福田のわかった数学〜高校３年生理系019〜極限(19)関数の極限、無理関数の極限(4)

問題文全文(内容文)：
数学

III

　無理関数の極限(4)

lim_{x \to - \infty} (\sqrt{x^{2} + x + 1} -

\sqrt{x^{2} - x + 1})

　を求めよ。

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数学

III

　無理関数の極限(4)

lim_{x \to - \infty} (\sqrt{x^{2} + x + 1} -

\sqrt{x^{2} - x + 1})

　を求めよ。

投稿日：2021.05.25

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

(1)0≦

x

≦

\frac{π}{2}

において常に不等式|

b

|≦|

b

+1-

b \cos x

|が成り立つような実数

b

の値の範囲は

シ

≦

b

≦

ス

である。
以下、

b

を

シ

≦

b

≦

ス

を満たす0でない実数とし、数列

{a_{n}}

を

a_{n}

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin x (\cos x)^{n - 1}}{(b + 1 - b \cos x)^{n}} d x

　(n=1,2,3,...)で定義する。
(2)

lim_{n \to \infty} b^{n} a_{n}

=0　が成り立つことを証明しなさい。
(3)

a_{1}

セ

である。
(4)

a_{n + 1}

を

a_{n}

n

b

を用いて表すと

a_{n + 1}

ソ

となる。
(5)

lim_{n \to \infty} {\frac{1}{1 ・ 2} - \frac{1}{2 ・ 2^{2}} + \frac{1}{3 ・ 2^{3}} - . . . + \frac{(- 1)^{n + 1}}{n ・ 2^{n}}}

タ

である。

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約束記号　四天王寺

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指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：

⟨ ⟨ x ⟩ ⟩ = 2 x - 1

とする

⟨ ⟨ ⟨ ⟨ 2 x ⟩ ⟩ - 1 ⟩ ⟩ = x^{2} + 10

x = ?

四天王寺高等学校

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【数Ⅲ】極限：三角関数の合成の利用

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指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の極限値を求めよう。

lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin x - \cos x}{x - \frac{π}{4}}

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指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
数列{

x_{n}

},{

y_{n}

}を

x_{1} = y_{1} = 1, x_{n + 1} = \frac{2}{3} x_{n} + \frac{1}{6} y_{n}, y_{n + 1} = \frac{1}{3} x_{n} + \frac{5}{6} y_{n}

で定めるとき、
(1)

x_{n + 1} + α y_{n + 1} = β (x_{n} + α y_{n})

を満たす

α, β

の組を2組求めよう。
(2)数列{

x_{n}

},{

y_{n}

}の一般項を求めよう。
(3)数列{

x_{n}

},{

y_{n}

}の極限を求めよう。

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目で見てわかる収束の値

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指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

\frac{1}{4} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{4^{3}} + \frac{1}{4^{4}} + ･ ･ ･ ･ ･ ･ + \frac{1}{4^{n}}

これは収束する値か?

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