問題文全文(内容文)：
${\large第1問}$
[1]$a$を定数とする。
(1)直線$l:y=(a^2-2a-8)x+a$　の傾きが負となるのは、$a$の値の範囲が

$\boxed{\ \ アイ\ \ } \lt a \lt \boxed{\ \ ウ\ \ }$

のときである。

(2)$a^2-2a-8 \ne 0$とし、(1)の直線$l$と$x$軸との交点の$x$座標を$b$とする。
$a \gt 0$の場合、$b \gt 0$となるのは$\boxed{\ \ エ\ \ } \lt a \lt \boxed{\ \ オ\ \ }$のときである。
$a \leqq 0$の場合、$b \gt 0$となるのは$a \lt \boxed{\ \ カキ\ \ }$のときである。
また、$a=\sqrt3$のとき

$b=\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ケ\ \ }}-\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サシ\ \ }}$

である。

[2]自然数$n$に関する三つの条件$p,q,r$を次のように定める。

$p:n$は$4$の倍数である
$q:n$は$6$の倍数である
$r:n$は$24$の倍数である

条件$p,q,r$の否定をそれぞれ$\bar{ p },\bar{ q },\bar{ r }$で表す。
条件$p$を満たす自然数全体の集合を$P$とし、条件$q$を満たす自然数全体
の集合を$Q$とし、条件$r$を満たす自然数全体の集合を$R$とする。自然数全体
の集合を全体集合とし、集合$P,Q,R$の補集合をそれぞれ$\bar{ P },\bar{ Q },\bar{ R }$で表す。

(1)次の$\boxed{\ \ ス\ \ }$に当てはまるものを、下の⓪～⑤のうちから一つ選べ。

$32 \in \boxed{\ \ ス\ \ }$である。
⓪$P \cap Q \cap R$　①$P \cap Q \cap \bar{ R }$　②$P \cap \bar{ Q }$
③$\bar{ P } \cap Q$　④$\bar{ P } \cap \bar{ Q } \cap R$　⑤$\bar{ P } \cap \bar{ Q } \cap \bar{ R }$

(2)次の$\boxed{\ \ タ\ \ }$に当てはまるものを、下の⓪～④のうちから一つ選べ。

$P \cap Q$に属する自然数のうち最小のものは$\boxed{\ \ セソ\ \ }$である。
また、$\boxed{\ \ セソ\ \ }\ \boxed{\ \ タ\ \ }\ R$である。

⓪=　①$\subset$　②$\supset$　③$\in$　④$\notin$

(3)次の$\boxed{\ \ チ\ \ }$に当てはまるものを、下の⓪～③のうちから一つ選べ。

自然数$\boxed{\ \ セソ\ \ }$は、命題$\boxed{\ \ チ\ \ }$の反例である。

⓪「($p$かつ$q$) $\implies \bar{ r }$」　①「($p$または$q$) $\implies \bar{ r }$」　
②「$r \implies$ ($p$かつ$q$)」　③「($p$かつ$q$) $\implies r$」　

[3]$c$を定数とする。2次関数$y=x^2$のグラフを、2点$(c,0),$　$(c+4,0)$
を通るように平行移動して得られるグラフを$G$とする。

(1)$G$をグラフにもつ2次関数は、$c$を用いて

$y=x^2-2\left(c+\boxed{\ \ ツ\ \ }\right)\ x+c\left(c+\boxed{\ \ テ\ \ }\right)$

と表せる。
$2$点$(3,0),$　$(3,-3)$を両端とする線分と$G$が共有点をもつような
$c$の値の範囲は

$-\boxed{\ \ ト\ \ } \leqq c \leqq \boxed{\ \ ナ\ \ },$　$\boxed{\ \ ニ\ \ } \leqq c \leqq \boxed{\ \ ヌ\ \ }$

である。

(2)$\boxed{\ \ ニ\ \ } \leqq c \leqq \boxed{\ \ ヌ\ \ }$の場合を考える。$G$が点$(3,-1)$を通る
とき、$G$は2次関数$y=x^2$のグラフを$x$軸方向に$\boxed{\ \ ネ\ \ }+\sqrt{\boxed{\ \ ノ\ \ }}$。
$y$軸方向に$\boxed{\ \ ハヒ\ \ }$だけ平行移動したものである。また、このとき
$G$と$y$軸との交点の$y$座標は$\boxed{\ \ フ\ \ }+\boxed{\ \ ヘ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ホ\ \ }}$である。

2020センター試験過去問

問題文全文(内容文)：
センター試験まであと20日！
「ベストを出すためのメンタル調整術」についてお話しています。

問題文全文(内容文)：
「2020年センター試験の塾生の結果」についての報告です。

問題文全文(内容文)：
何人かの人をいくつかの部屋に分ける問題を考える。
ただし、各部屋は十分に大きく、定員については考慮しなくてよい。
（1）
7人を2つの部屋$A,B$に分ける。
　（ⅰ）部屋$A$に3人、部屋$B$に4人となる分け方は全部で何通りあるか。
　（ⅱ）どの部屋も1人以上になる分け方は全部で何通りあるか。
　（ⅲ）（ⅱ）のうち、部屋$A$の人数が奇数である分け方は全部で何通りあるか。

（2）
4人を三つの部屋$A,B,C$に分ける。
どの部屋も1人以上になる分け方は全部で何通りあるか。

（3）
大人4人、こども3人の計7人を三つの部屋$A,B,C$に分ける。
　（ⅰ）どの部屋も大人が1人以上になる分け方は全部で何通りあるか。
　（ⅱ）（ⅱ）のうち、三つの部屋に子ども3人が1人ずつ入る分け方は全部で何通りあるか。
　（ⅲ）どの部屋も大人が1人以上で、かつ、各部屋とも2人以上になる分け方は全部で何通りあるか。

問題文全文(内容文)：
${\large第4問}$
点$O$を原点とする座標空間に2点
$A(3,　3,　-6),$　$B(2+2\sqrt3,$　$2-2\sqrt3,　-4)$
をとる。3点$O,A,B$の定める平面を$\alpha$とする。また、$\alpha$に含まれる点$C$は

$\overrightarrow{ OA } \bot \overrightarrow{ OC },$　$\overrightarrow{ OB }・\overrightarrow{ OC }=24$　$\cdots$①

を満たすとする。

(1)　$|\overrightarrow{ OA }|=\boxed{\ \ ア\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ イ\ \ }},$　$|\overrightarrow{ OB }|=\boxed{\ \ ウ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ エ\ \ }}$であり、
$\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }=\boxed{\ \ オカ\ \ }$である。

(2)点$C$は平面$\alpha$上にあるので、実数$s,$　$t$を用いて、$\overrightarrow{ OC }=s\ \overrightarrow{ OA }+t\ \overrightarrow{ OB }$と
表すことができる。このとき、①から$s=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }},$　$t=\boxed{\ \ コ\ \ }$である。
したがって、$|\overrightarrow{ OC }|=\boxed{\ \ サ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ シ\ \ }}$である。

(3)$\overrightarrow{ CB }=\left(\boxed{\ \ ス\ \ },　\boxed{\ \ セ\ \ },　\boxed{\ \ ソタ\ \ }\right)$である。したがって、平面$\alpha$上の
四角形$OABC$は$\boxed{\ \ チ\ \ }$。
$\boxed{\ \ チ\ \ }$に当てはまるものを、次の⓪～④のうちから一つ選べ。
ただし、少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という。

⓪正方形である
①正方形ではないが、長方形である
②長方形ではないが、平行四辺形である
③平行四辺形ではないが、台形である
④台形ではない

$\overrightarrow{ OA } \bot \overrightarrow{ OC }$であるので、四角形$OABC$の面積は$\boxed{\ \ ツテ\ \ }$である。

(4)$\overrightarrow{ OA } \bot \overrightarrow{ OD },$　$\overrightarrow{ OC }・\overrightarrow{ OD }=2\sqrt6$かつ$z$座標が1であるような点$D$の座標は
$\left(\boxed{\ \ ト\ \ }+\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\ \ ナ\ \ }}}{\boxed{\ \ ニ\ \ }},　\boxed{\ \ ヌ\ \ }+\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\ \ ネ\ \ }}}{\boxed{\ \ ノ\ \ }},　1\right)$
である。このとき$\angle COD=\boxed{\ \ ハヒ\ \ }°$である。
3点$O,C,D$の定める平面を$\beta$とする。$\alpha$と$\beta$は垂直であるので、三角形
$ABC$を底面とする四面体$DABC$の高さは$\sqrt{\boxed{\ \ フ\ \ }}$である。したがって、
四面体$DABC$の体積は$\boxed{\ \ ヘ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ホ\ \ }}$　である。

2020センター試験過去問