問題文全文(内容文)：

$\boxed{2}$

次の条件によって定められる数列$\{ a_n\}$がある。

$a_1=1,a_{n+1}=\dfrac{2n-1}{2n}a_n \quad (n=1,2,3,\cdots)$

(1)正の整数$k,\ell$に対して

$\dfrac{k}{k+\ell-1}a_{k+1}a_{\ell}+\dfrac{\ell}{k+\ell-1}a_ka_{\ell+1}=a_ka_{\ell}$

が成り立つことを示せ。

(2)正の整数$m$に対して

$\displaystyle \sum_{k=1}^{m} a_ka_{m-K+1}=1$

が成り立つことを示せ。

$2025$年大阪大学文系過去問題

問題文全文(内容文)：
3. $n$ を自然数の定数とする。また、実数 $a$ に対して、$[a]$ は $a$ を超えない最大の整
数を表すものとする。
(1) $\sum_{k=1}^{8}[\sqrt{k}]=\boxed{\text{アイ}}$ である。
(2) 自然数 $m$ に対し、$[\sqrt{k}]=m$ となる自然数 $k$ の個数は、$m \le \sqrt{k} < m+1$ であ
ることに注意すると
$(\boxed{\text{ウ}}m+\boxed{\text{エ}})$ 個
である。
これを用いて
$\sum_{k=1}^{n}[\sqrt{k}]=\dfrac{n}{\boxed{\text{オ}}}\left(\boxed{\text{カ}}n^2-\boxed{\text{キ}}n+\boxed{\text{ク}}\right)$
である。
(3) $xy$ 平面において、2 つの曲線$x=3n^2$、$2x-y-8n^2=0$および曲線$y=\sqrt{4n^2-x}$
で囲まれる領域（境界を含む）を $D$ とし、領域 $D$ に含まれる格子点（$x$ 座標、$y$ 座
標がともに整数である点）の個数を $S(n)$ とすると
$S(n)=\dfrac{1}{6}\left(\boxed{\text{ケ}}n^4+\boxed{\text{コ}}n^3+\boxed{\text{サ}}n+\boxed{\text{シ}}\right)$
である。

問題文全文(内容文)：
3. 空間の 3 点 $A(-1,-2,1)$、$B(-3,-1,1)$、$C(-3,-2,3)$ で定まる平面を $\alpha$ とし、点 $D(-3,-2,1)$ から平面 $\alpha$ に垂線 $DH$ を下ろす。

(1) $\overrightarrow{DH}=\dfrac{\overrightarrow{DA}+\boxed{\text{マ}} \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}}{\boxed{\text{ミ}}}$ である。

(2) 点 $H$ の座標は $\left(-\dfrac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}},-\dfrac{\boxed{\text{モ}}}{\boxed{\text{ヤ}}},\dfrac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}}}\right)$ である。

(3) 垂線 $DH$ の長さは $\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{ラ}}}}{\boxed{\text{リ}}}$ である。

(4) 四面体 $DABC$ の体積を $V_1$ とする。また、直線 $AH$ と直線 $BC$ の交点を $P$ とし、四面体 $DCHP$ の体積を $V_2$ とする。このとき、$\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{\boxed{\text{ルレ}}}{\boxed{\text{ロ}}}$ である。

問題文全文(内容文)：
不等式
$ax^2+y^2+az^2-xy-yz-xz \geqq 0$が任意の実数$x,y,z$でつねに成り立つ$a$の範囲を求めよ

出典：2007年滋賀県立大学　過去問

問題文全文(内容文)：
$C=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \displaystyle \frac{\cos\ x+3}{2\sin\ x+3\cos\ x+13} dx$

$D=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \displaystyle \frac{\sin\ x+2}{2\sin\ x+3\cos\ x+13} dx$

$C,D$の値を求めよ。

出典：2024年順天堂大学医学部　入試問題