問題文全文(内容文)：
${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}dx}}$

出典：2023年岡山県立大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 4}}$ (1)0≦$x$≦${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において常に不等式|$b$|≦|$b$+1-$b\cos x$|が成り立つような実数$b$の値の範囲は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}$≦$b$≦$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}$である。
以下、$b$を$\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}$≦$b$≦$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}$を満たす0でない実数とし、数列$\left\{a_n\right\}$を
$a_n$=${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x(\cos x{)}^{n-1}}{(b+1-b\cos x{)}^n}dx}$　(n=1,2,3,...)で定義する。
(2)${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}^n{a}_n}$=0　が成り立つことを証明しなさい。
(3)$a_1$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}$である。
(4)$a_{n+1}$を$a_n$,$n$,$b$を用いて表すと$a_{n+1}$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}$となる。
(5)${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{\frac{1}{1\mathrm{・}2}-\frac{1}{2\mathrm{・}{2}^2}+\frac{1}{3\mathrm{・}{2}^3}-...+\frac{(-1{)}^{n+1}}{n\mathrm{・}{2}^n}\}}$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}$である。

問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(定積分の置換積分法➁・偶数関数と奇関数)
Q次の定積分を求めよ。

①${\int }_{-2}^2\sqrt{4-x^2}dx$

➁${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin xdx$

③${\int }_{-1}^1(x^4-5x^3+4x-2)dx$

問題文全文(内容文)：
【宇都宮大学 2023】
関数$f(x)=|x-1|,g(x)=e^{-2x+1}$により定まる座標平面上の曲線$y=(f\circ g)(x)$を$C$とする。ただし、$e$は自然対数の底で$e=2.71828\dots$である。次の問いに答えよ。
(1) $(f\circ g)(0)$および${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(f\circ g)(x)}$を求めよ。
(2) 座標平面上に曲線$C$の概形を図示せよ。
(3) ${\displaystyle \frac{1}{2}＜t＜1}$を満たす実数$t$に対し、${\displaystyle F(t)=(f\circ g)(\frac{t}{2})+(f\circ g)(t)}$と定める。$F(t)$の増減を調べ、極値およびそのときの$t$の値を求めよ。
(4) 曲線$C$と直線${\displaystyle l:y=\frac{1}{2}}$で囲まれる部分の面積$S$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 3}}$ 座標平面上の曲線y=$\frac{1}{x^2}$ (x $\ne$ 0)をCとする。$a_1$を正の実数とし、点$A_1$$(a_1,\frac{1}{a_1^2})$におけるCの接線を$l_1$とする。$l_1$とCの交点で$A_1$と異なるものを$A_2$$(a_2,\frac{1}{a_2^2})$とする。次に点$A_2$におけるCの接線を$l_2$とCの交点で$A_2$と異なるものを$A_3$$(a_3,\frac{1}{a_3^2})$とする。以下、同様にしてn=3,4,5,...に対して、$A_n$$(a_n,\frac{1}{a_n^2})$におけるCの接線を$l_n$とし、$l_n$とCの交点で$A_n$と異なるものを$A_{n+1}$$(a_{n+1},\frac{1}{a_{n+1}^2})$とする。
(1)$\frac{a_2}{a_1}$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{あ}}}$であり、$\frac{a_3}{a_1}$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{い}}}$である。
(2)$a_n$を$a_1$で表すと$a_n$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{う}}}$である。無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$の和をTを$a_1$を用いて表すとT=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{え}}}$である。
(3)$a_1$を正の実数すべてにわたって動かすとき、三角形$A_1{A}_2{A}_3$の重心が描く軌跡の方程式をy=f(x)の形で求めるとf(x)=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{お}}}$となる。
(4)三角形$A_1{A}_2{A}_3$が鋭角三角形になるための条件は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{か}}}$＜$a_1$＜$\boxed{{\displaystyle \mathrm{き}}}$である。
(5)x軸上に2点$A_1^{\prime }$($a_1$, 0), $A_2^{\prime }$($a_2$, 0)をとり、台形$A_1{A}_2{A}_2^{\prime }{A}_1^{\prime }$の面積を$S_1$とする。また、点$A_1$から点$A_3$にいたる曲線Cの部分、および線分$A_3{A}_2$と$A_2{A}_1$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする。このとき、$S_1$：$S_2$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{く}}}$：$\boxed{{\displaystyle \mathrm{け}}}$である。ただし、$\boxed{{\displaystyle \mathrm{く}}}$と$\boxed{{\displaystyle \mathrm{け}}}$は互いに素な自然数である。

2023慶應義塾大学医学部過去問