問題文全文(内容文)：
$|r| \lt 1$ のとき $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n r^n = 0$ である。
このことを利用して$,$ 次の無限級数の和を求めよ。ただし$,$ $|x| < 1$ とする。
$(1)$ $\displaystyle \frac{1}{3}$ $+ \displaystyle \frac{2}{9}$ $+\displaystyle \frac{3}{27}$ $+ \cdots \cdots$ $
+\displaystyle \frac{n}{3^n}$ $ + \cdots \cdots$
$(2)$ $1 + 2x + 3x^2 $$ + \cdots \cdots $$ + n x^{n-1} + \cdots \cdots$

問題文全文(内容文)：
次の極限を調べよ。

(1) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x-2}{x^2-x}$

(2) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$

(3) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{1+2^{\frac{1}{x}}}$

問題文全文(内容文)：
次の等式が成り立つように、定数$a,b$の値を定めよ。

①$\displaystyle \lim_{n\to 2}\dfrac{x^2+ax+b}{x+2}=3$

②$\displaystyle \lim_{x\to 3}\dfrac{\sqrt{3x+a}-b}{x-3}=\dfrac{3}{8}$

問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$　三角関数の極限(5)
$\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\tan x°}{x}$　を求めよ。

問題文全文(内容文)：
座標空間内において、ベクトル
$\overrightarrow{ a }=(1,2,1),　\overrightarrow{ b }=(1,1,-1),　\overrightarrow{ c }=(0,0,1)$
が定める直線
$l:s\overrightarrow{ a },　l':t\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c }$
を考える。点$A_1$を原点(0,0,0)とし、点$A_1$から直線l'に下ろした垂線$A_1B_1$と
おく。次に、点$B_1(t_1\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c })$から直線lに下ろした垂線を$B_1A_2$とおく。
同様に、点$A_k(s_k\overrightarrow{ a })$から直線l'に下ろした垂線を$A_kB_k$、点$B_k(t_k\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c })$から直線l
に下ろした垂線を$B_kA_{k+1}$とする手順を繰り返して、点$A_n(s_n\overrightarrow{ a }),B_n(t_n\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c })$
(nは正の整数)を定める。
(1)$s_n$を用いて$s_{n+1}$を表せ。
(2)極限値$S=\lim_{n \to \infty}s_n,　T=\lim_{n \to \infty}t_n$を求めよ。
(3)(2)で求めたS,Tに対して、点A,Bをそれぞれ$A(S\overrightarrow{ a }),B(T\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c })$とおくと、
直線ABは2直線l,l'の両方と直交することを示せ。

2022東北大学理系過去問