問題文全文(内容文)：
複数の玉が人った袋から玉を 1 個取り出して袋に戻す事象を考える。どの玉も同じ確率で取り出されるものとし、nを自然数として、以下の間いに答えよ。
(1) 袋の中に赤玉 1 個と黒玉 2 個が入っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉をひとつ加え、合計 2 個の玉を袋に戻すという試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}},　p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$
( 2 )袋の中に赤玉 3 個と黒玉 2 個が人っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、赤玉と黒玉を 1 個ずつ、合計 2 個の球を袋に戻す試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、次式が成り立つ。
$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{オカ}}{\fbox{キク}},　p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ケコ}}{\fbox{サシ}}$
n回目の試行開始時点で袋に人っている玉の個数$M_{ n } はM_{ n }=n+\fbox{ス}$であり、この時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数$R_{ n }はR_{ n }=M_{ n }×P_{ n }$と表される。n回目の試行において、黒玉が取り出された場合にのみ、試行後の赤玉の個数が施行前と比べて$\fbox{セ}$個増えるため、n+ 1 回目の試行開始時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数は$R_{ n+1 }=R_{ n }+(1-P_{ n })×\fbox{セ}$となる。したがって、
$P_{ n+1 }=\dfrac{n+\fbox{ソ}}{n+\fbox{タ}}×P_{ n }+\dfrac{1}{n+\fbox{チ}}$
が成り立つ。このことから、$(n+3)×(n+\fbox{ツ})×(P_{n}-\dfrac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}})$がnに依らず一定となる事が分かり、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } P_n =\dfrac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}$と求められる。

2023杏林大学医過去問

問題文全文(内容文)：
$\left[\dfrac{13×1}{2024}\right]+\left[\dfrac{13×2}{2024}\right]+\left[\dfrac{13×3}{2024}\right]+・・・+\left[\dfrac{13×2023}{2024}\right]$を計算してください。
ただし、$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表します。

問題文全文(内容文)：
$(\sqrt5+\sqrt7)^{2022}$の1の位の数を求めよ.

問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$ $A=\dbinom{a \quad b}{ c\quad d },A^2=\theta $

$kE-A$が逆行列をもつための必要十分条件を求めよ.

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{4}}　$
1辺の長さが$1$の正三角形を下図(※動画参照)のように積んでいく。図の中には大きさの異なったいくつかの正三角形が含まれているが、底辺が下側にあるものを「上向きの正三角形」、底辺が上側にあるものを「下向きを正三角形」とよぶことにする。例えば、この図(※動画参照)は1辺の長さが1の正三角形を4段積んだものであり、1辺の長さが1の上向きの正三角形は10個あり、1辺の長さが2の上向き正三角形は6個ある。
また1辺の長さが1の下向きの正三角形は6個ある。上向きの正三角形の総数は20であり、下向きの正三角形の総数は7である。こうした正三角形の個数に関して次の問いに答えよ。
(1)1辺の長さが1の正三角形を$5$段積んだとき、上向きと下向きとを合わせた正三角形の総数を求めよ。
(2)1辺の長さが1の正三角形を$n$段(ただし$n$は自然数)積んだとき、上向きの正三角形の総数を求めよ。
(3)1辺の長さが1の正三角形を$n$段(ただし$n$は自然数)積んだとき、下向きの正三角形の総数を求めよ。