数B
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【漸化式】分数型漸化式を本質から攻略する【医学部数学】
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
初項 $a_1 = 4$ で定義され，漸化式
$ a_{n+1} = \frac{4a_n + 3}{a_n + 2} $
を満たす数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ．
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初項 $a_1 = 4$ で定義され，漸化式
$ a_{n+1} = \frac{4a_n + 3}{a_n + 2} $
を満たす数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ．
東海大学（医学部）の数学入試問題から、漸化式の基本・標準問題を解説します！
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$a_1 = 0$
$a_{n+1} = 2a_n + n^2 \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$
によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。
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$a_1 = 0$
$a_{n+1} = 2a_n + n^2 \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$
によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。
【近畿大医学部2025】問題自体は超簡単だけど(iii)の解法から思わぬ法則が⁉️
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
等差数列 $-17, -14, -11, -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13$ について，
(1)この数列のすべての項の和を求めよ。
(2)この数列のすべての項の平方の和を求めよ。
(3)この数列から異なる2つの項を取り出して作ったすべての積の和を求めよ。
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等差数列 $-17, -14, -11, -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13$ について，
(1)この数列のすべての項の和を求めよ。
(2)この数列のすべての項の平方の和を求めよ。
(3)この数列から異なる2つの項を取り出して作ったすべての積の和を求めよ。
【久留米大学医学部2025】見通しを立てて計算ミスを防ごう【確率漸化式】
単元：
#数列#漸化式#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数B#数Ⅲ
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
正四面体 $ABCD$ の頂点上に 2 つの動点 $M, N$ がある。
時刻 $t = 0$ において、$M, N$ はともに頂点 $A$ に位置している。
$M, N$ はそれぞれ 1 秒ごとに、等確率で隣り合う他の 3 頂点のいずれかへ独立に移動する。
$n$ 秒後に 2 つの動点 $M, N$ が同じ頂点に位置する確率を $P_n$ とするとき、以下に答えよ。
(1) $P_1$ および $P_2$ を求めよ。
(2) $P_{n+1}$ を $P_n$ を用いて表せ。
(3) $P_n$ を $n$ の式で表せ。
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正四面体 $ABCD$ の頂点上に 2 つの動点 $M, N$ がある。
時刻 $t = 0$ において、$M, N$ はともに頂点 $A$ に位置している。
$M, N$ はそれぞれ 1 秒ごとに、等確率で隣り合う他の 3 頂点のいずれかへ独立に移動する。
$n$ 秒後に 2 つの動点 $M, N$ が同じ頂点に位置する確率を $P_n$ とするとき、以下に答えよ。
(1) $P_1$ および $P_2$ を求めよ。
(2) $P_{n+1}$ を $P_n$ を用いて表せ。
(3) $P_n$ を $n$ の式で表せ。
【対称式と漸化式】α^2026 + β^2026 + γ^2026 は素数か？解けるように作られた良問を徹底解説！
単元：
#複素数平面#数列#漸化式#複素数平面#数学(高校生)#数B#数C
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$\alpha, \beta, \gamma \text{ について、}$
$\alpha + \beta + \gamma = 1, \quad$
$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 3, \quad$
$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = 10$
$\text{ とするとき、} \alpha^{2026} + \beta^{2026} + \gamma^{2026} \text{ は素数か。}$
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$\alpha, \beta, \gamma \text{ について、}$
$\alpha + \beta + \gamma = 1, \quad$
$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 3, \quad$
$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = 10$
$\text{ とするとき、} \alpha^{2026} + \beta^{2026} + \gamma^{2026} \text{ は素数か。}$
初見だと驚く！(46 + √2026)^2026 の1の位の数を求める極意【高校数学・整数問題・漸化式】
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$\left( 46 + \sqrt{2026} \right)^{2026}$ の1の位の数を求めよ。
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$\left( 46 + \sqrt{2026} \right)^{2026}$ の1の位の数を求めよ。
【数B】【数列】1から8までの数字のさいころを繰り返し投げ、n回目までに出た数字の合計をX (n) とする。X (n) を3で割ったあまりが0,1,2をそれぞれ数列で置くとき、それぞれの一般項を求めよ
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
各面に1から8までの数字が1つずつ書かれた正八面体のさいころを繰り返し投げ、
n回目までに出た数字の合計をX (n) とする。
X (n) を3で割り切れる確率を $a_n$、X (n) を3で割った時1余る確率を$b_n$、
X(n)を3で割った時2余る確率を$c_n$とする。
ただし1から8までの数字の出る確率はどれも同じとする。
1) $a_1$,$b_1$, $c_1$を求めよ。
2)$a_{n+1}$、$b_{n+1}$、$c_{n+1}$を$a_n$、$b_n$、$c_n$を用いて表せ。
3)$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ。
4) $a_n$、$b_n$、$c_n$を求めよ。
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各面に1から8までの数字が1つずつ書かれた正八面体のさいころを繰り返し投げ、
n回目までに出た数字の合計をX (n) とする。
X (n) を3で割り切れる確率を $a_n$、X (n) を3で割った時1余る確率を$b_n$、
X(n)を3で割った時2余る確率を$c_n$とする。
ただし1から8までの数字の出る確率はどれも同じとする。
1) $a_1$,$b_1$, $c_1$を求めよ。
2)$a_{n+1}$、$b_{n+1}$、$c_{n+1}$を$a_n$、$b_n$、$c_n$を用いて表せ。
3)$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ。
4) $a_n$、$b_n$、$c_n$を求めよ。
【数B】【数列】数列{an}の一般項を求めよ。(1)a1=1, a2=2, an+2+3an+1-4an=0(2)a1=0, a2=1, an+2+5an+1+6an=0他1問
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の条件によって定められる数列$a_n$の一般項を求めよ。
$a_1 = 1$,$a_2 = 2$
$a_{n+2} + 3a_{n+1} - 4a_n = 0$
$a_1 = 0$,$a_2 = 1$
$a_{n+2} + 5a_{n+1} + 6a_n = 0$
$a_1 = 1$, $a_2 = 4$
$a_{n+2} - 6a_{n+1} + 9a_n = 0$
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次の条件によって定められる数列$a_n$の一般項を求めよ。
$a_1 = 1$,$a_2 = 2$
$a_{n+2} + 3a_{n+1} - 4a_n = 0$
$a_1 = 0$,$a_2 = 1$
$a_{n+2} + 5a_{n+1} + 6a_n = 0$
$a_1 = 1$, $a_2 = 4$
$a_{n+2} - 6a_{n+1} + 9a_n = 0$
【数B】【数列】条件a1=4, an+1=4an+8/an+6によって定められる数列{an}に対して、bn=an-2/an+4とおくと、数列{bn}は等比数列である。数列{an}の一般項を求めよ。
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$a_{1}=4$
$a_{n+1} = \dfrac{4a_n + 8}{a_n + 6}$
によって定められる数列$a_n$に対して、
$b_n = \dfrac{a_n - 2}{a_n + 4}$
とおくと、数列 $b_n$は等比数列である。
数列$a_n$の一般項を求めよ。
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$a_{1}=4$
$a_{n+1} = \dfrac{4a_n + 8}{a_n + 6}$
によって定められる数列$a_n$に対して、
$b_n = \dfrac{a_n - 2}{a_n + 4}$
とおくと、数列 $b_n$は等比数列である。
数列$a_n$の一般項を求めよ。
【高校数学】隣接三項間の漸化式の特性方程式の意味～分かりやすく丁寧に～ 3-19.5【数学Ｂ】
【数B】【数列】nは自然数とする。連立不等式0≦x≦n, y≧0, y≦n²-x²の表す領域に含まれる格子点の個数を求めよ。
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
nは自然数とする。連立不等式0≦x≦n, y≧0, y≦n²-x²の表す領域に含まれる格子点の個数を求めよ。
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nは自然数とする。連立不等式0≦x≦n, y≧0, y≦n²-x²の表す領域に含まれる格子点の個数を求めよ。
【数B】【数列】nは自然数とする。座標平面上の3点(0,0),(3n,0)(0,n)を頂点とする三角形の周および内部にある格子点の個数を求めよ。
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
nは自然数とする。座標平面上の3点(0,0),(3n,0)(0,n)を頂点とする三角形の周および内部にある格子点の個数を求めよ。
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nは自然数とする。座標平面上の3点(0,0),(3n,0)(0,n)を頂点とする三角形の周および内部にある格子点の個数を求めよ。
【数B】【数列】(x+1)(x+2)(x+3)……(x+n)の展開式において、次の係数を求めよ。(1)xのn-1乗の係数(2)xのn-2乗の係数(n≧2)
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
(x+1)(x+2)(x+3)……(x+n)の展開式において、次の係数を求めよ。
(1)xのn-1乗の係数
(2)xのn-2乗の係数(n≧2)
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(x+1)(x+2)(x+3)……(x+n)の展開式において、次の係数を求めよ。
(1)xのn-1乗の係数
(2)xのn-2乗の係数(n≧2)
【高校数学】隣接3項間の漸化式～解き方を覚えよう～ 3-19【数学Ｂ】
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
問題1 数列$\{an\}$の一般項を求めよ。
$a_{1} = 0, a_{2} = 1 ,a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n=0$
問題2 次のように定義される$\{an\}$の一般項$a_n$を求めよ。
$a_1=1,a_2=2,a_{n+2}-2a_{n+1}-15a_n=0$
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問題1 数列$\{an\}$の一般項を求めよ。
$a_{1} = 0, a_{2} = 1 ,a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n=0$
問題2 次のように定義される$\{an\}$の一般項$a_n$を求めよ。
$a_1=1,a_2=2,a_{n+2}-2a_{n+1}-15a_n=0$
【高校数学】漸化式で特性方程式を使う理由 3-18.5【数学Ｂ】
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
【高校数学】漸化式で特性方程式を使う理由を解説していきます。
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【高校数学】漸化式で特性方程式を使う理由を解説していきます。
【高校数学】特性方程式の漸化式～分かりやすく丁寧に～3-18【数学Ｂ】
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
特性方程式の漸化式
分かりやすく丁寧に解説していきます。
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特性方程式の漸化式
分かりやすく丁寧に解説していきます。
【高校数学】漸化式の問題演習～基本問題～ 3-17.5【数学Ｂ】
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
問1
次の条件によって定められる数列$\{an\}$の一般項を求めよ。
(1)$a_{1} = 0,a_{n+1}=a_n +2n+1$
(2)$a_{1}=1,a_{n+1} =a_n +3$
(3)$a_{1} = 2,a_{n+1}=-2a_n$
(4)$a_1=1, a_{n + 1}-a_n+2\cdot 3^{n-1}$
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問1
次の条件によって定められる数列$\{an\}$の一般項を求めよ。
(1)$a_{1} = 0,a_{n+1}=a_n +2n+1$
(2)$a_{1}=1,a_{n+1} =a_n +3$
(3)$a_{1} = 2,a_{n+1}=-2a_n$
(4)$a_1=1, a_{n + 1}-a_n+2\cdot 3^{n-1}$
【高校数学】階差数列の漸化式～分かりやすく～ 3-17【数学Ｂ】
【数B】【数列】西暦2022年1月1日に100万円を年利率7で借りた人がいる。2022年12月31日を1回とし毎年年末に等額ずつ支払い、2024年年末に完済することにする。毎年年末に支払う金額を求めよ
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
西暦2022年1月1日に100万円を年利率7で借りた人がいる。この返済は、2022年12月31日を第1回とし、その後、毎年年末に等額ずつ支払い、2024年年末に完済することにする。毎年年末に支払う金額を求めよ。ただし、1.07³＝1.255として計算し、1円未満は切り上げよ。
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西暦2022年1月1日に100万円を年利率7で借りた人がいる。この返済は、2022年12月31日を第1回とし、その後、毎年年末に等額ずつ支払い、2024年年末に完済することにする。毎年年末に支払う金額を求めよ。ただし、1.07³＝1.255として計算し、1円未満は切り上げよ。
【高校数学】等比数列の漸化式～分かりやすく丁寧に～ 3-16【数学Ｂ】
【数B】【数列】0＜a＜bとする。数列a,u,v,w,bが等差であり、数列a,x,y,z,bが等比（公比は実数）である。(1) uwとxzの大小を比較せよ。(2) u+wと、x+zの大小を比較せよ。
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
0＜a＜bとする。数列a,u,v,w,bが等差数列であり、数列a,x,y,z,bが等比数列（公比は実数）である。
(1) uwとxzの大小を比較せよ。
(2) u+wと、x+zの大小を比較せよ。
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0＜a＜bとする。数列a,u,v,w,bが等差数列であり、数列a,x,y,z,bが等比数列（公比は実数）である。
(1) uwとxzの大小を比較せよ。
(2) u+wと、x+zの大小を比較せよ。
【高校数学】等差数列の漸化式～覚えず理解しよう～ 3-15【数学Ｂ】
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
次の条件によって定められる数列$a_{ n }$の一般項を求めよ。
$a_{ 1 }=1, a_{ n+1}=a_{ n }+4$
$a_{ 1 }=1, a_{ n+1}=a_{ n }+3$
$a_{ 1 }=3, a_{ n+1}=a_{ n }-5$
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次の条件によって定められる数列$a_{ n }$の一般項を求めよ。
$a_{ 1 }=1, a_{ n+1}=a_{ n }+4$
$a_{ 1 }=1, a_{ n+1}=a_{ n }+3$
$a_{ 1 }=3, a_{ n+1}=a_{ n }-5$
福田のおもしろ数学579〜自然対数の底が階乗の逆数の和で表せる証明
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$a_n=\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{(1-x)^{n-1}}{(n-1)!}e^x dx$を利用して
$e=1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\cdots$
を証明して下さい。
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$a_n=\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{(1-x)^{n-1}}{(n-1)!}e^x dx$を利用して
$e=1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\cdots$
を証明して下さい。
【高校数学】漸化式～基本を丁寧に～ 3-14【数学Ｂ】
単元：
#数列#数学(高校生)#数B
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
漸化式：数列において、その前の項から次の項をただ１通りに定める規則を示す等式
数列{an}が次の2つの条件を満たしているとする。第3項を求めよ。
a1＝1, an＋1＝an＋n
次のように定義される数列{an}の初項から第5項までを書け。
①
②
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漸化式：数列において、その前の項から次の項をただ１通りに定める規則を示す等式
数列{an}が次の2つの条件を満たしているとする。第3項を求めよ。
a1＝1, an＋1＝an＋n
次のように定義される数列{an}の初項から第5項までを書け。
①
②
福田のおもしろ数学571〜漸化式で定まった数列の項に関する等式の証明
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$a_0=1,a_1=3,a_{n+1}=\dfrac{{a_n}^2+1}{2} \ (n\geqq 1)$のとき
$\dfrac{1}{a_0+1}+\dfrac{1}{a_1+1}+\cdots +\dfrac{1}{a_n+1}+\dfrac{1}{a_{n+1}-1}=1$
を示せ。
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$a_0=1,a_1=3,a_{n+1}=\dfrac{{a_n}^2+1}{2} \ (n\geqq 1)$のとき
$\dfrac{1}{a_0+1}+\dfrac{1}{a_1+1}+\cdots +\dfrac{1}{a_n+1}+\dfrac{1}{a_{n+1}-1}=1$
を示せ。
福田のおもしろ数学570〜無理式のシグマ計算
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \sum_{n=1}^{49} \dfrac{1}{\sqrt{n+\sqrt{n^2-1}}}$を求めて下さい。
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$\displaystyle \sum_{n=1}^{49} \dfrac{1}{\sqrt{n+\sqrt{n^2-1}}}$を求めて下さい。
福田の数学〜早稲田大学2025商学部第1問(2)〜3項間漸化式の解法
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(2)数列$\{a_n\}$が次の条件を満たしている。
$a_1=a_{2025}＝0,a_{n+1}-2a_n+a_{n-1}=-1 \ (n=2,3,4,\cdots)$
このとき、一般項$a_n$は$a_n=\boxed{イ}$である。
$2025$年早稲田大学商学部過去問題
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$\boxed{1}$
(2)数列$\{a_n\}$が次の条件を満たしている。
$a_1=a_{2025}＝0,a_{n+1}-2a_n+a_{n-1}=-1 \ (n=2,3,4,\cdots)$
このとき、一般項$a_n$は$a_n=\boxed{イ}$である。
$2025$年早稲田大学商学部過去問題
福田のおもしろ数学562〜連立漸化式で定まる数列に関する証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
数列$\{a_k\},\{b_k\}$が$a_0=b_0=0$,
$a_{k+1}=b_k,b_{k+1}=\dfrac{a_k b_k+a_k+1}{b_k+1}$
で定義されている。
$a_{2024}+b_{2024}\geqq 88$
であることを証明して下さい。
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数列$\{a_k\},\{b_k\}$が$a_0=b_0=0$,
$a_{k+1}=b_k,b_{k+1}=\dfrac{a_k b_k+a_k+1}{b_k+1}$
で定義されている。
$a_{2024}+b_{2024}\geqq 88$
であることを証明して下さい。
福田の数学〜早稲田大学2025教育学部第1問(1)〜シグマ計算
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(1)$k$を自然数とする。次の数
$-1^2+2^2-3^2+4^2-5^2+6^2- \cdots -(2k-1)^2+(2k)^2$
を$k$を用いて表せ。
$2025$年早稲田大学教育学部過去問題
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$\boxed{1}$
(1)$k$を自然数とする。次の数
$-1^2+2^2-3^2+4^2-5^2+6^2- \cdots -(2k-1)^2+(2k)^2$
を$k$を用いて表せ。
$2025$年早稲田大学教育学部過去問題
福田の数学〜早稲田大学2025社会科学部第2問〜階差数列
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
数列$\{a_n\}$の階差数列を$\{b_n\}$、すなわち
$b_n=a_{n+1}-a_n \quad (n=1,2,3,\cdots)$
とする。次の問いに答えよ。
(1)$a_n=-\dfrac{1}{n}$のとき、
$b_n$を$n$の式で表す。
(2)$b_n=\dfrac{1}{n(n+1)}$のとき、
$a_n$を$n$の式で表せ。ただし、$a_1=1$とする。
(3)数列$\{b_n\}$が以下を満たすとき、
$a_n$を$n$の式で表せ。ただし、$a_1=1$とする。
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
b_1=1 \\
b_n=n(n+1) \quad (n\geqq 2)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
$2025$念早稲田大学社会科学部過去問題
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$\boxed{2}$
数列$\{a_n\}$の階差数列を$\{b_n\}$、すなわち
$b_n=a_{n+1}-a_n \quad (n=1,2,3,\cdots)$
とする。次の問いに答えよ。
(1)$a_n=-\dfrac{1}{n}$のとき、
$b_n$を$n$の式で表す。
(2)$b_n=\dfrac{1}{n(n+1)}$のとき、
$a_n$を$n$の式で表せ。ただし、$a_1=1$とする。
(3)数列$\{b_n\}$が以下を満たすとき、
$a_n$を$n$の式で表せ。ただし、$a_1=1$とする。
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
b_1=1 \\
b_n=n(n+1) \quad (n\geqq 2)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
$2025$念早稲田大学社会科学部過去問題