問題文全文(内容文)：
$[(6+3\sqrt{3}{)}^n]$を$3^n$で割った余りを求めよ.

問題文全文(内容文)：
指数のフシギ〜お小遣いの悪魔の交渉術！？

問題文全文(内容文)：
x=?
$\frac{6^x+6^x+6^x}{3^x+3^x}=24$

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}1\mathrm{問}$
[1](1)$0\leqq \theta <2\pi$のとき
$\sin \theta >\sqrt{3}\cos (\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$　$\cdots$①
となる$\theta$の値の範囲を求めよう。
加法定理を用いると

$\sqrt{3}\cos (\theta -\frac{\pi }{3})=$${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}\cos \theta +{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}\sin \theta }}$

である。よって、三角関数の合成を用いると、①は

$\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}})<0$

と変形できる。したがって、求める範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}\pi <\theta <\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}\pi }$

である。

(2)$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とし、$k$を実数とする。$\sin \theta$と$\cos \theta$は$x$の2次方程式
$25x^2-35x+k=0$の解であるとする。このとき、解と係数の関係に
より$\sin \theta +\cos \theta$と$\sin \theta \cos \theta$の値を考えれば、$k=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}\mathrm{コ}}}$で
あることがわかる。

さらに、$\theta$が$\sin \theta \geqq \cos \theta$を満たすとすると、$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}},}$
$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}}$である。このとき、$\theta$は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}$を満たす。
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}$に当てはまるものを、次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。
⓪$0\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{12}}$

①${\displaystyle \frac{\pi }{12}\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{6}}}$

②${\displaystyle \frac{\pi }{6}\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}$

③${\displaystyle \frac{\pi }{4}\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{3}}}$

④${\displaystyle \frac{\pi }{3}\leqq \theta <{\displaystyle \frac{5}{12}\pi }}$

⑤${\displaystyle \frac{5}{12}\pi \leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}}$


[2](1)$t$は正の実数であり、$t^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}-t^{-{\displaystyle \frac{1}{3}}}=-3$を満たすとする。このとき

$t^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}+t^{-{\displaystyle \frac{2}{3}}}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}\mathrm{チ}}}$

である。さらに

$t^{\frac{1}{2}}+t^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}\mathrm{テ}}}},$$t-t^{-1}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}\mathrm{ナ}\mathrm{ニ}}}$

である。

(2)$x,y$は正の実数とする。連立方程式
$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{\log }_3(x\sqrt{y})\leqq 5 \cdots \mathrm{②}\\ {\log }_{81}\frac{y}{x^3}\leqq 1 \cdots \mathrm{③}\end{array}\end{array}$

について考える。
$X={\log }_{3}x,$　$Y={\log }_{3}y$とおくと、②は
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}}}X+Y\leqq \boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}\mathrm{ノ}}}$　$\cdots$④
と変形でき、③は
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ハ}}}X-Y\geqq \boxed{{\displaystyle \mathrm{ヒ}\mathrm{フ}}}$　$\cdots$⑤
と変形できる。
$X,Y$が④と⑤を満たすとき、$Y$の取り得る最大の整数の値は
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヘ}}}$である。また、$x,y$が②,③と${\log }_{3}y=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヘ}}}$を同時に
満たすとき、xの取り得る最大の整数の値は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ホ}}}$である。

2020センター試験過去問

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}1\mathrm{問}$
[1]　(1)${\log }_{10}10=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$である。また、${\log }_{10}5,{\log }_{10}15$をそれぞれ
${\log }_{10}2\mathrm{と}{\log }_{10}3$を用いて表すと
${\log }_{10}5=\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}{\log }_{10}2+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}$
${\log }_{10}15=$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}{\log }_{10}2+{\log }_{10}3+\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$
(2)太郎さんと花子さんは、${15}^{20}$について話している。
以下では、${\log }_{10}2=0.3010、$${\log }_{10}3=0.4771$とする。

太郎:${15}^{20}$は何桁の数だろう。
花子:$15$の20乗を求めるのは大変だね。${\log }_{10}{15}^{20}$の整数部分に
着目してみようよ。

${\log }_{10}{15}^{20}$は
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}\mathrm{キ}}}<{\log }_{10}{15}^{20}$$<\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}\mathrm{キ}}}+1$
を満たす。よって、${15}^{20}\mathrm{は}\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}\mathrm{ケ}}}$桁の数である。

太郎:${15}^{20}$の最高位の数字も知りたいね。だけど、${\log }_{10}{15}^{20}$の
整数部分にだけ着目してもわからないな。
花子:$N\mathrm{・}{10}^{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}\mathrm{キ}}}}<{15}^{20}$$<(N+1)\mathrm{・}{10}^{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}\mathrm{キ}}}}$を満たすような
正の整数Nに着目してみたらどうかな。

${\log }_{10}{15}^{20}$の小数部分は${\log }_{10}{15}^{20}-\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}\mathrm{キ}}}$であり
${\log }_{10}\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}<{\log }_{10}{15}^{20}-\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}\mathrm{キ}}}$$<{\log }_{10}(\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}+1)$
が成り立つので、${15}^{20}$の最高位の数字は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}$である。


[2]座標平面上の原点を中心とする半径1の円周上に3点$P(\cos \theta ,\sin \theta ),$
$Q(\cos \alpha ,\sin \alpha ),R(\cos \beta ,\sin \beta )$がある。ただし、$0\leqq \theta <\alpha <\beta <2\pi$
とする。このとき、$s$と$t$を次のように定める。
$s=\cos \theta +\cos \alpha +\cos \beta ,$$t=\sin \theta +\sin \alpha +\sin \beta$

(1)$\mathrm{△}PQR$が正三角形や二等辺三角形のときの$s$と$t$の値について考察しよう。
考察$1:\mathrm{△}PQR$が正三角形である場合を考える。
この場合、$\alpha ,\beta$を$\theta$で表すと
$\alpha =\theta +{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}{3}\pi ,}$$\beta =\theta +{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}{3}\pi }$
であり、加法定理により
$\cos \alpha =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}}, \sin \alpha =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}}$
である。同様に、$\cos \beta$および$\sin \beta$を、$\sin \theta$と$\cos \theta$を用いて表すことができる。
これらのことから、$s=t=\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}$である。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}},\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪${\displaystyle \frac{1}{2}\sin \theta +{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta }}$
①${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta +{\displaystyle \frac{1}{2}\cos \theta }}$
②${\displaystyle \frac{1}{2}\sin \theta -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta }}$
③${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta -{\displaystyle \frac{1}{2}\cos \theta }}$
④$-{\displaystyle \frac{1}{2}\sin \theta +{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta }}$
⑤$-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta +{\displaystyle \frac{1}{2}\cos \theta }}$
②$-{\displaystyle \frac{1}{2}\sin \theta -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta }}$
③$-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta -{\displaystyle \frac{1}{2}\cos \theta }}$

考察2:$\mathrm{△}PQR$が$PQ=PR$となる二等辺三角形である場合を考える。

例えば、点$P$が直線$y=x$上にあり、点$Q,R$が直線$y=x$に関して対称
であるときを考える。このとき、$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$である。また、$\alpha$は
$\alpha <{\displaystyle \frac{5}{4}\pi , \beta }$は${\displaystyle \frac{5}{4}\pi <\beta }$を満たし、点$Q,R$の座標について、
$\sin \beta =\cos \alpha , \cos \beta =\sin \alpha$が成り立つ。よって
$s=t={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}}+\sin \alpha +\cos \alpha }$
である。
ここで、三角関数の合成により
$\sin \alpha +\cos \alpha =$$\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}}}\sin (\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}}})$
である。したがって

$\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}\mathrm{ニ}}}}{12}\pi , \beta ={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}\mathrm{ネ}}}}{12}\pi }}$

のとき、$s=t=0$である。

(2)次に、$s$と$t$の値を定めるときの$\theta ,\alpha ,\beta$の関係について考察しよう。
考察$3:s=t=0$の場合を考える。

この場合、${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$により、$\alpha$と$\beta$について考えると
$\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta ={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ノ}\mathrm{ハ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヒ}}}}}$
である。
同様に、$\theta$と$\alpha$について考えると
$\cos \theta \cos \alpha +\sin \theta \sin \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ノ}\mathrm{ハ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヒ}}}}}$
であるから、$\theta ,\alpha ,\beta$の範囲に注意すると
$\beta -\alpha =\alpha -\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{フ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヘ}}}}\pi }$
という関係が得られる。

(3)これまでの考察を振り返ると、次の⓪～③のうち、
正しいものは$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ホ}}}}}$であることが分かる。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ホ}}}}}$の解答群
⓪$\mathrm{△}PQR$が正三角形ならば$s=t=0$であり、$s=t=0$ならば
$\mathrm{△}PQR$は正三角形である。
①$\mathrm{△}PQR$が正三角形ならば$s=t=0$であり、$s=t=0$で
あっても$\mathrm{△}PQR$は正三角形でない場合がある。
②$\mathrm{△}PQR$が正三角形であっても$s=t=0$でない場合があるが
$s=t=0$ならば$\mathrm{△}PQR$は正三角形である。
③$\mathrm{△}PQR$が正三角形であっても$s=t=0$でない場合があり、
$s=t=0$であっても$\mathrm{△}PQR$が正三角形でない場合がある。