関数と極限
関数と極限
双曲線xy=k²上に点A（k，k）をとる。Aと異なる点Pをとり，Pを通り直線PAに垂直な直線を引き，直線OAとの交点をQとする。点Pが点Aに近づくとき点Qの座標を求めよ【数Ⅲ】【関数の極限】
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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双曲線 $xy=k^2$（$k$ は正の定数）上に点 $A(k,\ k)$ をとる。この曲線の第 1 象限にある部分の上に A と異なる点 P をとり、P を通り直線 PA に垂直な直線を引き、直線 OA との交点を Q とする。点 P がこの双曲線にそって点 A に限りなく近づくとき、点 Q が近づいていく点の座標を求めよ。ただし、O は原点とする。
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双曲線 $xy=k^2$（$k$ は正の定数）上に点 $A(k,\ k)$ をとる。この曲線の第 1 象限にある部分の上に A と異なる点 P をとり、P を通り直線 PA に垂直な直線を引き、直線 OA との交点を Q とする。点 P がこの双曲線にそって点 A に限りなく近づくとき、点 Q が近づいていく点の座標を求めよ。ただし、O は原点とする。
limₓ→−∞（f（x）−2x³）/x²=1，limₓ→0f（x）/x=−3を満たすxの多項式で表される関数f（x）を求めよ。【数Ⅲ】【関数の極限】
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$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)-2x^3}{x^2}=1,\ \displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x}=-3$ を満たす $x$ の多項式で表される関数 $f(x)$ を求めよ。
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$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)-2x^3}{x^2}=1,\ \displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x}=-3$ を満たす $x$ の多項式で表される関数 $f(x)$ を求めよ。
rは定数とする。次の数列の極限を調べよ。（1）r＞0のとき {1/（2+rⁿ）}（2）r≠±1のとき {（rⁿ+2）/（rⁿ−1）}（3）r≠0のとき {1/rⁿ}【数Ⅲ】【極限｜無限等比数列】
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$r$ は定数とする。次の数列の極限を調べよ。
(1) $r>0$ のとき $\left\{\dfrac{1}{2+r^n}\right\}$
(2) $r\ne\pm1$ のとき $\left\{\dfrac{r^{n+2}}{r^n-1}\right\}$
(3) $r\ne0$ のとき $\left\{\dfrac{1}{r^n}\right\}$
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$r$ は定数とする。次の数列の極限を調べよ。
(1) $r>0$ のとき $\left\{\dfrac{1}{2+r^n}\right\}$
(2) $r\ne\pm1$ のとき $\left\{\dfrac{r^{n+2}}{r^n-1}\right\}$
(3) $r\ne0$ のとき $\left\{\dfrac{1}{r^n}\right\}$
次の数列が収束するような実数xの値の範囲を求めよ。（1）{（x/（1+2x））ⁿ}（2）{x（x²−5x+5）²ⁿ⁻¹}【数Ⅲ】【極限｜無限等比数列】
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次の数列が収束するような実数 $x$ の値の範囲を求めよ。
(1) $\left\{\left(\dfrac{x}{1+2x}\right)^n\right\}$
(2) $\{x(x^2-5x+5)^{n-1}\}$
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次の数列が収束するような実数 $x$ の値の範囲を求めよ。
(1) $\left\{\left(\dfrac{x}{1+2x}\right)^n\right\}$
(2) $\{x(x^2-5x+5)^{n-1}\}$
（f∘f）（x）=xかつf（3）=−2を満たす1次関数f（x）を求めよ。【関数｜逆関数と合成関数】
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#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ
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$(f\circ f)(x)=x$ かつ $f(3)=-2$ を満たす 1 次関数 $f(x)$ を求めよ。
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$(f\circ f)(x)=x$ かつ $f(3)=-2$ を満たす 1 次関数 $f(x)$ を求めよ。
f（x）=ax+b、g（x）=x+cについて、（f∘g）（x）=3x−14、f⁻¹（4）=3が成り立つとき、定数a、b、cの値を求めよ。【関数｜逆関数と合成関数】
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#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ
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$f(x)=ax+b$、$g(x)=x+c$ について、$(f\circ g)(x)=3x-14$、$f^{-1}(4)=3$ が成り立つとき、定数 $a$、$b$、$c$ の値を求めよ。
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$f(x)=ax+b$、$g(x)=x+c$ について、$(f\circ g)(x)=3x-14$、$f^{-1}(4)=3$ が成り立つとき、定数 $a$、$b$、$c$ の値を求めよ。
f（x）=x−1、g（x）=2x−3、h（x）=2x²について、次のことを示せ。（h∘（g∘f））（x）=（（h∘g）∘f）（x）【関数｜逆関数と合成関数】
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#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ
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$f(x)=x-1$、$g(x)=2x-3$、$h(x)=2x^2$ について、次のことを示せ。
$(h\circ(g\circ f))(x)=((h\circ g)\circ f)(x)$
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$f(x)=x-1$、$g(x)=2x-3$、$h(x)=2x^2$ について、次のことを示せ。
$(h\circ(g\circ f))(x)=((h\circ g)\circ f)(x)$
関数y=（ax−4）/（x+3）の逆関数がy=（3x+4）/（bx+2）であるとき、定数a、bの値を求めよ。【関数｜逆関数と合成関数】
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関数 $y=\dfrac{ax-4}{x+3}$ の逆関数が $y=\dfrac{3x+4}{bx+2}$ であるとき、定数 $a$、$b$ の値を求めよ。
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関数 $y=\dfrac{ax-4}{x+3}$ の逆関数が $y=\dfrac{3x+4}{bx+2}$ であるとき、定数 $a$、$b$ の値を求めよ。
次の関数f（x），g（x）について、合成関数y=（f∘g）（x）の定義域と値域を求めよ（1）f（x）=2x−4，g（x）=x²+1（2）f（x）=3ˣ，g（x）=log₃2x【関数｜逆関数と合成関数】
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次の関数 $f(x)$、$g(x)$ について、合成関数 $y=(f\circ g)(x)$ の定義域と値域を求めよ。
(1) $f(x)=2x-4$、$g(x)=x^2+1$
(2) $f(x)=3^x$、$g(x)=\log_3 2x$
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次の関数 $f(x)$、$g(x)$ について、合成関数 $y=(f\circ g)(x)$ の定義域と値域を求めよ。
(1) $f(x)=2x-4$、$g(x)=x^2+1$
(2) $f(x)=3^x$、$g(x)=\log_3 2x$
グラフを利用して，次の不等式を解け。（1）√（x+2）＜2（2）√（3−x）≧1（3）−√x＜x−2（4）√（x+1）＜1/3x+1【関数｜無理関数】
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グラフを利用して、次の不等式を解け。
(1) $\sqrt{x+2}<2$
(2) $\sqrt{3-x}\geq 1$
(3) $-\sqrt{x}＜x-2$
(4) $\sqrt{x+1}<\dfrac{1}{3}x+1$
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グラフを利用して、次の不等式を解け。
(1) $\sqrt{x+2}<2$
(2) $\sqrt{3-x}\geq 1$
(3) $-\sqrt{x}＜x-2$
(4) $\sqrt{x+1}<\dfrac{1}{3}x+1$
次の関数のグラフをかけ。また，その関数の値域を求めよ。（1）y=√（2−x）−1（2）y=√（2x+6）+1【関数｜無理関数】
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次の関数のグラフをかけ。また、その関数の値域を求めよ。
(1) $y=\sqrt{2-x}-1$
(2) $y=\sqrt{2x+6}+1$
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次の関数のグラフをかけ。また、その関数の値域を求めよ。
(1) $y=\sqrt{2-x}-1$
(2) $y=\sqrt{2x+6}+1$
次の条件に適するように，定数aの値を定めよ。（1） 関数 y=√（2x−6） （3≦x≦a）の値域が 0≦y≦2（2） 関数 y=√（a−2x） の定義域が x≦2【関数｜無理関数】
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次の条件に適するように、定数 $a$ の値を定めよ。
(1) 関数 $y=\sqrt{2x-6}\quad(3\leq x\leq a)$ の値域が $0\leq y\leq 2$
(2) 関数 $y=\sqrt{a-2x}$ の定義域が $x\leq 2$
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次の条件に適するように、定数 $a$ の値を定めよ。
(1) 関数 $y=\sqrt{2x-6}\quad(3\leq x\leq a)$ の値域が $0\leq y\leq 2$
(2) 関数 $y=\sqrt{a-2x}$ の定義域が $x\leq 2$
次のような直角双曲線をグラフとする関数を y=（ax+b）/（cx+d）の形で表せ。（1） 2直線 x=2，y=1 を漸近線として，点（1，0）を通る。他1問【関数｜分数関数】
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次のような直角双曲線をグラフとする関数を $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ の形で表せ。
(1) 2 直線 $x=2$、$y=1$ を漸近線として、点 $(1,0)$ を通る。
(2) 2 直線 $x=-1$、$y=2$ を漸近線として、原点 $(0,0)$ を通る。
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次のような直角双曲線をグラフとする関数を $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ の形で表せ。
(1) 2 直線 $x=2$、$y=1$ を漸近線として、点 $(1,0)$ を通る。
(2) 2 直線 $x=-1$、$y=2$ を漸近線として、原点 $(0,0)$ を通る。
関数 y=（x−1）/（3−x） のグラフを平行移動すると，関数 y=2x/（x+1） のグラフに重なる。どのように平行移動すればよいか。【関数｜分数関数】
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関数 $y=\dfrac{x-1}{3-x}$ のグラフを平行移動すると、関数 $y=\dfrac{2x}{x+1}$ のグラフに重なる。どのように平行移動すればよいか。
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関数 $y=\dfrac{x-1}{3-x}$ のグラフを平行移動すると、関数 $y=\dfrac{2x}{x+1}$ のグラフに重なる。どのように平行移動すればよいか。
関数 y=（2x−5）/（x−3） の値域が 0≦y＜1 であるとき，定義域を求めよ。【関数｜分数関数】
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#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ
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関数 $y=\dfrac{2x-5}{x-3}$ の値域が $0\leq y<1$ であるとき、定義域を求めよ。
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関数 $y=\dfrac{2x-5}{x-3}$ の値域が $0\leq y<1$ であるとき、定義域を求めよ。
次の関数のグラフをかけ。また，その値域を求めよ。（1） y=（−2x+1）/（2x−3） （2≦x≦4）（2） y=（2x−7）/（x−3） （0≦x＜3）【関数｜分数関数】
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次の関数のグラフをかけ。また、その値域を求めよ。
(1) $y=\dfrac{-2x+1}{2x-3}\quad(2\leq x\leq 4)$
(2) $y=\dfrac{2x-7}{x-3}\quad(0\leq x<3)$
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次の関数のグラフをかけ。また、その値域を求めよ。
(1) $y=\dfrac{-2x+1}{2x-3}\quad(2\leq x\leq 4)$
(2) $y=\dfrac{2x-7}{x-3}\quad(0\leq x<3)$
【数Ⅲ】分数関数のグラフ完全攻略！漸近線・定義域・値域の求め方
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#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ
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問題文全文(内容文)：
次の関数のグラフをかき、定義域と値域を求めよ。
(1) $y=-\dfrac{1}{3x}$
(2) $y=\dfrac{2}{x}-1$
(3) $y=\dfrac{1}{x-2}$
(4) $y=2-\dfrac{1}{x+1}$
(5) $y=\dfrac{2x-3}{3-x}$
(6) $y=\dfrac{2-x}{3x-2}$
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次の関数のグラフをかき、定義域と値域を求めよ。
(1) $y=-\dfrac{1}{3x}$
(2) $y=\dfrac{2}{x}-1$
(3) $y=\dfrac{1}{x-2}$
(4) $y=2-\dfrac{1}{x+1}$
(5) $y=\dfrac{2x-3}{3-x}$
(6) $y=\dfrac{2-x}{3x-2}$
【数Ⅲ】【関数の極限】双曲線xy=k²(kは正の定数)上に点A(k,k)をとる。この曲線の第1象限にある部分の上にAと異なる点Pをとり、Pを通り直線PAに垂直な直線を引き、直線OAとの交点をQとする。
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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【数Ⅲ】【関数の極限】双曲線xy=k²(kは正の定数)上に点A(k,k)をとる。この曲線の第1象限にある部分の上にAと異なる点Pをとり、Pを通り直線PAに垂直な直線を引き、直線OAとの交点をQとする。
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【数Ⅲ】【関数の極限】双曲線xy=k²(kは正の定数)上に点A(k,k)をとる。この曲線の第1象限にある部分の上にAと異なる点Pをとり、Pを通り直線PAに垂直な直線を引き、直線OAとの交点をQとする。
【数Ⅲ】【関数の極限】lim f(x)-2x³/x² =1, lim f(x)/x =-3を満たすxの多項式で表される関数f(x)を求めよ。
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)-2x^3}{x^2}=1$，
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=-3$
を満たす $x$ の多項式で表される関数 $f(x)$ を求めよ。
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$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)-2x^3}{x^2}=1$，
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=-3$
を満たす $x$ の多項式で表される関数 $f(x)$ を求めよ。
【数Ⅲ】【関数の極限】3次関数f(x)が次の2つの条件を満たすという。f(x)を求めよ。lim f(x)/x =3lim f(x)/x-1 =-1
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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3 次関数 $f(x)$ が次の 2 つの条件を満たすという。
$f(x)$ を求めよ。
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=3,\qquad
\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1}=-1$
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3 次関数 $f(x)$ が次の 2 つの条件を満たすという。
$f(x)$ を求めよ。
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=3,\qquad
\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1}=-1$
【数Ⅲ】【関数の極限】(1) lim ax²+bx /x-2 =1(2) lim a√x+1 -b /x-1 =√2(3) lim √x²+ax +b /x²-1 =1/2
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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次の等式が成り立つように、定数 $a,b$ の値を定めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{ax^2+bx}{x-2}=1$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{a\sqrt{x+1}-b}{x-1}=\sqrt{2}$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to -1}\frac{\sqrt{x^2+ax+b}}{x^2-1}=\frac{1}{2}$
(4) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2-1+ax+b}\right)=0$
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次の等式が成り立つように、定数 $a,b$ の値を定めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{ax^2+bx}{x-2}=1$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{a\sqrt{x+1}-b}{x-1}=\sqrt{2}$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to -1}\frac{\sqrt{x^2+ax+b}}{x^2-1}=\frac{1}{2}$
(4) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2-1+ax+b}\right)=0$
【数Ⅲ】【関数の極限】次の式が有限の値をもつようにaの値を定め、その極限値を求めよ。(1) lim √1+3x +a /x(2) lim a√x+8 -6 /x-1
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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次の式が有限の値をもつように $a$ の値を定め、その極限値を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+3x}+a}{x}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{a\sqrt{x+8}-6}{x-1}$
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次の式が有限の値をもつように $a$ の値を定め、その極限値を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+3x}+a}{x}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{a\sqrt{x+8}-6}{x-1}$
【数Ⅲ】【関数の極限】次の極限を求めよ。(1) lim x(x-√x²-a²) (aは定数)(2) lim {1/2log₃x+log₃(√3x+1 -√3x-1)}
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次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to\infty} x\left(x-\sqrt{x^2-a^2}\right)$
（$a$ は定数）
(2) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left\{\frac{1}{2}\log_3 x+\log_3\left(\sqrt{3x+1}-\sqrt{3x-1}\right)\right\}$
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次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to\infty} x\left(x-\sqrt{x^2-a^2}\right)$
（$a$ は定数）
(2) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left\{\frac{1}{2}\log_3 x+\log_3\left(\sqrt{3x+1}-\sqrt{3x-1}\right)\right\}$
【数Ⅲ】【関数の極限】次の極限を調べよ。(1) lim[x](2) lim(2x-[x])(3) lim([2x]-[x])
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次の極限を調べよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 2}[x]$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 1}(2x-[x])$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to 1}([2x]-[x])$
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次の極限を調べよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 2}[x]$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 1}(2x-[x])$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to 1}([2x]-[x])$
【数Ⅲ】【関数の極限】次の極限を調べよ。ただし、aは定数とする。(1) lim x-a/x²-1(2) lim x-a/x²-1(3) lim x-a/x²-1
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次の極限を調べよ。ただし、$a$ は定数とする。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 1+0}\frac{x-a}{x^2-1}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 1-0}\frac{x-a}{x^2-1}$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x-a}{x^2-1}$
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次の極限を調べよ。ただし、$a$ は定数とする。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 1+0}\frac{x-a}{x^2-1}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 1-0}\frac{x-a}{x^2-1}$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x-a}{x^2-1}$
【数Ⅲ】【関数の極限】次の極限を調べよ。(1) lim x-2/x²-x(2) lim(1/2)^1/x(3) lim 1/1+2^1/x
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次の極限を調べよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x-2}{x^2-x}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{1+2^{\frac{1}{x}}}$
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次の極限を調べよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x-2}{x^2-x}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{1+2^{\frac{1}{x}}}$
【数Ⅲ】【関数の極限】次の極限を求めよ。(1) lim√x²＋3 + 2x/x+1(2) lim x-√3x-2/√x+2 - 2(3) lim ³√1+x - ³√1-x /x
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
(1) $\displaystyle \lim_{x\to -1}\frac{\sqrt{x^2+3}+2x}{x+1}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x-\sqrt{3x-2}}{\sqrt{x+2}-2}$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x}$
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(1) $\displaystyle \lim_{x\to -1}\frac{\sqrt{x^2+3}+2x}{x+1}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x-\sqrt{3x-2}}{\sqrt{x+2}-2}$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x}$
【数Ⅲ】【数列の極限】辺AB、ACと円Ｏ₁に接する円をＯ₂とし、辺AB、ACと円Ｏ₂に接する円をＯ₃とする。このように、次々に小さくなる円を作るとき、すべての円の面積の総和を求めよ。
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#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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正三角形ABCの内接円Ｏ₁の半径をrとする。辺AB、ACと円Ｏ₁に接する円をＯ₂とし、辺AB、ACと円Ｏ₂に接する円をＯ₃とする。このように、次々に小さくなる円を作るとき、すべての円の面積の総和を求めよ。
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正三角形ABCの内接円Ｏ₁の半径をrとする。辺AB、ACと円Ｏ₁に接する円をＯ₂とし、辺AB、ACと円Ｏ₂に接する円をＯ₃とする。このように、次々に小さくなる円を作るとき、すべての円の面積の総和を求めよ。
【数Ⅲ】【数列の極限】座標平面上で、点Pが原点Ｏを出発して、x軸の正の向きに1だけ進み、次にy軸の正の向きに1/2だけ進み、次にx軸の負の向きに1/2²だけ進み、次にy軸の負の向きに1/2³だけ進む。
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#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
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問題文全文(内容文)：
座標平面上で、点 $P$ が原点 $O$ を出発して、
$x$ 軸の正の向きに $1$ だけ進み、
次に $y$ 軸の正の向きに $\frac{1}{2}$ だけ進み、
次に $x$ 軸の負の向きに $\frac{1}{2^2}$ だけ進み、
次に $y$ 軸の負の向きに $\frac{1}{2^3}$ だけ進む。
以下、このような運動を限りなく続けるとき、
点 $P$ が近づいていく点の座標を求めよ。
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座標平面上で、点 $P$ が原点 $O$ を出発して、
$x$ 軸の正の向きに $1$ だけ進み、
次に $y$ 軸の正の向きに $\frac{1}{2}$ だけ進み、
次に $x$ 軸の負の向きに $\frac{1}{2^2}$ だけ進み、
次に $y$ 軸の負の向きに $\frac{1}{2^3}$ だけ進む。
以下、このような運動を限りなく続けるとき、
点 $P$ が近づいていく点の座標を求めよ。
【数Ⅲ】【数列の極限】あるボールを床に落とすと、常に落ちる高さの4/5まではね返るという。このボールを2mの高さから落としたとき、床に静止するまでに、このボールが上下する総距離を求めよ。
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#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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問題文全文(内容文)：
あるボールを床に落とすと、常に落ちる高さの4/5まではね返るという。この
ボールを2mの高さから落としたとき、床に静止するまでに、このボールが上下する
総距離を求めよ。
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あるボールを床に落とすと、常に落ちる高さの4/5まではね返るという。この
ボールを2mの高さから落としたとき、床に静止するまでに、このボールが上下する
総距離を求めよ。