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ルートの近似値出し方

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2次関数$y=x^2+mx+2$が次の条件を満たすように、定数$m$の値の範囲を定めよ。
(1)この2次関数のグラフと$x$軸の正の部分が異なる2点で交わる。
(2)この2次関数のグラフと$x$軸の$x\lt -1$の部分が異なる2点で交わる。

放物線$y=x^2+2(m-1)x+5-m^2$が$x$軸の正の部分と負の部分のそれぞれと交わるように、定数$m$の値の範囲を定めよ。

2次方程式$x^2+2mx+2m+3=0$が次のような実数解をもつように、定数$m$の値の範囲を定めよ。
(1)異なる2つの負の解
(2)-4より大きい異なる2つの解

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因数分解しなさい。
$5x^{ 2 }-11x+2$

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次の計算をせよ。

(1) $(1+\sqrt{ 2 }-\sqrt{ 3 })^2$

(2)$(3-\sqrt{ 2 }-\sqrt{ 11 })(3-\sqrt{ 2 }+\sqrt{ 11 })$

次の計算をせよ。

(1) $\displaystyle \frac{3\sqrt{ 5 }-5\sqrt{ 3 }}{\sqrt{ 5 }+\sqrt{ 3 }}+\displaystyle \frac{3\sqrt{ 5 }+4\sqrt{ 3 }}{3\sqrt{ 5 }-4\sqrt{ 3 }}$

(2) $\displaystyle \frac{\sqrt{ 2 }-1}{\sqrt{ 2 }+1}+\displaystyle \frac{\sqrt{ 3 }-\sqrt{ 2 }}{\sqrt{ 3 }+\sqrt{ 2 }}+\displaystyle \frac{\sqrt{ 3 }+\sqrt{ 2 }}{2-\sqrt{ 3 }}$

次の計算をせよ。

(1) $\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{ 2 }-\sqrt{ 3 }}$

(2) $\displaystyle \frac{\sqrt{ 5 }+\sqrt{ 3 }+\sqrt{ 2 }}{\sqrt{ 5 }+\sqrt{ 3 }-\sqrt{ 2 }}$

(3) $\displaystyle \frac{\sqrt{ 2 }+\sqrt{ 5 }+\sqrt{ 7 }}{\sqrt{ 2 }+\sqrt{ 5 }-\sqrt{ 7 }}+\displaystyle \frac{\sqrt{ 2 }-\sqrt{ 5 }+\sqrt{ 7 }}{\sqrt{ 2 }-\sqrt{ 5 }-\sqrt{ 7 }}$

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問題1
次の条件を満たす放物線の方程式を求めよ。
$(1)$ 3点 $(-4,0), \, (-2,0), \, (0,-4)$ を通る。
$(2)$ 点 $(2,0)$ で $x$ 軸に接し、点 $(-2,12)$ を通る。

問題2
$a, \, b, \, c$ の値を入力すると、関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフが表示されるコンピュータソフトがある。ある $a, \, b, \, c$ の値を入力すると、グラフは図のように表示された (図は動画参照)。
$(1)$ $a, \, b, \, c, \, b^2-4ac, \, a+b+c$ の符号をいえ。
$(2)$ この $a, \, b$ の値を変えずに、$c$ の値だけを変化させたとき、変わらないものを次の中からすべて選べ。また、変わらない理由を説明せよ。
① グラフと $x$ 軸の共有点の個数
② グラフの頂点の $x$ 座標の符号
③ グラフの頂点の $y$ 座標の符号