問題文全文(内容文)：
$数学\textrm{III}$　$関数の連続性(1)$

$\displaystyle f(x) =\lim_{n \to \infty}\frac{x^{2n}-x^{2n-1}+ax^2+bx}{x^{2n}+1}$
が連続関数となるように$aとb$を定めよ。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ 座標平面上の曲線y=$\frac{1}{x^2}$ (x $\ne$ 0)をCとする。$a_1$を正の実数とし、点$A_1$$\left(a_1, \frac{1}{a_1^2}\right)$におけるCの接線を$l_1$とする。$l_1$とCの交点で$A_1$と異なるものを$A_2$$\left(a_2, \frac{1}{a_2^2}\right)$とする。次に点$A_2$におけるCの接線を$l_2$とCの交点で$A_2$と異なるものを$A_3$$\left(a_3, \frac{1}{a_3^2}\right)$とする。以下、同様にしてn=3,4,5,...に対して、$A_n$$\left(a_n, \frac{1}{a_n^2}\right)$におけるCの接線を$l_n$とし、$l_n$とCの交点で$A_n$と異なるものを$A_{n+1}$$\left(a_{n+1}, \frac{1}{a_{n+1}^2}\right)$とする。
(1)$\frac{a_2}{a_1}$=$\boxed{\ \ あ\ \ }$であり、$\frac{a_3}{a_1}$=$\boxed{\ \ い\ \ }$である。
(2)$a_n$を$a_1$で表すと$a_n$=$\boxed{\ \ う\ \ }$である。無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$の和をTを$a_1$を用いて表すとT=$\boxed{\ \ え\ \ }$である。
(3)$a_1$を正の実数すべてにわたって動かすとき、三角形$A_1A_2A_3$の重心が描く軌跡の方程式をy=f(x)の形で求めるとf(x)=$\boxed{\ \ お\ \ }$となる。
(4)三角形$A_1A_2A_3$が鋭角三角形になるための条件は$\boxed{\ \ か\ \ }$＜$a_1$＜$\boxed{\ \ き\ \ }$である。
(5)x軸上に2点$A'_1$($a_1$, 0), $A'_2$($a_2$, 0)をとり、台形$A_1A_2A'_2A'_1$の面積を$S_1$とする。また、点$A_1$から点$A_3$にいたる曲線Cの部分、および線分$A_3A_2$と$A_2A_1$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする。このとき、$S_1$：$S_2$=$\boxed{\ \ く\ \ }$：$\boxed{\ \ け\ \ }$である。ただし、$\boxed{\ \ く\ \ }$と$\boxed{\ \ け\ \ }$は互いに素な自然数である。

2023慶應義塾大学医学部過去問

問題文全文(内容文)：
奇数の平方の逆数の和にπが出る？

問題文全文(内容文)：
次の極限を求めよ。

①$\displaystyle \lim_{n\to2}(x^2-3x+1)$

②$\displaystyle \lim_{n\to2}\dfrac{x+1}{x^2-x+1}$

③$\displaystyle \lim_{n\to2}\dfrac{x^2-x-2}{x+1}$

④$\displaystyle \lim_{n\to2}\dfrac{2x^2+x-3}{x^2+2x-3}$

⑤$\displaystyle \lim_{n\to2}\dfrac{x^3-1}{x^2-1}$

⑥$\displaystyle \lim_{n\to2}\dfrac{1}{x}\left(\dfrac{2}{x-2}+1\right)$

問題文全文(内容文)：
$m$を正の実数とし、関数$f(x)$を$f(x)=-mx^2+1$と定める。座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とおき、負の実数$a$に対して点$\textrm{A}(a,f(a))$における曲線$C$の接線を$l_1$とおく。直線$l_1$と$y$軸との交点を$\textrm{P}$とし、点$\textrm{P}$を通り$l_1$に垂直な直線を$l_2$とおき、$l_2$と$x$軸の交点を$\textrm{Q}$とする。
(1) 点$\textrm{P}$の座標を$a$と$m$を用いて表せ。
(2) 点$\textrm{Q}$の座標を$a$と$m$を用いて表せ。

以下、直線$l_2$が曲線$C$の接線となるときを考える。
(3) $a$を$m$を用いて表せ。
(4) 線分$\textrm{AQ}$の長さは$m$を用いて表される。これを$L(m)$とおく。
(a) $\displaystyle \lim_{m \rightarrow \infty}L(m)$を求めよ。
(b) $\displaystyle \lim_{m \rightarrow 0}mL(m)$を求めよ。