【京大数学有名過去問】tan1°は有理数か、を証明してみよう！

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tan1°は有理数かの証明動画です

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)

指導講師：篠原好【京大模試全国一位の勉強法】

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投稿日：2023.05.07

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指導講師：福田次郎

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関数

f (x) = \int_{0}^{π} | \sin (t - x) - \sin 2 t | d t

の区間

0 ≦ x ≦ π

における最大値と最小値を求めよ。

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点

O

を中心とする円に内接する

△ A B C

があり、

A B = 2, A C = 3, B C = \sqrt{7}

とする。
点

B

を通り直線

A C

の平行な直線と円

O

との交点のうち、点

B

と異なる点を

D

、直線

A O

と直線

C D

の交点を

E

とする。

（1）内積

\vec{A B} ・ \vec{A O}, \vec{A C} ・ \vec{A O}

を求めよ。

（2）

\vec{A O}

を

\vec{A B}

と

\vec{A C}

を用いて表せ。

（3）

\vec{A D}

を

\vec{A B}

と

\vec{A C}

を用いて表せ。

（4）

C E : D E

を求めよ。

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2

nを自然数、aを正の定数とする。関数f(x)は等式

f (x) = x + \frac{1}{n} \int_{0}^{x} f (t) d t

を満たし、関数g(x)は

g (x)

a e^{- \frac{x}{n}} + a

とする。2つの曲線y=f(x)とy=g(x)はある1点を共有し、その点における2つの接線が直交するとき、次の問いに答えよ。ただし、eは自然対数の底とする。
(1)h(x)=

e^{- \frac{x}{n}} f (x)

とおくとき、導関数h'(x)とh(x)を求めよ。
(2)aをnを用いて表せ。
(3)2つの曲線y=f(x), y=g(x)とy軸で囲まれた部分の面積を

S_{n}

とするとき、
極限値

lim_{n \to \infty} \frac{S_{1} + S_{2} + \dots + S_{n}}{n^{3}}

　を求めよ。

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5

整式f(x)=

(x - 1)^{2} (x - 2)

を考える。
(1)g(x)を実数を係数とする整式とし、g(x)をf(x)で割った余りをr(x)とおく。

g (x)^{7}

をf(x)で割った余りと

r (x)^{7}

をf(x)で割った余りが等しいことを示せ。
(2)a,bを実数とし、h(x)=

x^{2}

+ax+b　とおく。

h (x)^{7}

をf(x)で割った余りを

h_{1} (x)

とおき、

h_{1} (x)^{7}

をf(x)で割った余りを

h_{2} (x)

とおく。

h_{2} (x)

がh(x)に等しくなるようなa,bの組を全て求めよ。

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\int_{- 1}^{0} \frac{x^{5}}{(x^{3} - 1)} d x

を計算せよ。

出典：兵庫医科大学　入試問題

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