問題文全文(内容文)：
受験生必見！テストにおける「勝てる受験生」とは？
「勝負強くなる方法」についてお話しています。

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'91北海道教育大学過去問題
$a_1=b_1=1$ n自然数
$a_{n+1}=a_n+b_n$
$b_{n+1}=4a_n+b_n$
(1){ $a_n+kb_n$ }が等比数列となるようなkを求めよ。
(2)$a_n,b_n$の一般項

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$\Large{\boxed{3}}$ 次の問いに答えよ。
(1)$\alpha$ を実数とする。次のように定められた数列$\left\{a_n\right\}$ の一般項を求めよ。
$a_1$=$\alpha$,　$a_{n+1}$=$\frac{1}{2}a_n$+1　($n$=1,2,3,...)
(2)関数$f_1(x)$, $f_2(x)$, $f_3(x)$,... を次の関係式で定める。
$f_1(x)$=$3x$
$f_{n+1}(x)$=$(n+2)x^{n+1}$+$\displaystyle\left(\int_0^1f_n(t)dt\right)x$　($n$=1,2,3,...)
関数$f_n(x)$を$x$と$n$の式で表せ。

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$\boxed{2}$

実数$x$に対し、関数$f(x)$を

$f(x)=\sin^3x+\cos^3x+4sin x \cos x$

により定める。

また、$t=\sin x+\cos x$とおく。次の問いに答えよ。

(1)$\sin x \cos x$を$t$を用いて表せ。

(2)$f(x)$を$t$を用いて表せ。

(3)$x$がすべてに実数を動くとき、

$t$のとりうる値の範囲を求めよ。

(4)$x$がすべてに実数を動くとき、

$f(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ。

$2025$年立教大学理学部過去問題

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Oを原点とする座標平面上で考える。0以上の整数kに対して、ベクトル$\overrightarrow{ v_k }$を
$\overrightarrow{ v_k }=(\cos\frac{2k\pi}{3},　\sin\frac{2k\pi}{3})$
と定める。投げたとき表と裏がどちらも$\frac{1}{2}$の確率で出るコインをN回投げて、
座標平面上に点$X_0,X_1,X_2,\ldots,X_N$を以下の規則$(\textrm{i}),(\textrm{ii})$に従って定める。
$(\textrm{i})X_0$はOにある。
$(\textrm{ii})n$を1以上N以下の整数とする。$X_{n-1}$が定まったとし、$X_n$を次のように定める。
・n回目のコイン投げで表が出た場合、
$\overrightarrow{ OX_n }=\overrightarrow{ OX_{n-1} }+\overrightarrow{ v_k }$
により$X_n$を定める。ただし、kは1回目からn回目までの
コイン投げで裏が出た回数とする。
・n回目のコイン投げで裏が出た場合、$X_n$を$X_{n-1}$と定める。
(1)$N=8$とする。$X_8$がOにある確率を求めよ。
(2)$N=200$とする。$X_{200}$がOにあり、かつ、合計200回のコイン投げで表が
ちょうどr回出る確率を$p_r$とおく。ただし$0 \leqq r \leqq 200$である。$p_r$を求めよ。
また$p_r$が最大となるrの値を求めよ。

2022東京大学理系過去問