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4⃣$\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} sin(\pi cosx) sin2xdx$

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【三重大学 2009】
$\displaystyle \int_\frac{π}{3}^{\frac{π}{2}}\frac{1}{1+sinθ-cosθ}dθ$

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$\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sqrt[ 3 ]{ \cos\displaystyle \frac{x}{6}+2\sin\displaystyle \frac{x}{3}-\cos\displaystyle \frac{x}{2} }\ dx$

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$t=\tan\displaystyle \frac{x}{2}$とおく。
このとき、次の各問いに答えよ。

（1）
$\displaystyle \frac{dt}{dx}$を$t$を用いて表せ。

（2）
$\cos\ x$を$t$を用いて表せ。

（3）
曲線$y=\displaystyle \frac{1}{\cos\ x}$と2直線$x=0,x=\displaystyle \frac{\pi}{3}$および$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ。

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$\Large\boxed{3}$　$a$,$b$を正の実数、$p$を$a$より小さい正の実数とし、すべての実数$x$について
$\displaystyle\int_p^{f(x)}\frac{a}{u(a-u)}du$=$bx$,　0＜$f(x)$＜$a$
かつ$f(0)$=$p$を満たす関数$f(x)$を考える。このとき以下の問いに答えよ。
(1)$f(x)$を$a$,$b$,$p$を用いて表せ。
(2)$f(-1)$=$\frac{1}{2}$,　$f(1)$=1,　$f(3)$=$\frac{3}{2}$のとき、$a$,$b$,$p$を求めよ。
(3)(2)のとき、$\displaystyle\lim_{x \to -\infty}f(x)$,　$\displaystyle\lim_{x \to \infty}f(x)$　を求めよ。