関数と極限
関数と極限
難易度バリ高の極限 by 餃子n人前さん ※作成者の解答を参考に動画を作成しています。
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$a_1=1,$ $a_{n+1}+a_n=\displaystyle \frac{1}{n}$のとき、
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } |na_n|$を求めよ
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$a_1=1,$ $a_{n+1}+a_n=\displaystyle \frac{1}{n}$のとき、
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } |na_n|$を求めよ
【高校数学】数Ⅲ：関数：逆関数と合成関数：逆関数の求め方とグラフの書き方【NI・SHI・NOがていねいに解説】
単元：
#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の関数の逆関数を求め，そのグラフをかけ。
$y＝log_{\frac{1}{3}}x$
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次の関数の逆関数を求め，そのグラフをかけ。
$y＝log_{\frac{1}{3}}x$
【高校数学】数Ⅲ：関数：逆関数と合成関数：逆関数の求め方【NI・SHI・NOがていねいに解説】
単元：
#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の関数の逆関数を求めよ。
$\displaystyle y＝\frac{x-2}{3x+1}$
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次の関数の逆関数を求めよ。
$\displaystyle y＝\frac{x-2}{3x+1}$
福田のおもしろ数学169〜log x/xの極限
単元：
#関数と極限#微分とその応用#関数の極限#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{\log x}{x}$=0 を証明せよ。
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$\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{\log x}{x}$=0 を証明せよ。
福田の数学〜九州大学2024年理系第5問〜定積分で定義された数列の極限
単元：
#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#数列の極限#微分法#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{5}$ 自然数$m$, $n$に対して
$I(m,n)$=$\displaystyle\int_1^ex^me^x(\log x)^ndx$
とする。以下の問いに答えよ。
(1)$I(m+1,n+1)$を$I(m,n+1)$, $I(m,n)$, $m$, $n$を用いて表せ。
(2)すべての自然数$m$に対して、$\displaystyle\lim_{n \to \infty}I(m,n)$=0 が成り立つことを示せ。
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$\Large\boxed{5}$ 自然数$m$, $n$に対して
$I(m,n)$=$\displaystyle\int_1^ex^me^x(\log x)^ndx$
とする。以下の問いに答えよ。
(1)$I(m+1,n+1)$を$I(m,n+1)$, $I(m,n)$, $m$, $n$を用いて表せ。
(2)すべての自然数$m$に対して、$\displaystyle\lim_{n \to \infty}I(m,n)$=0 が成り立つことを示せ。
πをどうやって表しますか？
約束記号 四天王寺
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$\langle\langle x \rangle\rangle=2x-1$とする
$\langle\langle \quad \langle\langle 2x \rangle\rangle -1 \rangle\rangle=x^2+10$
$x=?$
四天王寺高等学校
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$\langle\langle x \rangle\rangle=2x-1$とする
$\langle\langle \quad \langle\langle 2x \rangle\rangle -1 \rangle\rangle=x^2+10$
$x=?$
四天王寺高等学校
福田の数学〜慶應義塾大学2024年理工学部第1問(2)〜漸化式とはさみうちの原理
単元：
#大学入試過去問(数学)#漸化式#関数と極限#数列の極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
関数f(x)は実数全体で定義されており、$x\leqq 2$において
$\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}x\leqq f(x)\leqq 2-x$
を満たしているものとする。数列{$a_{ n }$}は漸化式
$a_{ n+1 }=a_{ n }+f(a_{ n })$
を満たしているものとする。
(i)$a_{ 1 } \leqq 2$ならば、すべての自然数nに対して、$a_{ 1 } \leqq a_{ n }\leqq2$となる事を証明しなさい。
(ii)$a_{ 1 } \leqq 2$ならば、$a_{ 1 }$の値によらず$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n = 2$となる事を証明しなさい。
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関数f(x)は実数全体で定義されており、$x\leqq 2$において
$\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}x\leqq f(x)\leqq 2-x$
を満たしているものとする。数列{$a_{ n }$}は漸化式
$a_{ n+1 }=a_{ n }+f(a_{ n })$
を満たしているものとする。
(i)$a_{ 1 } \leqq 2$ならば、すべての自然数nに対して、$a_{ 1 } \leqq a_{ n }\leqq2$となる事を証明しなさい。
(ii)$a_{ 1 } \leqq 2$ならば、$a_{ 1 }$の値によらず$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n = 2$となる事を証明しなさい。
【高校数学】無理関数のグラフの裏ワザ！例題もあるよ！
単元：
#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の無理関数のグラフをかけ。
(1)$y=\sqrt{x+2}$
(2)$y＝\sqrt{-3x-6}$
(3)$y＝-\sqrt{7-4x}$
(4)$y＝-\sqrt{\dfrac{1}{2}x-3}$
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次の無理関数のグラフをかけ。
(1)$y=\sqrt{x+2}$
(2)$y＝\sqrt{-3x-6}$
(3)$y＝-\sqrt{7-4x}$
(4)$y＝-\sqrt{\dfrac{1}{2}x-3}$
【高校数学】無理関数のグラフの裏ワザ！例題もあるよ！
単元：
#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の無理関数のグラフをかけ。
(1)$ y＝\sqrt{x＋2}$
(2)$ y＝\sqrt{ー3x－6}$
(3)$ y＝－\sqrt{7－4x}$
(4)$ y＝－\sqrt{\frac{1}{2}x－3}$
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次の無理関数のグラフをかけ。
(1)$ y＝\sqrt{x＋2}$
(2)$ y＝\sqrt{ー3x－6}$
(3)$ y＝－\sqrt{7－4x}$
(4)$ y＝－\sqrt{\frac{1}{2}x－3}$
福田の数学〜東京大学2018年理系第3問〜軌跡と領域そして極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#図形と方程式#軌跡と領域#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#関数と極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
放物線$y=x^2$のうち$-1 \leqq x \leqq 1$を満たす部分をCとする。座標平面上の原点Ｏと点A(1,0)を考える。Ｋ＞０を実数とする。点ＰがＣの上を動き、天Ｑが線分ＯＡ上を動くとき$\overrightarrow{ OR }=\displaystyle \frac{1}{k}\overrightarrow{ OP }+k\overrightarrow{ OQ }$を満たす点Ｒが動く領域の面積をＳ(k)とする。
Ｓ(k)および$\displaystyle \lim_{ k \to +0 } S(k) ,\displaystyle \lim_{ k \to \infty }S(k)$を求めよ。
2018東京大学理系過去問
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放物線$y=x^2$のうち$-1 \leqq x \leqq 1$を満たす部分をCとする。座標平面上の原点Ｏと点A(1,0)を考える。Ｋ＞０を実数とする。点ＰがＣの上を動き、天Ｑが線分ＯＡ上を動くとき$\overrightarrow{ OR }=\displaystyle \frac{1}{k}\overrightarrow{ OP }+k\overrightarrow{ OQ }$を満たす点Ｒが動く領域の面積をＳ(k)とする。
Ｓ(k)および$\displaystyle \lim_{ k \to +0 } S(k) ,\displaystyle \lim_{ k \to \infty }S(k)$を求めよ。
2018東京大学理系過去問
高校数学：数学検定準1級1次：問題6,7 双曲線の焦点、関数の極限
単元：
#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#平面上の曲線#関数と極限#2次曲線#関数の極限#数学検定#数学検定準1級#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
xy平面上の双曲線
$\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=-1$
の焦点の座標を求めなさい。
次の極限値を求めなさい。
$\displaystyle \lim_{ x \to 1 }\displaystyle \frac{x^2+2x-3}{\sqrt[ 3 ]{ x }-1}$
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xy平面上の双曲線
$\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=-1$
の焦点の座標を求めなさい。
次の極限値を求めなさい。
$\displaystyle \lim_{ x \to 1 }\displaystyle \frac{x^2+2x-3}{\sqrt[ 3 ]{ x }-1}$
福田の数学〜東京大学2018年理系第1問〜関数の増減と極限の計算
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#微分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$f(x)=\dfrac{x}{\sin x}+\cos x (0 \lt x \lt \pi)$のぞうげんひょうを作り、$x→+0,x→\pi-0$のときの極限を調べよ。
2018東京大学理過去問
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$f(x)=\dfrac{x}{\sin x}+\cos x (0 \lt x \lt \pi)$のぞうげんひょうを作り、$x→+0,x→\pi-0$のときの極限を調べよ。
2018東京大学理過去問
【高校数学】分数関数と一次関数の不等式をグラフを使わない裏ワザ！②
単元：
#関数と極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の不等式を解け。
$\displaystyle\frac{2x}{x+1}≧x+6$
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次の不等式を解け。
$\displaystyle\frac{2x}{x+1}≧x+6$
【高校数学】分数関数と一次関数の不等式をグラフを使わない裏ワザ！②
単元：
#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の不等式を解け。
$\dfrac{2x}{x+1}\geqq x+6$
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次の不等式を解け。
$\dfrac{2x}{x+1}\geqq x+6$
【高校数学】分数関数と一次関数の不等式をグラフを使わない裏ワザ！
単元：
#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の不等式を解け。
$\dfrac{3x-4}{2x-3}\lt x$
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次の不等式を解け。
$\dfrac{3x-4}{2x-3}\lt x$
【高校数学】分数関数と一次関数の不等式をグラフを使わない裏ワザ！
単元：
#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の不等式を解け。
$\displaystyle\frac{3x-4}{2x-3} < x$
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次の不等式を解け。
$\displaystyle\frac{3x-4}{2x-3} < x$
【高校数学】分数関数の漸近線とグラフの簡単な求め方！
単元：
#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の関数のグラフをかけ。また，その漸近線を求めよ。
$y=\dfrac{-2x–10}{x+3}$
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次の関数のグラフをかけ。また，その漸近線を求めよ。
$y=\dfrac{-2x–10}{x+3}$
【高校数学】分数関数の漸近線とグラフの簡単な求め方！
単元：
#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の関数のグラフをかけ。また，その漸近線を求めよ。
$y=\frac{–2x–10}{x+3}$
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次の関数のグラフをかけ。また，その漸近線を求めよ。
$y=\frac{–2x–10}{x+3}$
中学からの極限（応用編）～全国入試問題解法 #shorts #数学 #高校入試 #頭の体操
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
高校入試から見た数学の世界「全部入試問題」by しろたん
問題文全文(内容文)：
$ \displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{x^2+2x-3}{x^2+x-2}$を求めよ.
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$ \displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{x^2+2x-3}{x^2+x-2}$を求めよ.
中学からの極限（発展編）～全国入試問題解法 #shorts #数学 #極限 #頭の体操
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
高校入試から見た数学の世界「全部入試問題」by しろたん
問題文全文(内容文)：
$ \displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{ax-1}{x-a}$を求めよ.
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$ \displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{ax-1}{x-a}$を求めよ.
福田のおもしろ数学030〜調和級数は発散しない？〜驚くべき事実がここに
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
調和級数
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}…$
について解説します
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調和級数
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}…$
について解説します
中学からの極限（基礎編）！～全国入試問題解法 #数学 #極限 #微分積分 #頭の体操
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
高校入試から見た数学の世界「全部入試問題」by しろたん
問題文全文(内容文)：
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{5x^2+x+4}{x^2+2x+3}$を求めよ.
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$ \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{5x^2+x+4}{x^2+2x+3}$を求めよ.
福田のおもしろ数学020〜わんちゃんの男の子と女の子の比率は〜Google入社試験の類題
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数B#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
わんちゃんの国があります。この国ではどの家庭も男の子が産まれるまで子供を作り続けます。この国の男の子と女の子の比率はどうなりますか
google入社試験過去問
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わんちゃんの国があります。この国ではどの家庭も男の子が産まれるまで子供を作り続けます。この国の男の子と女の子の比率はどうなりますか
google入社試験過去問
中学からの極限（徹底編）～全国入試問題解法 #shorts #数学 #高校入試 #動体視力
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
高校入試から見た数学の世界「全部入試問題」by しろたん
問題文全文(内容文)：
$ \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$
次の関数の極限を調べよ.
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$ \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$
次の関数の極限を調べよ.
福田の数学〜ポリアの壺とは逆の試行における確率の極限〜杏林大学2023年医学部第1問後編〜確率漸化式と極限
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#数列#漸化式#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#杏林大学#数B#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
複数の玉が人った袋から玉を 1 個取り出して袋に戻す事象を考える。どの玉も同じ確率で取り出されるものとし、nを自然数として、以下の間いに答えよ。
(1) 袋の中に赤玉 1 個と黒玉 2 個が入っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉をひとつ加え、合計 2 個の玉を袋に戻すという試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}, p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$
( 2 )袋の中に赤玉 3 個と黒玉 2 個が人っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、赤玉と黒玉を 1 個ずつ、合計 2 個の球を袋に戻す試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、次式が成り立つ。
$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{オカ}}{\fbox{キク}}, p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ケコ}}{\fbox{サシ}}$
n回目の試行開始時点で袋に人っている玉の個数$M_{ n } はM_{ n }=n+\fbox{ス}$であり、この時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数$R_{ n }はR_{ n }=M_{ n }×P_{ n }$と表される。n回目の試行において、黒玉が取り出された場合にのみ、試行後の赤玉の個数が施行前と比べて$\fbox{セ}$個増えるため、n+ 1 回目の試行開始時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数は$R_{ n+1 }=R_{ n }+(1-P_{ n })×\fbox{セ}$となる。したがって、
$P_{ n+1 }=\dfrac{n+\fbox{ソ}}{n+\fbox{タ}}×P_{ n }+\dfrac{1}{n+\fbox{チ}}$
が成り立つ。このことから、$(n+3)×(n+\fbox{ツ})×(P_{n}-\dfrac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}})$がnに依らず一定となる事が分かり、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } P_n =\dfrac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}$と求められる。
2023杏林大学医過去問
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複数の玉が人った袋から玉を 1 個取り出して袋に戻す事象を考える。どの玉も同じ確率で取り出されるものとし、nを自然数として、以下の間いに答えよ。
(1) 袋の中に赤玉 1 個と黒玉 2 個が入っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉をひとつ加え、合計 2 個の玉を袋に戻すという試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}, p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$
( 2 )袋の中に赤玉 3 個と黒玉 2 個が人っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、赤玉と黒玉を 1 個ずつ、合計 2 個の球を袋に戻す試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、次式が成り立つ。
$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{オカ}}{\fbox{キク}}, p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ケコ}}{\fbox{サシ}}$
n回目の試行開始時点で袋に人っている玉の個数$M_{ n } はM_{ n }=n+\fbox{ス}$であり、この時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数$R_{ n }はR_{ n }=M_{ n }×P_{ n }$と表される。n回目の試行において、黒玉が取り出された場合にのみ、試行後の赤玉の個数が施行前と比べて$\fbox{セ}$個増えるため、n+ 1 回目の試行開始時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数は$R_{ n+1 }=R_{ n }+(1-P_{ n })×\fbox{セ}$となる。したがって、
$P_{ n+1 }=\dfrac{n+\fbox{ソ}}{n+\fbox{タ}}×P_{ n }+\dfrac{1}{n+\fbox{チ}}$
が成り立つ。このことから、$(n+3)×(n+\fbox{ツ})×(P_{n}-\dfrac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}})$がnに依らず一定となる事が分かり、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } P_n =\dfrac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}$と求められる。
2023杏林大学医過去問
福田の数学〜ポリアの壺は証明を覚えよう〜杏林大学2023年医学部第1問前編〜ポリアの壺
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#数列#漸化式#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#杏林大学#数B#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
複数の玉が人った袋から玉を 1 個取り出して袋に戻す事象を考える。どの玉も同じ確率で取り出されるものとし、nを自然数として、以下の間いに答えよ。
(1) 袋の中に赤玉 1 個と黒玉 2 個が入っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉をひとつ加え、合計 2 個の玉を袋に戻すという試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}, p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$
( 2 )袋の中に赤玉 3 個と黒玉 2 個が人っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、赤玉と黒玉を 1 個ずつ、合計 2 個の球を袋に戻す試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、次式が成り立つ。
$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{オカ}}{\fbox{キク}}, p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ケコ}}{\fbox{サシ}}$
n回目の試行開始時点で袋に人っている玉の個数$M_{ n } はM_{ n }=n+\fbox{ス}$であり、この時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数$R_{ n }はR_{ n }=M_{ n }×P_{ n }$と表される。n回目の試行において、黒玉が取り出された場合にのみ、試行後の赤玉の個数が施行前と比べて$\fbox{セ}$個増えるため、n+ 1 回目の試行開始時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数は$R_{ n+1 }=R_{ n }+(1-P_{ n })×\fbox{セ}$となる。したがって、
$P_{ n+1 }=\dfrac{n+\fbox{ソ}}{n+\fbox{タ}}×P_{ n }+\dfrac{1}{n+\fbox{チ}}$
が成り立つ。このことから、$(n+3)×(n+\fbox{ツ})×(P_{n}-\dfrac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}})$がnに依らず一定となる事が分かり、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } P_n =\dfrac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}$と求められる。
2023杏林大学医過去問
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複数の玉が人った袋から玉を 1 個取り出して袋に戻す事象を考える。どの玉も同じ確率で取り出されるものとし、nを自然数として、以下の間いに答えよ。
(1) 袋の中に赤玉 1 個と黒玉 2 個が入っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉をひとつ加え、合計 2 個の玉を袋に戻すという試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}, p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$
( 2 )袋の中に赤玉 3 個と黒玉 2 個が人っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、赤玉と黒玉を 1 個ずつ、合計 2 個の球を袋に戻す試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、次式が成り立つ。
$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{オカ}}{\fbox{キク}}, p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ケコ}}{\fbox{サシ}}$
n回目の試行開始時点で袋に人っている玉の個数$M_{ n } はM_{ n }=n+\fbox{ス}$であり、この時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数$R_{ n }はR_{ n }=M_{ n }×P_{ n }$と表される。n回目の試行において、黒玉が取り出された場合にのみ、試行後の赤玉の個数が施行前と比べて$\fbox{セ}$個増えるため、n+ 1 回目の試行開始時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数は$R_{ n+1 }=R_{ n }+(1-P_{ n })×\fbox{セ}$となる。したがって、
$P_{ n+1 }=\dfrac{n+\fbox{ソ}}{n+\fbox{タ}}×P_{ n }+\dfrac{1}{n+\fbox{チ}}$
が成り立つ。このことから、$(n+3)×(n+\fbox{ツ})×(P_{n}-\dfrac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}})$がnに依らず一定となる事が分かり、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } P_n =\dfrac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}$と求められる。
2023杏林大学医過去問
【演習】極限の式変形の方針について解説しました！【数学III】
単元：
#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
3rd School
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{cosax-cosbx}{x^2}$を求めよ
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$\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{cosax-cosbx}{x^2}$を求めよ
これもオイラーの公式っていうんだ！
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \prod_{n=1}^\infty cos(\frac x{2^n}) = cos\frac x{2}cos\frac x{4} cos\frac x{8} \cdots $
$cos\frac x{2^n} = \frac {sinx}x $
これを証明せよ.
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$\displaystyle \prod_{n=1}^\infty cos(\frac x{2^n}) = cos\frac x{2}cos\frac x{4} cos\frac x{8} \cdots $
$cos\frac x{2^n} = \frac {sinx}x $
これを証明せよ.
福田の数学〜曲線の長さの計算は大丈夫？〜明治大学2023年理工学部第2問〜曲線の長さと極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$f(x)=\dfrac{1}{8}x^2-logx(x \gt0)$とし、座標平面上の曲線y=f(x)をCとする。ただし、logxは自然対数を表す。関数f(x)は$x=\fbox{あ}$で最小値をとる。曲線C上の点A(1,f(1))における曲線Cの接線をlとすると、lの方程式は$y=\fbox{い}$である。
曲線Cと接線lおよび直線x=2で囲まれた図形の面積は$\fbox{う}$である。また、点$(t,f(t))(t \lt1)$をPとし、点Aから点Pまでの曲線Cの長さをL(t)とすると$L(2)=\fbox{え}$である。また、$\displaystyle \lim_{ t \to 1+0 } \dfrac{L(t)}{t-1}= \fbox{お}$である。
2023明治大学理工学部過去問
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$f(x)=\dfrac{1}{8}x^2-logx(x \gt0)$とし、座標平面上の曲線y=f(x)をCとする。ただし、logxは自然対数を表す。関数f(x)は$x=\fbox{あ}$で最小値をとる。曲線C上の点A(1,f(1))における曲線Cの接線をlとすると、lの方程式は$y=\fbox{い}$である。
曲線Cと接線lおよび直線x=2で囲まれた図形の面積は$\fbox{う}$である。また、点$(t,f(t))(t \lt1)$をPとし、点Aから点Pまでの曲線Cの長さをL(t)とすると$L(2)=\fbox{え}$である。また、$\displaystyle \lim_{ t \to 1+0 } \dfrac{L(t)}{t-1}= \fbox{お}$である。
2023明治大学理工学部過去問