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$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin\theta\ \cos2\theta\ d\theta$

出典：2020年筑波大学

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数学が共通テストのみの人の勉強法紹介動画です

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$\displaystyle \int_0^1\frac{1}{e^x+2e^{-x}+3}dx$
これを解け.

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【名古屋大学 2024】
袋の中にいくつかの赤玉と白玉が入っている。すべての玉に対する赤玉の割合を$p(0≦p≦1)$とする。袋から無作為に玉を一つ取り出して袋に戻す試行を行う。試行を$n$回行うとき、赤玉を$k$回以上取り出す確率を$f(k)$をおく。
(1) $n≧2$に対して、$f(1), f(2)$を求めよ。
(2) $k=1,2, ･･････,n$に対して、等式
$\displaystyle f(k)=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\int_0^px^{k-1}(1-x)^{n-k}dx$
を示せ。
(3) 自然数$k$に対して、定積分
$\displaystyle I=\int_0^{\frac{1}{2}}x^k(1-x)^k dx$
を求めよ。

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$\displaystyle \int (1-\sin^3x)\cos x$ $dx$