問題文全文(内容文)：
$m,n$：自然数
$m \geqq 2$
$f(\theta)=\displaystyle \frac{\sin\ n\theta}{\cos\ n\theta+m}$の最大値を$\alpha(m,n)$とする
$\displaystyle \sum_{m=2}^\infty \{\alpha(m,n)\}^2$を求めよ

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数学$\textrm{III}$　三角関数の極限(5)
$\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\tan x°}{x}$　を求めよ。

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図は動画参照

半径$1$、中心$O$の円$C$がある。2つの円$C_1$と$C_2$が次の2つの条件を満たすとする。

・$C_1$と$C_2$はどちらも$C$に内接する。
・$C_1$と$C_2$は互いに外接する。

円$C_1,\ C_2$の中心をそれぞれ$D,\ E$とし、半径をそれぞれ$p,\ q$とする。$\theta= \angle{DOE}$とおく。

(1) $q$を$p$と$\theta$を用いて表せ。

(2) $p$を固定する。$\theta$が$0$に近づくとき、$\dfrac{q}{theta^2}$の極限値を求めよ。

(3) $p= \sqrt{2}-1$のとき、$q$の値を求めよ。

(4) $\theta$が$0$に近づくとき、$\dfrac{q}{p}$の極限値を求めよ。

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$n$ を正の整数とする。 $x$ の関数 $f(x) $$= x^3$$-2nx^2$$+(2n-3)x$$+1$ について、以下の問いに答えよ。
$(1)$ $\alpha$ を $f(x)=0$ の$1$ つの解とする。 $\displaystyle f(\frac{1}{1-\alpha})$ の値を求めよ。
$(2)$ 方程式 $f(x) = 0$ は異なる $3$ つの実数解をもつことを示せ。
$(3)$ 方程式 $f(x) = 0$ の解で $2$ 番目に大きいものを $\beta_n$ とする。極限 $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \beta_n$ を求めよ。

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$\sqrt{x}+sqrt{x-2} < 3$を解いて下さい。