北里大学2021年医学部第1問(2)。複素数平面でド・モアブルの定理を利用した偏角、絶対値の計算や正三角形の残りの頂点を求める - 質問解決D.B.(データベース)

北里大学2021年医学部第1問(2)。複素数平面でド・モアブルの定理を利用した偏角、絶対値の計算や正三角形の残りの頂点を求める

問題文全文(内容文):
(2)iを虚数単位とし、$z_1=\frac{(\sqrt3+i)^{17}}{(1+i)^{19}(1-\sqrt3i)^7}, z_2=-1+i$とする。
$z_1$の偏角$\theta$のうち、$\\0 \leqq \theta \lt 2\pi$を満たすものは$\theta=\boxed{オ}$であり、$|z_1|=\boxed{カ}$である。
複素数平面上で$z_1,z_2$を表す点をそれぞれA,Bとする。このとき線分ABを
1辺とする正三角形ABCの、頂点Cを表す複素数の実部は0または$\boxed{キ}$である。
a,bを正の整数とし、複素数$\frac{(\sqrt3+i)^7}{(1+i)^a(1-\sqrt3i)^b}$の偏角の一つが$\frac{\pi}{12}$であるとき、
a+bの最小値は$\boxed{ク}$である。

2021北里大学医学部過去問
単元: #大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)#数C
指導講師: JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文):
(2)iを虚数単位とし、$z_1=\frac{(\sqrt3+i)^{17}}{(1+i)^{19}(1-\sqrt3i)^7}, z_2=-1+i$とする。
$z_1$の偏角$\theta$のうち、$\\0 \leqq \theta \lt 2\pi$を満たすものは$\theta=\boxed{オ}$であり、$|z_1|=\boxed{カ}$である。
複素数平面上で$z_1,z_2$を表す点をそれぞれA,Bとする。このとき線分ABを
1辺とする正三角形ABCの、頂点Cを表す複素数の実部は0または$\boxed{キ}$である。
a,bを正の整数とし、複素数$\frac{(\sqrt3+i)^7}{(1+i)^a(1-\sqrt3i)^b}$の偏角の一つが$\frac{\pi}{12}$であるとき、
a+bの最小値は$\boxed{ク}$である。

2021北里大学医学部過去問
投稿日:2022.12.06

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$a=z+\frac{1}{z}, b=z^2+\frac{1}{z^2}, c=z^3+\frac{1}{z^3}$ とおく。次の問いに答えよ。
(1)$z^7$は有理数になる。その値を求めよ。
(2)$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$ は有理数になる。その値を求めよ。
(3)$A=a+b+c$ は有理数になる。その値を求めよ。
(4)$B=a^2+b^2+c^2$ は有理数になる。その値を求めよ。
(5)$C=ab+bc+ca$ は有理数になる。その値を求めよ。
(6)$D=a^3+b^3+c^3-3abc$ は有理数になる。その値を求めよ。

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これを解け.

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