数B
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大学入試問題#923「帰納法で解いても良いのかな」
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$a_1=1,$ $a_n \neq 0$
$a_n=3(\sqrt{ S_n }-\sqrt{ S_{n-1} }),2 \leq n$
1.$a_2$を求めよ。
2.$\sqrt{ S_n }$を求めよ。
3.$a_n$を求めよ。
出典：1999年 千葉大学
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$a_1=1,$ $a_n \neq 0$
$a_n=3(\sqrt{ S_n }-\sqrt{ S_{n-1} }),2 \leq n$
1.$a_2$を求めよ。
2.$\sqrt{ S_n }$を求めよ。
3.$a_n$を求めよ。
出典：1999年 千葉大学
大学入試問題#895「2番だけで良い大問」 #福井大学医学部(2015) #数列
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#福井大学#数B
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$a_1=2$
$3a_{n+1}-4a_n+1=0$
１．数列{$a_n$}の一般項を求めよ。
２．$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}$の小数部分を$b_n$とし、数列{$b_n$}の一般項を求めよ。
３．$\displaystyle \sum_{k=1}^n \displaystyle \frac{1}{b_k}$を求めよ。
出典：2015年福井大学医学部
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$a_1=2$
$3a_{n+1}-4a_n+1=0$
１．数列{$a_n$}の一般項を求めよ。
２．$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}$の小数部分を$b_n$とし、数列{$b_n$}の一般項を求めよ。
３．$\displaystyle \sum_{k=1}^n \displaystyle \frac{1}{b_k}$を求めよ。
出典：2015年福井大学医学部
福田のおもしろ数学175〜0から10^nまでの数に現れる各桁の数字の総和を求める
【高校数学】統計的な推測 2週間完成【⑦仮説検定】
単元：
#確率分布と統計的な推測#統計的な推測#数学(高校生)#数B
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
・ある硬貨を484回投げたところ、おもてが222回出た。この硬貨は、表と裏の出方に偏りがあると判断してよいか。有意水準5%で検定せよ。
・あるテレビ番組の視聴率は従来10%であった。無作為に400世帯を選んで調査したところ、48世帯が視聴していることがわかった。視聴率は従来よりも上がったと判断してよいか。有意水準5%で検定せよ。
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・ある硬貨を484回投げたところ、おもてが222回出た。この硬貨は、表と裏の出方に偏りがあると判断してよいか。有意水準5%で検定せよ。
・あるテレビ番組の視聴率は従来10%であった。無作為に400世帯を選んで調査したところ、48世帯が視聴していることがわかった。視聴率は従来よりも上がったと判断してよいか。有意水準5%で検定せよ。
【高校数学】ここは大事！統計的な推測 2週間完成【⑥推定】
単元：
#確率分布と統計的な推測#統計的な推測#数学(高校生)#数B
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
・ある試験を受けた高校生の中から、100人を任意に選んだところ、平均点は58.3点であった。母標準偏差を13.0点として、母平均を信頼度95%で推定せよ。
・ある町の有権者2500人を無作為に抽出して、A政党の支持者を調べたところ、625人であった。この町のA政党支持率を信頼度95%で推定せよ。
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・ある試験を受けた高校生の中から、100人を任意に選んだところ、平均点は58.3点であった。母標準偏差を13.0点として、母平均を信頼度95%で推定せよ。
・ある町の有権者2500人を無作為に抽出して、A政党の支持者を調べたところ、625人であった。この町のA政党支持率を信頼度95%で推定せよ。
【高校数学】模試までに整理すればまだ間に合う！統計的な推測 2週間完成【⑤母集団と標本】
単元：
#確率分布と統計的な推測#統計的な推測#数学(高校生)#数B
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
・母平均120、母標準偏差30をもつ母集団から大きさ100の無作為標本を抽出するとき、その標本平均$\bar{X}$が123より大きい値をとる確率を求めよ。
・ある国の有権者の内閣支持率が50%であるとき、無作為に抽出した400人の有権者の内閣支持率をRとする。Rが48%以上、52%以下である確率を求めよ。
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・母平均120、母標準偏差30をもつ母集団から大きさ100の無作為標本を抽出するとき、その標本平均$\bar{X}$が123より大きい値をとる確率を求めよ。
・ある国の有権者の内閣支持率が50%であるとき、無作為に抽出した400人の有権者の内閣支持率をRとする。Rが48%以上、52%以下である確率を求めよ。
【高校数学】正規分布はこれ１本でマスター！統計的な推測 2週間完成【④正規分布】
単元：
#確率分布と統計的な推測#確率分布#数学(高校生)#数B
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
・1000人の生徒に数学のテストを行ったところ、その成績は平均48点、標準偏差15点であった。成績が正規分布に従うものとするとき、次の問いに答えよ。
(1) ある生徒の点数が78点以上である確率を求めよ。
(2) 78点以上の生徒は約何人いると考えられるか。
(3) 30点以下の生徒は約何人いると考えられるか。
・ある植物の種子の発芽率は80%であるという。この植物の種子を900個まいたとき、次の問いに答えよ。
(1) 750個以上の種子が発芽する確率を求めよ。
(2) 900個のうちn個以上の種子が発芽する確率が80%以上となるようなnの最大値を求めよ。
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・1000人の生徒に数学のテストを行ったところ、その成績は平均48点、標準偏差15点であった。成績が正規分布に従うものとするとき、次の問いに答えよ。
(1) ある生徒の点数が78点以上である確率を求めよ。
(2) 78点以上の生徒は約何人いると考えられるか。
(3) 30点以下の生徒は約何人いると考えられるか。
・ある植物の種子の発芽率は80%であるという。この植物の種子を900個まいたとき、次の問いに答えよ。
(1) 750個以上の種子が発芽する確率を求めよ。
(2) 900個のうちn個以上の種子が発芽する確率が80%以上となるようなnの最大値を求めよ。
【高校数学】模試に向けて今からでも間に合う！統計的な推測 2週間完成【③二項分布】
単元：
#確率分布と統計的な推測#確率分布#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
・次の二項分布の平均、分散と標準偏差を求めよ。
$\displaystyle B(5,\frac{1}{6})$
・1個のさいころを8回投げるとき、4以上の目が出る回数をXとする。
(1) 4以上の目が3回以上出る確率を求めよ。
(2) 確率変数Xの期待値と標準偏差を求めよ。
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・次の二項分布の平均、分散と標準偏差を求めよ。
$\displaystyle B(5,\frac{1}{6})$
・1個のさいころを8回投げるとき、4以上の目が出る回数をXとする。
(1) 4以上の目が3回以上出る確率を求めよ。
(2) 確率変数Xの期待値と標準偏差を求めよ。
【高校数学】統計的な推測 2週間完成【②同時分布、確率変数の和の期待値、独立な確率変数】
単元：
#確率分布と統計的な推測#確率分布#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
・500円硬貨2枚と100円硬貨1枚を同時に投げる。表の出た硬貨の金額の和の期待値を求めよ。
・Aは2枚、Bは3枚の硬貨を同時に投げ、表の出た枚数をそれぞれX,Yとするとき、積XYの期待値を求めよ。
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・500円硬貨2枚と100円硬貨1枚を同時に投げる。表の出た硬貨の金額の和の期待値を求めよ。
・Aは2枚、Bは3枚の硬貨を同時に投げ、表の出た枚数をそれぞれX,Yとするとき、積XYの期待値を求めよ。
【高校数学】模試に向けて今からでも間に合う！統計的な推測 2週間完成【①確率変数と確率分布、期待値、分散、標準偏差、確率変数の変換】
単元：
#確率分布と統計的な推測#確率分布#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
・3枚の硬貨を同時に投げるとき、表の出る枚数をXとする。確率変数Xの確率分布を求めよ。
・1個のサイコロを1回投げるとき、出る目の数をXとする。Xの期待値、分散、標準偏差を求めよ。
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・3枚の硬貨を同時に投げるとき、表の出る枚数をXとする。確率変数Xの確率分布を求めよ。
・1個のサイコロを1回投げるとき、出る目の数をXとする。Xの期待値、分散、標準偏差を求めよ。
実はコスパがいい!?文系も理系も入試に関わってくる『統計的な推測』について
単元：
#確率分布と統計的な推測#統計的な推測#数学(高校生)#数B
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
文系も理系も入試に関わってくる『統計的な推測』について解説していきます
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文系も理系も入試に関わってくる『統計的な推測』について解説していきます
福田の数学〜慶應義塾大学2024年理工学部第1問(2)〜漸化式とはさみうちの原理
単元：
#大学入試過去問(数学)#漸化式#関数と極限#数列の極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
関数f(x)は実数全体で定義されており、$x\leqq 2$において
$\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}x\leqq f(x)\leqq 2-x$
を満たしているものとする。数列{$a_{ n }$}は漸化式
$a_{ n+1 }=a_{ n }+f(a_{ n })$
を満たしているものとする。
(i)$a_{ 1 } \leqq 2$ならば、すべての自然数nに対して、$a_{ 1 } \leqq a_{ n }\leqq2$となる事を証明しなさい。
(ii)$a_{ 1 } \leqq 2$ならば、$a_{ 1 }$の値によらず$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n = 2$となる事を証明しなさい。
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関数f(x)は実数全体で定義されており、$x\leqq 2$において
$\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}x\leqq f(x)\leqq 2-x$
を満たしているものとする。数列{$a_{ n }$}は漸化式
$a_{ n+1 }=a_{ n }+f(a_{ n })$
を満たしているものとする。
(i)$a_{ 1 } \leqq 2$ならば、すべての自然数nに対して、$a_{ 1 } \leqq a_{ n }\leqq2$となる事を証明しなさい。
(ii)$a_{ 1 } \leqq 2$ならば、$a_{ 1 }$の値によらず$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n = 2$となる事を証明しなさい。
福田のおもしろ数学051〜10秒チャレンジ！〜階乗の付いた分数の計算
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \frac{1}{2!}+\displaystyle \frac{2}{3!}+\displaystyle \frac{3}{4!}+\displaystyle \frac{4}{5!}+\displaystyle \frac{5}{6!}$を計算してください。
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$\displaystyle \frac{1}{2!}+\displaystyle \frac{2}{3!}+\displaystyle \frac{3}{4!}+\displaystyle \frac{4}{5!}+\displaystyle \frac{5}{6!}$を計算してください。
福田の数学〜東京大学2018年理系第2問〜数列の増減とユークリッドの互除法
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$a_{ 1 },a_{ 2 }・・・$を
$a_{ n }=\dfrac{2_{ n }+{}_1 \mathrm{ C }_n}{n!}$(n=1,2,・・・)
で定める
(1)$n \geqq 2$とする。$\dfrac{a_{n}}{a_{n-1}}$を規約分数$\dfrac{q_{n}}{p_{n}}$として表したときの分母$p_{n} \geqq 1$と分子$q_{n}$を求めよ。
(2)$a_{n}$が整数となる$n\geqq1$をすべて求めよ。
2018東京大学理過去問
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$a_{ 1 },a_{ 2 }・・・$を
$a_{ n }=\dfrac{2_{ n }+{}_1 \mathrm{ C }_n}{n!}$(n=1,2,・・・)
で定める
(1)$n \geqq 2$とする。$\dfrac{a_{n}}{a_{n-1}}$を規約分数$\dfrac{q_{n}}{p_{n}}$として表したときの分母$p_{n} \geqq 1$と分子$q_{n}$を求めよ。
(2)$a_{n}$が整数となる$n\geqq1$をすべて求めよ。
2018東京大学理過去問
福田のおもしろ数学047〜これができたら天才〜ガウス記号のついた数の和
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$[\dfrac{13×1}{2024}]+[\dfrac{13×2}{2024}]+[\dfrac{13×3}{2024}]+・・・+[\dfrac{13×2023}{2024}]$を計算してください。
ただし、$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表します。
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$[\dfrac{13×1}{2024}]+[\dfrac{13×2}{2024}]+[\dfrac{13×3}{2024}]+・・・+[\dfrac{13×2023}{2024}]$を計算してください。
ただし、$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表します。
2024年共通テスト徹底解説〜数学ⅡB第4問数列〜福田の入試問題解説
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#共通テスト#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
共通テスト2024の数学ⅡB第4問数列を徹底解説します
2024共通テスト過去問
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共通テスト2024の数学ⅡB第4問数列を徹底解説します
2024共通テスト過去問
福田のおもしろ数学020〜わんちゃんの男の子と女の子の比率は〜Google入社試験の類題
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数B#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
わんちゃんの国があります。この国ではどの家庭も男の子が産まれるまで子供を作り続けます。この国の男の子と女の子の比率はどうなりますか
google入社試験過去問
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わんちゃんの国があります。この国ではどの家庭も男の子が産まれるまで子供を作り続けます。この国の男の子と女の子の比率はどうなりますか
google入社試験過去問
等差数列の和 視聴者さんからいただいた問題
福田の数学〜0と1の間に整数は存在しないなんて当たり前〜東京大学2018年文系第2問〜数列の増減と整数となる条件
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数列$a_{ 1},a_{ 2 }$,・・・を$a_{ n }=\displaystyle \frac{{}_2n \mathrm{ C }_n}{n!}$(n=1,2,・・・)で定める。
（１）$a_{ 7 }$と１の大小を調べよ。
（２）$n \geqq 2$とする。$\displaystyle \frac{a_{ n }}{a_{ n-1}}<1$を満たすｎの範囲を求めよ。
（３）$a_{ n }$が整数となる$n \geqq 1$を全て求めよ。
2018東京大学文過去問
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数列$a_{ 1},a_{ 2 }$,・・・を$a_{ n }=\displaystyle \frac{{}_2n \mathrm{ C }_n}{n!}$(n=1,2,・・・)で定める。
（１）$a_{ 7 }$と１の大小を調べよ。
（２）$n \geqq 2$とする。$\displaystyle \frac{a_{ n }}{a_{ n-1}}<1$を満たすｎの範囲を求めよ。
（３）$a_{ n }$が整数となる$n \geqq 1$を全て求めよ。
2018東京大学文過去問
福田のおもしろ数学011〜あけましておめでとうございます〜2024の階乗は末尾に0が何個並ぶか
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
2024 !の末尾に並ぶ 0 の個数を求めよ。
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2024 !の末尾に並ぶ 0 の個数を求めよ。
福田のおもしろ数学010〜10秒で解けるキミは天才〜階乗の和の1の位
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
1 !十 2 !十 3 !十・・・十 2023 !十 2024 !の 1 の位を求めよ。
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1 !十 2 !十 3 !十・・・十 2023 !十 2024 !の 1 の位を求めよ。
福田の数学〜ポリアの壺とは逆の試行における確率の極限〜杏林大学2023年医学部第1問後編〜確率漸化式と極限
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#数列#漸化式#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#杏林大学#数B#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
複数の玉が人った袋から玉を 1 個取り出して袋に戻す事象を考える。どの玉も同じ確率で取り出されるものとし、nを自然数として、以下の間いに答えよ。
(1) 袋の中に赤玉 1 個と黒玉 2 個が入っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉をひとつ加え、合計 2 個の玉を袋に戻すという試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}, p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$
( 2 )袋の中に赤玉 3 個と黒玉 2 個が人っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、赤玉と黒玉を 1 個ずつ、合計 2 個の球を袋に戻す試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、次式が成り立つ。
$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{オカ}}{\fbox{キク}}, p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ケコ}}{\fbox{サシ}}$
n回目の試行開始時点で袋に人っている玉の個数$M_{ n } はM_{ n }=n+\fbox{ス}$であり、この時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数$R_{ n }はR_{ n }=M_{ n }×P_{ n }$と表される。n回目の試行において、黒玉が取り出された場合にのみ、試行後の赤玉の個数が施行前と比べて$\fbox{セ}$個増えるため、n+ 1 回目の試行開始時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数は$R_{ n+1 }=R_{ n }+(1-P_{ n })×\fbox{セ}$となる。したがって、
$P_{ n+1 }=\dfrac{n+\fbox{ソ}}{n+\fbox{タ}}×P_{ n }+\dfrac{1}{n+\fbox{チ}}$
が成り立つ。このことから、$(n+3)×(n+\fbox{ツ})×(P_{n}-\dfrac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}})$がnに依らず一定となる事が分かり、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } P_n =\dfrac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}$と求められる。
2023杏林大学医過去問
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複数の玉が人った袋から玉を 1 個取り出して袋に戻す事象を考える。どの玉も同じ確率で取り出されるものとし、nを自然数として、以下の間いに答えよ。
(1) 袋の中に赤玉 1 個と黒玉 2 個が入っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉をひとつ加え、合計 2 個の玉を袋に戻すという試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}, p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$
( 2 )袋の中に赤玉 3 個と黒玉 2 個が人っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、赤玉と黒玉を 1 個ずつ、合計 2 個の球を袋に戻す試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、次式が成り立つ。
$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{オカ}}{\fbox{キク}}, p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ケコ}}{\fbox{サシ}}$
n回目の試行開始時点で袋に人っている玉の個数$M_{ n } はM_{ n }=n+\fbox{ス}$であり、この時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数$R_{ n }はR_{ n }=M_{ n }×P_{ n }$と表される。n回目の試行において、黒玉が取り出された場合にのみ、試行後の赤玉の個数が施行前と比べて$\fbox{セ}$個増えるため、n+ 1 回目の試行開始時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数は$R_{ n+1 }=R_{ n }+(1-P_{ n })×\fbox{セ}$となる。したがって、
$P_{ n+1 }=\dfrac{n+\fbox{ソ}}{n+\fbox{タ}}×P_{ n }+\dfrac{1}{n+\fbox{チ}}$
が成り立つ。このことから、$(n+3)×(n+\fbox{ツ})×(P_{n}-\dfrac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}})$がnに依らず一定となる事が分かり、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } P_n =\dfrac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}$と求められる。
2023杏林大学医過去問
【共テ数学IIB】知らなきゃ損な裏技集__これで解答時間をキュッと短縮します（指数・対数、微分積分、数列、ベクトル）
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#指数関数と対数関数#微分法と積分法#指数関数#対数関数#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)#数B#数C
指導講師：
カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】
問題文全文(内容文)：
【共テ数学IIB】解答時間短縮裏技集 紹介動画です（指数・対数、微分積分、数列、ベクトル）
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【共テ数学IIB】解答時間短縮裏技集 紹介動画です（指数・対数、微分積分、数列、ベクトル）
福田の数学〜ポリアの壺は証明を覚えよう〜杏林大学2023年医学部第1問前編〜ポリアの壺
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#数列#漸化式#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#杏林大学#数B#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
複数の玉が人った袋から玉を 1 個取り出して袋に戻す事象を考える。どの玉も同じ確率で取り出されるものとし、nを自然数として、以下の間いに答えよ。
(1) 袋の中に赤玉 1 個と黒玉 2 個が入っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉をひとつ加え、合計 2 個の玉を袋に戻すという試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}, p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$
( 2 )袋の中に赤玉 3 個と黒玉 2 個が人っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、赤玉と黒玉を 1 個ずつ、合計 2 個の球を袋に戻す試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、次式が成り立つ。
$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{オカ}}{\fbox{キク}}, p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ケコ}}{\fbox{サシ}}$
n回目の試行開始時点で袋に人っている玉の個数$M_{ n } はM_{ n }=n+\fbox{ス}$であり、この時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数$R_{ n }はR_{ n }=M_{ n }×P_{ n }$と表される。n回目の試行において、黒玉が取り出された場合にのみ、試行後の赤玉の個数が施行前と比べて$\fbox{セ}$個増えるため、n+ 1 回目の試行開始時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数は$R_{ n+1 }=R_{ n }+(1-P_{ n })×\fbox{セ}$となる。したがって、
$P_{ n+1 }=\dfrac{n+\fbox{ソ}}{n+\fbox{タ}}×P_{ n }+\dfrac{1}{n+\fbox{チ}}$
が成り立つ。このことから、$(n+3)×(n+\fbox{ツ})×(P_{n}-\dfrac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}})$がnに依らず一定となる事が分かり、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } P_n =\dfrac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}$と求められる。
2023杏林大学医過去問
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複数の玉が人った袋から玉を 1 個取り出して袋に戻す事象を考える。どの玉も同じ確率で取り出されるものとし、nを自然数として、以下の間いに答えよ。
(1) 袋の中に赤玉 1 個と黒玉 2 個が入っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉をひとつ加え、合計 2 個の玉を袋に戻すという試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}, p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$
( 2 )袋の中に赤玉 3 個と黒玉 2 個が人っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、赤玉と黒玉を 1 個ずつ、合計 2 個の球を袋に戻す試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、次式が成り立つ。
$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{オカ}}{\fbox{キク}}, p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ケコ}}{\fbox{サシ}}$
n回目の試行開始時点で袋に人っている玉の個数$M_{ n } はM_{ n }=n+\fbox{ス}$であり、この時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数$R_{ n }はR_{ n }=M_{ n }×P_{ n }$と表される。n回目の試行において、黒玉が取り出された場合にのみ、試行後の赤玉の個数が施行前と比べて$\fbox{セ}$個増えるため、n+ 1 回目の試行開始時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数は$R_{ n+1 }=R_{ n }+(1-P_{ n })×\fbox{セ}$となる。したがって、
$P_{ n+1 }=\dfrac{n+\fbox{ソ}}{n+\fbox{タ}}×P_{ n }+\dfrac{1}{n+\fbox{チ}}$
が成り立つ。このことから、$(n+3)×(n+\fbox{ツ})×(P_{n}-\dfrac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}})$がnに依らず一定となる事が分かり、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } P_n =\dfrac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}$と求められる。
2023杏林大学医過去問
【共テ数学IIB】知らなきゃ損な裏技集__これで解答時間をキュッと短縮します（指数・対数、微分積分、数列、ベクトル）
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#指数関数と対数関数#微分法と積分法#指数関数#対数関数#数列#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)#数B#数C
指導講師：
カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】
問題文全文(内容文)：
【共テ数学IIB】解答時間短縮、裏技集説明動画です。（指数・対数、微分積分、数列、ベクトル）
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福田の数学〜回転の概念を使って考えるよ〜北里大学2023年医学部第3問〜ベクトルの漸化式と点列
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#数列#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)#数B#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
座標平面上に 3 点 $A_{0} ( 0 , 0 ), B_{0} ( 2 , 0 ), C_{0}( 1 ,\sqrt{ 3 })$があり、線分$A_{0}B_{0},B_{0}C_{0},C_{0}A_{0}$をそれぞれ 2 : 1 に内分する点 $A_{1} ,B_{1} ,C_{1}$をとる。以下同様にして、正の整数nに対し、線分$A_{n}B_{n},B_{n}C_{n},C_{n}A_{n}$をそれぞれ 2 : 1 に内分する点$A_{n+1},B_{n+1},C_{n+1}$をとる。また、$\overrightarrow{ P_{n} }=\overrightarrow{ B_{n-1}B_{n} }(n=1,2,3,・・・)$とおく。
(1)$\overrightarrow{ p_{1} },\overrightarrow{ p_{2} }$をそれぞれ成分表示せよ。
(2)$\overrightarrow{ p_{n+2} }を\overrightarrow{ p_{n} }$を用いて表せ。
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \overrightarrow{ p_{2k-1}}$を$\overrightarrow{ p-1}$を用いて表せ。
(4)点B_{2n}の座標を求めよ。
2023北里大学医過去問
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座標平面上に 3 点 $A_{0} ( 0 , 0 ), B_{0} ( 2 , 0 ), C_{0}( 1 ,\sqrt{ 3 })$があり、線分$A_{0}B_{0},B_{0}C_{0},C_{0}A_{0}$をそれぞれ 2 : 1 に内分する点 $A_{1} ,B_{1} ,C_{1}$をとる。以下同様にして、正の整数nに対し、線分$A_{n}B_{n},B_{n}C_{n},C_{n}A_{n}$をそれぞれ 2 : 1 に内分する点$A_{n+1},B_{n+1},C_{n+1}$をとる。また、$\overrightarrow{ P_{n} }=\overrightarrow{ B_{n-1}B_{n} }(n=1,2,3,・・・)$とおく。
(1)$\overrightarrow{ p_{1} },\overrightarrow{ p_{2} }$をそれぞれ成分表示せよ。
(2)$\overrightarrow{ p_{n+2} }を\overrightarrow{ p_{n} }$を用いて表せ。
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \overrightarrow{ p_{2k-1}}$を$\overrightarrow{ p-1}$を用いて表せ。
(4)点B_{2n}の座標を求めよ。
2023北里大学医過去問
福田の数学〜整数部分の評価が難しい問題〜北里大学2023年医学部第1問(3)〜漸化式と整数部分の評価
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$a=3+\sqrt{10},b=3-\sqrt{10}$とし、正の整数nに対して$A_n=a^n+b^n$とおく。
このとき、$A_{2} ,A_{3}$の値はそれぞれ$A_{2}=\fbox{ク},A_{3}=\fbox{ケ}$であり、$A_{n+2}$を$A_{n+1},A_{n}$を用いて表すと$A_{n+2}=\boxed{コ}$である。
また、$a^{111}$の整数部分を$k$とするとき、kを10で割ると$\boxed{サ}$余る。
2023北里大学医過去問
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$a=3+\sqrt{10},b=3-\sqrt{10}$とし、正の整数nに対して$A_n=a^n+b^n$とおく。
このとき、$A_{2} ,A_{3}$の値はそれぞれ$A_{2}=\fbox{ク},A_{3}=\fbox{ケ}$であり、$A_{n+2}$を$A_{n+1},A_{n}$を用いて表すと$A_{n+2}=\boxed{コ}$である。
また、$a^{111}$の整数部分を$k$とするとき、kを10で割ると$\boxed{サ}$余る。
2023北里大学医過去問
例のアレ
単元：
#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \frac{1}{1×2×3×4}＋\displaystyle \frac{1}{2×3×4×5}+\displaystyle \frac{1}{3×4×5×6}$$＋…+\displaystyle \frac{1}{6×7×8×9}＋\displaystyle \frac{1}{7×8×9×10}$
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$\displaystyle \frac{1}{1×2×3×4}＋\displaystyle \frac{1}{2×3×4×5}+\displaystyle \frac{1}{3×4×5×6}$$＋…+\displaystyle \frac{1}{6×7×8×9}＋\displaystyle \frac{1}{7×8×9×10}$
【保存版】計算の裏技
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数B
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
1~50までの足し算を一気にする裏技に関して解説していきます。
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1~50までの足し算を一気にする裏技に関して解説していきます。
さくらんぼだけでスイカを作ると何円？
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数B
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
スイカゲームでさくらんぼだけでスイカを作るのにおかかる値段を計算していきます。
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スイカゲームでさくらんぼだけでスイカを作るのにおかかる値段を計算していきます。