問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}\ (1)\overrightarrow{ a }=(\sqrt3,0,1)とする。空間ベクトル\overrightarrow{ b },　\overrightarrow{ c }はともに大きさが1であり、\\
\overrightarrow{ a }∟\overrightarrow{ b },　\overrightarrow{ b }∟\overrightarrow{ c },　\overrightarrow{ c }∟\overrightarrow{ a }　とする。\\
(\textrm{i})p,q,rを実数とし、\overrightarrow{ x }=p\overrightarrow{ a }+q\overrightarrow{ b }+r\overrightarrow{ c }　とするとき、\\
内積\overrightarrow{ x }・\overrightarrow{ a }と\overrightarrow{ x }の大きさ|\ \overrightarrow{ x }\ |をp,q,rを用いて表すと、\overrightarrow{ x }・\overrightarrow{ a }=\boxed{\ \ ア\ \ },|\ \overrightarrow{ x } \ |=\boxed{\ \ イ\ \ }である。\\
(\textrm{ii})(5,0,z)=s\overrightarrow{ a }+(\cos\theta)\overrightarrow{ b }+(\sin\theta)\overrightarrow{ c }を満たす実数s,\thetaが存在するような\\
実数zは2個あるが、それらを全て求めるとz=\boxed{\ \ ウ\ \ }である。\\
\end{eqnarray}

2022慶應義塾大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{1}}$ (4)四面体OABCにおいて、辺OAを1：3に内分する点をD、辺ABを1：2に内分する点をE、辺OCを1：2に内分する点をFとすると、
$\overrightarrow{DE}$=$\frac{\boxed{\ \ ノ\ \ }}{\boxed{\ \ ハヒ\ \ }}\overrightarrow{OA}$+$\frac{\boxed{\ \ フ\ \ }}{\boxed{\ \ ヘ\ \ }}\overrightarrow{OB}$,　$\overrightarrow{DF}$=$-\frac{\boxed{\ \ ホ\ \ }}{\boxed{\ \ マ\ \ }}\overrightarrow{OA}$+$\frac{\boxed{\ \ ミ\ \ }}{\boxed{\ \ ム\ \ }}\overrightarrow{OC}$
である。さらに、3点D,E,Fを通る平面と辺BCの交点をGとすると、
$\overrightarrow{DF}$=$\frac{\boxed{\ \ メ\ \ }}{\boxed{\ \ モ\ \ }}\overrightarrow{DE}$+$\frac{\boxed{\ \ ヤ\ \ }}{\boxed{\ \ ユ\ \ }}\overrightarrow{DF}$
である。したがって、$\overrightarrow{BG}$=$\frac{\boxed{\ \ ヨ\ \ }}{\boxed{\ \ ラ\ \ }}\overrightarrow{BC}$　となる。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{7}$ 座標空間に点C(0,1,1)を中心とする半径1の球面Sがある。点P(0,0,3)からSに引いた接線と$xy$平面との交点をQとする。$\overrightarrow{PC}・\overrightarrow{PQ}$=$t|\overrightarrow{PQ}|$と表すとき、
$t$=$\boxed{\ \ テ \ \ }$である。点Qは楕円状にあり、この楕円を
$\displaystyle\frac{(x+b)^2}{a}$+$\displaystyle\frac{(y+d)^2}{c}$=1
とするとき、$a$=$\boxed{\ \ ト\ \ }$,　$b$=$\boxed{\ \ ナ\ \ }$,　$c$=$\boxed{\ \ ニ\ \ }$,　$d$=$\boxed{\ \ ヌ\ \ }$　である。
また、点Pに光源があるとき、球面Sで光が当たる部分を点Rが動く。ただし、
球面Sは光を通さない。このとき線分PRが通過してできる図形の体積は
2$\pi$・$\displaystyle\frac{\boxed{ネ}+\boxed{ノ}\sqrt{\boxed{ハ}}}{\boxed{ヒ}}$
である。

問題文全文(内容文)：
xyz空間における 8 点 O ( 0 , 0 , 0 ), A ( 1 , 0 , 0 ), B ( 1 , 1 , 0 ), C( 0 , 1 , 0 ), D ( 0 , 0 , 1 ),E ( 1 , 0 , 1 ), F( 1 , 1 , 1 ), G(0 , 1 , 1 ) を頂点とする立方体 OABC-DEFG を考える。また、pと q はp> 1 ,q> 1 を満たす実数とし、 3 点 P, Q, R を P( p, 0 , 0 ), Q(0 , q , 0 ),R( 0 , 0 , $\dfrac{3}{2}$ )とする。
(1)a,bを実数とし、べクトル$\vec{n}$=( a , b , 1 )は 2 つのべクトル $\overrightarrow{ PQ },\overrightarrow{ PR }$の両方に垂直であるとする。a,bをp,qを用いて表せ。
以下では 3 点 P, Q, R を通る平面を$\alpha$とし、点 F を通り平面を$\alpha$とし、点Fを通り平面$\alpha$に垂直な直線をlとする。また、xy平面と直線lの交点のx座標が$\dfrac{2}{3}$であるとし、点 B は線分 PQ 上にあるとする。
(2)pおよびqの値を求めよ。
( 3 )平面と線分 EF の交点 M の座標、および平面と直線 FG の交点 N の座標を求めよ。
( 4 )平面で立方体 OABC - DEFG を 2 つの多面体に切り分けたとき、点 F を含む多面体の体積Vを求めよ。

2023慶應義塾大学商学部過去問

問題文全文(内容文)：
点 O を原点とする座標空間に 3 点 A(-I, 0 , ー 2 ), B(-2, ー 2 , ー 3 ), C(1, 2 , ー 2 )がある。
(a)ベクトル$\overrightarrow{ AB }と\overrightarrow{ AC }の内積は\overrightarrow{ AB }・\overrightarrow{ AC }=\fbox{ アイ }$であり、$\angle ABCの外接円の半径は\sqrt{\fbox{ウエ}}$である。$\angle ABC$の外接円の中心を点 P とすると、
$\overrightarrow{ AP }=\fbox{オ}\overrightarrow{ AB }+\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}\overrightarrow{ AC }$
が成り立つ。
(b)$\angle ABC$の重心を点 G とすると、$\overrightarrow{ OG }=\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}(\overrightarrow{ OA }
+\overrightarrow{ OB }+\overrightarrow{ OC })$であり、線分OBを 2 : 1 に内分する点を Q とすると、$\overrightarrow{ AQ }=(\frac{\fbox{コサ}}{\fbox{シ}},\frac{\fbox{スセ}}{\fbox{ソ}},\fbox{タ})$となる。
(c)線分 OC を 2 : I に内分する点を R とし、 3 点 A, Q, R を通る平面を$\alpha$と直線OG との交点を S とする。点 S は平面にあることから、
$\overrightarrow{ OS }=t\overrightarrow{ OA }+u\overrightarrow{ OB }+v\overrightarrow{ OC }$
(ただし、$t,u,vはt+\frac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}}u+\frac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}}v=1$を満たす実数)
と書けるので、$\overrightarrow{ OS }=\frac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}\overrightarrow{ OG }$となることがわかる。
平面$\alpha$上において、点Sは三角形AQRの$\fbox{ヌ}$に存在し、四面体 O-AQR の体積は四面体のO-ABCの体積の$frac{\fbox{ネ}}{\fbox{ノ}}$倍である。

2023杏林大学過去問