問題文全文(内容文)：
極方程式
$r=1+\cos \theta$
$(0\leqq \theta \leqq \pi )$で表される曲線の長さ$l$を求めよ。

出典：2009年京都大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
(1)座標平面上の点P(x,y)を、点T(s,t)を中心として半時計周りに角$\alpha$だけ
回転させるときに、点Pが点P'(x',y')に移るとする。x'とy'を$x,y,s,t,\alpha$
の式で表すと$x^{\prime }=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}, y^{\prime }=\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}$となる。
(2)aを正の実数とする。原点O(0,0)とする半径aの円Cに、半径$\frac{a}{2}$で原点O
を通る円Kを点A(a,0)において内接させる。この円Kを円Cに沿って
滑らないように転がす。ただし、KとCの接点がC上を半時計回りに動くようにする。
そして、接点の座標がはじめて$(a\cos \beta ,a\sin \beta )(0\leqq \beta \leqq 2\pi )$となるようにする。
円Kに対するこの操作は次の2段階の操作を続けて行うことと同等である。
$(\text{i})$点B$(\frac{a}{2},0)$を中心として、円Kを$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}$に角$\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}$だけ回転させる。
$(\text{ii})$原点Oを中心として、円Kを$\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$に角$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$だけ回転させる。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$の選択肢
時計回り,反時計回り,$\beta ,2\beta ,\frac{1}{2}\beta$

(3)円Kが点Aにおいて円Cに内接しているとき、Kの内部に固定された点Q(b,0)
(ただし、$0<b<a$)をとる。円Kを、Cとの接点がC上を一周するまで(2)に述べた
やり方でCに沿って転がすとき、点Qが動いてできる曲線を$S_1$とする。$S_1$上の
点の座標を(x,y)として、$S_1$の方程式をx,yを用いて書くと$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}$となる。

(4)円Kが点Aにおいて円Cに内接しているとき、円Cに固定された点R(0,a)をとる。
今度は円Kを固定して、円Cの方をKに接した状態で滑らないようにKに沿って転がす。
2つの円の接点が円Kを$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}$回転したとき、点Rははじめてもとの位置
(0,a)に戻る。Rが描く曲線を$S_2$とする。原点Oを極とし、x軸の正の部分を
始線とする極座標#$(r,\theta )$による$S_2$の極方程式は$r=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}$である。
ただし$r,\theta$はそれぞれ$S_2$上の点の原点からの距離、および偏角である。

2022慶應義塾大学医学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 4}}$座標平面の原点Oを極、x軸の正の部分を始線とする極座標$(r,\theta )$を考える。
$k>0$として、極方程式
$r(\sqrt{\cos \theta }+\sqrt{\sin \theta }{)}^2=k (0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2})$
で表される曲線を$C(k)$とする。曲線$C(k)$上の点を直交座標$(x,y)$で表せばxの
とりうる値の範囲は、$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}\leqq x\leqq \boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}$である。
曲線$C(k)$とx軸、y軸で囲まれた図形の面積を$S(k)$とおけば、$S(k)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}$
でなる。直交座標が$(\frac{k}{4},\frac{k}{4})$である曲線$C(k)$上の点Aにおける曲線$C(k)$の接線l
の方程式は、$y=\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}$となる。曲線$C(k)$と直線l、およびx軸で囲まれた
図形の面積を$T(k)$とおけば、$S(k)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}T(k)$が成り立つ。$0<m<n$を
満たす実数$m,n$に対して、$S(n)-S(m)$が$T(n)$と等しくなるのは、

$\frac{m^2}{n^2}=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}$のときである。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}、\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}$の解答群

$\mathrm{⓪}\sqrt{k} \mathrm{①}k \mathrm{②}{k}^2 \mathrm{③}\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{④}\frac{\sqrt{2}}{3}$
$\mathrm{⑤}\frac{k}{2} \mathrm{⑥}\frac{k}{3} \mathrm{⑦}\frac{k^2}{4} \mathrm{⑧}\frac{k^2}{5} \mathrm{⑨}\frac{k^2}{6}$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}$の解答群

$\mathrm{⓪}x+\frac{k}{2} \mathrm{①}x+\frac{k}{4} \mathrm{②}-x+\frac{k}{2} \mathrm{③}-x+\frac{k}{4} \mathrm{④}2x-\frac{k}{2}$
$\mathrm{⑤}2x-\frac{k}{4} \mathrm{⑥}2x-\frac{3k}{4} \mathrm{⑦}-2x+\frac{k}{2} \mathrm{⑧}-2x+\frac{k}{4} \mathrm{⑨}-2x+\frac{3k}{4}$

2021明治大学全統過去問

問題文全文(内容文)：
xy平面上の曲線Cを、媒介変数tを用いて次のように定める。
$x=5\cos t+\cos 5t, y=5\sin t-\sin 5t (-\pi \leqq t<\pi )$
以下の問いに答えよ。
(1)区間$0<t<\frac{\pi }{6}$において、$\frac{dx}{dt}<0, \frac{dy}{dx}<0$であることを示せ。
(2)曲線Cの$0\leqq t\leqq \frac{\pi }{6}$の部分、x軸、直線$y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$で囲まれた
図形の面積を求めよ。
(3)曲線Cはx軸に関して対称であることを示せ。また、C上の点を
原点を中心として反時計回りに$\frac{\pi }{3}$だけ回転させた点はC上
にあることを示せ。
(4)曲線Cの概形を図示せよ。

2022九州大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$z={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2}i}}$

（1）
${\displaystyle \frac{z}{1+i}}$を$a+bi$の形で表せ

（2）
$z$を極形式で表せ

（3）
$z^{12}$を求めよ

出典：2004年国立大学法人群馬大学　過去問