問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ 実数$a$,$b$＞0に対し、$a$≦$b$の場合は$a$≦$x$≦$b$の範囲、$a$＞$b$の場合は$b$≦$x$≦$a$の範囲における$y$=$\log x$のグラフを$C_{a,b}$とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1)点(2,-1)と$C_{2,b}$上の点との距離の最小値を$b$を用いて表せ。
(2)直線$x$=$a$と直線$x$=$b$の間で、$C_{a,b}$と$x$軸によって囲まれる部分を$x$軸の周りに1回転して得られる立体の体積を$S_{a,b}$とする。$S_{1,b}$を$b$を用いて表せ。
(3)$S_{a,b}$を(2)で定義したものとする。$S_{a,a+1}$が最小値をとる$a$の値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\theta=\displaystyle \frac{\pi}{7}$　$z=\cos\theta+i \sin\theta$

（1）
$\cos\theta,\cos2\theta,\cos3\theta$を$z$で表せ

（2）
$\cos\theta・\cos2\theta・\cos3\theta$

（3）
$\cos\theta+\cos3\theta+\cos5\theta$の値を求めよ

出典：日本医科大学　過去問

問題文全文(内容文)：
nを2以上20以下の整数、kを1以上n-1以下の整数とする。

${}_{n+1} \mathrm{ C }_{k+1}$＝$2({}_n \mathrm{ C }_{k-1}＋{}_n \mathrm{ C }_{k＋1})$

が成り立つような整数の組(n,k)を求めよ。

一橋大過去問

問題文全文(内容文)：
$p$は奇数である素数とし、$N=(p+1)(p+3)(p+5)$とおく。
(1)$N$は$48$の倍数であることを示せ。
(2)$N$は$144$の倍数になるような$p$の値を小さい順に$3$つ求めよ。

千葉大過去問

問題文全文(内容文)：
定積分について述べた次の文章を読んで、後の問いに答えよ。
区間$a \leqq x \leqq b$で連続な関数f(x)に対して$F'(x)=f(x)$となる$F(x)$を1つ選び、
$f(x)$のaからbまでの定積分を
$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)　　　　　　　　　\ldots①$
で定義する。定積分の値はF(x)の選び方によらずに定まる。
定積分は次の性質(A),(B),(C)をもつ。
(A)$\int_a^b\left\{kf(x)+lg(x)\right\}dx=k\int_a^bf(x)dx+l\int_a^bg(x)dx$
(B)$ a \leqq c \leqq b$のとき、$\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx=\int_a^bf(x)dx$
(C)区間$a \leqq x \leqq b$において$g(x) \geqq h(x)$ならば、$\int_a^bg(x)dx \geqq \int_a^bh(x)dx$
ただし、$f(x),g(x),h(x)$は区間$a \leqq x \leqq b$で連続な関数、$k,l$は定数である。
以下、$f(x)$を区間$0 \leqq x \leqq 1$で連続な増加関数とし、
nを自然数とする。定積分の性質$\boxed{\ \ ア\ \ }$を用い、定数関数に対する定積分の計算を行うと、
$\frac{1}{n}f(\frac{i-1}{n}) \leqq \int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx \leqq \frac{1}{n}f(\frac{i}{n})　　(i = 1,2,\ldots,n)　　　　　\ldots②$
が成り立つことがわかる。$S_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(\frac{i-1}{n})$とおくと、
不等式②と定積分の性質$\boxed{\ \ イ\ \ }$より次の不等式が成り立つ。
$0 \leqq \int_0^1f(x)dx-S_n \leqq \frac{f(1)-f(0)}{n}　　　　　\ldots③$
よって、はさみうちの原理より$\lim_{n \to \infty}S_n=\int_0^1f(x)dx$が成り立つ。

(1)関数F(x),G(x)が微分可能であるとき、$\left\{F(x)+G(x)\right\}'=F'(x)+G'(x)$が
成り立つことを、導関数の定義に従って示せ。
また、この等式と定積分の定義①を用いて、性質(A)で$k=l=1$とした場合の等式
$\int_a^b\left\{f(x)+g(x)\right\}dx=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx$　を示せ。
(2)定積分の定義①と平均値の定理を用いて、次を示せ。
$a \lt b$のとき、区間$a \leqq x \leqq b$において$g(x) \gt 0$ならば、$\int_a^bg(x)dx \gt 0$
(3)(A),(B),(C)のうち、空欄$\boxed{\ \ ア\ \ }$に入る記号として最もふさわしいものを
1つ選び答えよ。また、文章中の下線部の内容を詳しく説明することで、
不等式②を示せ。
(4)(A),(B),(C)のうち、空欄$\boxed{\ \ イ\ \ }$に入る記号として最もふさわしいものを
1つ選び答えよ。また、不等式③を示せ。

2022九州大学理系過去問