福田の数学〜九州大学2022年理系第5問〜媒介変数表示のグラフの対称性とグラフの追跡 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜九州大学2022年理系第5問〜媒介変数表示のグラフの対称性とグラフの追跡

問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{5}}\ xy平面上の曲線Cを、媒介変数tを用いて次のように定める。\\
x=5\cos t+\cos5t, y=5\sin t-\sin5t (-\pi \leqq t \lt \pi)\\
以下の問いに答えよ。\\
(1)区間0 \lt t \lt \frac{\pi}{6}において、\frac{dx}{dt} \lt 0, \frac{dy}{dx} \lt 0であることを示せ。\\
(2)曲線Cの0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{6}の部分、x軸、直線y=\frac{1}{\sqrt3}xで囲まれた\\
図形の面積を求めよ。\\
(3)曲線Cはx軸に関して対称であることを示せ。また、C上の点を\\
原点を中心として反時計回りに\frac{\pi}{3}だけ回転させた点はC上\\
にあることを示せ。\\
(4)曲線Cの概形を図示せよ。
\end{eqnarray}

2022九州大学理系過去問
単元: #大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#微分とその応用#積分とその応用#微分法#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#九州大学#数C#数Ⅲ
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{5}}\ xy平面上の曲線Cを、媒介変数tを用いて次のように定める。\\
x=5\cos t+\cos5t, y=5\sin t-\sin5t (-\pi \leqq t \lt \pi)\\
以下の問いに答えよ。\\
(1)区間0 \lt t \lt \frac{\pi}{6}において、\frac{dx}{dt} \lt 0, \frac{dy}{dx} \lt 0であることを示せ。\\
(2)曲線Cの0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{6}の部分、x軸、直線y=\frac{1}{\sqrt3}xで囲まれた\\
図形の面積を求めよ。\\
(3)曲線Cはx軸に関して対称であることを示せ。また、C上の点を\\
原点を中心として反時計回りに\frac{\pi}{3}だけ回転させた点はC上\\
にあることを示せ。\\
(4)曲線Cの概形を図示せよ。
\end{eqnarray}

2022九州大学理系過去問
投稿日:2022.05.08

<関連動画>

数学どうにかしたい人へ

アイキャッチ画像
単元: #数Ⅰ#数A#数Ⅱ#数と式#2次関数#場合の数と確率#図形の性質#式と証明#複素数と方程式#平面上のベクトル#空間ベクトル#平面上の曲線#複素数平面#図形と計量#データの分析#式の計算(整式・展開・因数分解)#実数と平方根(循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号)#一次不等式(不等式・絶対値のある方程式・不等式)#集合と命題(集合・命題と条件・背理法)#2次方程式と2次不等式#2次関数とグラフ#三角比(三角比・拡張・相互関係・単位円)#三角比への応用(正弦・余弦・面積)#データの分析#整数の性質#場合の数#確率#三角形の辺の比(内分・外分・二等分線)#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#方べきの定理と2つの円の関係#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#ユークリッド互除法と不定方程式・N進法#図形と方程式#三角関数#指数関数と対数関数#微分法と積分法#整式の除法・分数式・二項定理#恒等式・等式・不等式の証明#複素数#解と判別式・解と係数の関係#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#円と方程式#軌跡と領域#三角関数とグラフ#加法定理とその応用#指数関数#対数関数#平均変化率・極限・導関数#接線と増減表・最大値・最小値#数列#確率分布と統計的な推測#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#数列とその和(等差・等比・階差・Σ)#漸化式#数学的帰納法#確率分布#統計的な推測#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#2次曲線#複素数平面#図形への応用#関数(分数関数・無理関数・逆関数と合成関数)#数列の極限#関数の極限#微分法#色々な関数の導関数#接線と法線・平均値の定理#関数の変化(グラフ・最大最小・方程式・不等式)#不定積分#定積分#面積・体積・長さ・速度#空間における垂直と平行と多面体(オイラーの法則)#不定積分・定積分#面積、体積#媒介変数表示と極座標#速度と近似式#数学(高校生)#数B#数C#数Ⅲ
指導講師: カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】
問題文全文(内容文):
数学が共通テストのみの人の勉強法紹介動画です
この動画を見る 

福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題026〜神戸大学2016年度理系数学第5問〜極方程式と媒介変数表示

アイキャッチ画像
単元: #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#平面上の曲線#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#微分とその応用#積分とその応用#微分法#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#神戸大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{5}} 極方程式で表されたxy平面上の曲線r=1+\cos\theta(0 \leqq \theta \leqq 2\pi)をCとする。\\
(1)曲線C上の点を直交座標(x,y)で表したとき、\frac{dx}{d\theta}=0となる点、および\\
\frac{dy}{d\theta}=0となる点の直交座標を求めよ。\\
(2)\lim_{\theta \to \pi}\frac{dy}{dx}を求めよ。\\
(3)曲線Cの概形をxy平面上にかけ。\\
(4)曲線Cの長さを求めよ。
\end{eqnarray}

2016神戸大学理系過去問
この動画を見る 

福田の一夜漬け数学〜積分・面積と体積、媒介変数表示(1)〜受験編

アイキャッチ画像
単元: #平面上の曲線#積分とその応用#定積分#面積・体積・長さ・速度#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=\theta-\sin\theta \\
y=1-\cos\theta
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}(0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$で表される曲線をCとする。

(1)Cとx軸で囲まれる部分の領域をDとする。Dの面積Sを求めよ。
(2)Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積Vを求めよ。

$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=t^2+1 \\
y=2-t-t^2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}(-2 \leqq t \leqq 1)$で表される曲線とx軸で囲まれた面積を求めよ。
この動画を見る 

東大 座標上の鋭角三角形

アイキャッチ画像
単元: #数A#図形の性質#平面上の曲線#三角形の辺の比(内分・外分・二等分線)#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C
指導講師: 鈴木貫太郎
問題文全文(内容文):
$a,b$は実数であり,$b\neq 0$である.
$O(0,0).P(1,0),Q(a,b)$

(1)$\triangle OPQ$が鋭角三角形になる$a,b$の条件を不等式で表せ.
(2)$m,n$整数,$a,b$は(1)の条件を満たすとき,$(m+na)^2-(m+na)+n^2b^2 \geqq 0$を示せ.

1998東大過去問
この動画を見る 

福田のわかった数学〜高校2年生042〜軌跡(9)媒介変数表示の軌跡(2)

アイキャッチ画像
単元: #数Ⅱ#平面上の曲線#図形と方程式#軌跡と領域#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 軌跡(9) 媒介変数表示(2)\\
tが実数値をとって変化するとき、\\
x=\frac{t^2-1}{t^2+1} y=\frac{2t}{t^2+1}\\
はどんな曲線を表すか。
\end{eqnarray}
この動画を見る 
PAGE TOP