問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \displaystyle \sum_{k=1}^n \displaystyle \frac{n}{(2n+k)^2}log\displaystyle \frac{n+2k}{n}$

出典：1987年福島大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
大問3
座標平面上の長方形の領域において、$n$ を $2$ 桁以上の自然数の定数とし、$d$ を $1 \leqq d \leqq n$ の実数値をとる変数とする。
領域 $0 \leqq x \leqq d, \ 0 \leqq y \leqq n + \dfrac{1}{2} - d$ 内にあり、$x, y$ がともに自然数である点（格子点）の個数を $M(d)$ とする。
問1$n = 10$ のとき、$M(1) = \fbox{ 15 }$, $\quad M\left(\dfrac{3}{2}\right) = \fbox{ 16 }$, $\quad M(2) = \fbox{ 17 }$
であり、$\displaystyle\lim_{d \to \frac{3}{2} + 0} M(d) = \fbox{ 18 }$
である。
問2$k$ を $n-1$ 以下の自然数とする。$k \leqq d < k + \dfrac{1}{2}$ のとき、$M(d) = \fbox{ 19 }$ であり、$k + \dfrac{1}{2} \leqq d < k + 1$ のとき、$M(d) = \fbox{ 20 }$ である。
問3$n = 17$ のとき、$M(d)$ の最大値は $\fbox{ 21 } \fbox{ 22 }$である。

問題文全文(内容文)：
9⃣$a_1=1,a_2=2,(a_{n+2})^5 =(a_{n+1})^4・a_n$
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
曲線$y=2\sqrt x$上の点$P(t,2\sqrt t)$に対して,
$y$軸上に$OP=OQ$をみたす点$Q$をとる.
直線$PQ$と$x$軸との支点を$R$とする.
$\displaystyle \lim_{t\to 0} \ OR$を求めよ.

図は動画内参照

問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$

座標平面上の点$P(1,1)$と点$Q(1,-1)$および

曲線$C:y=\dfrac{1}{x-4}(x\gt 4)$を考える。

(1)曲線$C$の接線で点$Q$を通るものは存在しないことを

証明しなさい。

(2)曲線$C$の接線で点$P$を通るものを$l$とし、

$C$と$l$の接点を$A$とする。

このとき、$l$の方程式は$y=\boxed{キ}$であり、

点$A$の座標は$\boxed{ク}$である。

また、曲線$C$上の点の点$B$が

$\overrightarrow{PB}･\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PA}･\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{AB}･\overrightarrow{AQ}=-\dfrac{2}{3}$

を満たすとき、点$B$の座標は$\boxed{ケ}$である。

(3)$A,B$を(2)で定めた点とする。

正の数$t$に対し、曲線$C$上の点$R\left(t+4,\dfrac{1}{t}\right)$は

点$A$と異なるものとする。

線分$AR$を$2:1$に内分する点を$S$とし、

線分$BS$を$3:2$に内分する点を$T(u,v)$とするとき、

$u$を$t$の式で表すと$u=\boxed{コ}$である。

また、$uv$の値は$t-\boxed{サ}$のとき最小となる。

$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題