3、横の長さが8の長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき、\\
敷き詰め方の総数は\boxed{\ \ チツテ\ \ }である。
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
第1問\ [1]　実数a,b,cがa+b+c=1\ldots①およびa^2+b^2+c^2=13\ldots②を満たしているとする。\\
(1)(a+b+c)^2を展開した式において、①と②を用いるとab+bc+ca=\boxed{\ \ アイ\ \ }\\
であることが分かる。\\
よって、(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=\boxed{\ \ ウエ\ \ }である。\\
\\
(2)a-b=2\sqrt5　の場合に、(a-b)(b-c)(c-a)の値を求めてみよう。\\
b-c=x,　c-a=yとおくと、x+y=\boxed{\ \ オカ\ \ }\sqrt5　である。また(1)の計算から\\
x^2+y^2=\boxed{\ \ キク\ \ }が成り立つ。これらより\\
(a-b)(b-c)(c-a)=\boxed{\ \ ケ\ \ }\sqrt5　である。
\end{eqnarray}