問題文全文(内容文)：
共通テスト(プレテスト)の解説動画です

問題文全文(内容文)：
[1]aを実数とし、$f(x)=x^3-6ax+16$
(1)$y=f(x)$のグラフの概形は
$a=0$のとき、$\boxed{\ \ ア\ \ }$
$a \gt 0$のとき、$\boxed{\ \ イ\ \ }$
である.

$\boxed{\ \ ア\ \ },\boxed{\ \ イ\ \ }$については、最も適当なものを、次の⓪～⑤のうちから
1つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
(※選択肢は動画参照)

(2)$a \gt 0$とし、pを実数とする。座標平面上の曲線$y=f(x)$と直線$y=p$
が3個の共有点をもつようなpの値の範囲は$\boxed{\ \ ウ\ \ } \lt p \lt \boxed{\ \ エ\ \ }$
である。
$p=\boxed{\ \ ウ\ \ }$のとき、曲線$y=f(x)$と直線$y=p$は2個の共有点をもつ。
それらのx座標を$q,r(q \lt r)$とする。曲線$y=f(x)$と直線$y=p$
が点(r,p)で接することに注意すると
$q=\boxed{\ \ オカ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ キ\ \ }}\ a^{\frac{1}{2}},　r=\sqrt{\boxed{\ \ ク\ \ }}\ a^{\frac{1}{2}}$
と表せる。

$\boxed{\ \ ウ\ \ },　\boxed{\ \ エ\ \ }$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$2\sqrt2a^{\frac{3}{2}}+16$　①$-2\sqrt2a^{\frac{3}{2}}+16$
②$4\sqrt2a^{\frac{3}{2}}+16$　③$-4\sqrt2a^{\frac{3}{2}}+16$
④$8\sqrt2a^{\frac{3}{2}}+16$　⑤$-8\sqrt2a^{\frac{3}{2}}+16$

(3)方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数をnとする。次の⓪～⑤のうち、
正しいものは$\boxed{\ \ ケ\ \ }$と$\boxed{\ \ コ\ \ }$である。

$\boxed{\ \ ケ\ \ },　\boxed{\ \ コ\ \ }$の解答群(解答の順序は問わない。)

$⓪n=1ならばa \lt 0　①a \lt 0ならばn=1$
$②n=2ならばa \lt 0　③a \lt 0ならばn=2$
$④n=2ならばa \gt 0　⑤a \gt 0ならばn=3$

[2]$b \gt 0$とし、$g(x)=x^3-3bx+3b^2,　h(x)=x^3-x^2+b^2$とおく。
座標平面上の曲線$y=g(x)$を$C_1$,　曲線$y=h(x)$を$C_2$とする。

$C_1$と$C_2$は2点で交わる。これらの交点のx座標をそれぞれ$\alpha,\beta$
$(\alpha \lt \beta)$とすると、$\alpha=\boxed{\ \ サ\ \ },　\beta=\boxed{\ \ シス\ \ }$である。
$\alpha \leqq x \leqq \beta$の範囲で$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積をSとする。また、
$t \gt \beta$とし、$\beta \leqq x \leqq t$の範囲で$C_1$と$C_2$および直線$x=t$で囲まれた図形の
面積をTとする。
このとき
$S=\int_{\alpha}^{\beta}\boxed{\ \ セ\ \ }dx$
$T=\int_{\beta}^{t}\boxed{\ \ ソ\ \ }dx$
$S-T=\int_{\alpha}^{t}\boxed{\ \ タ\ \ }dx$
であるので
$S-T=\frac{\boxed{\ \ チツ\ \ }}{\boxed{\ \ テ\ \ }}(2t^3-\ \boxed{\ \ ト\ \ }bt^2+\boxed{\ \ ナニ\ \ }b^2t-\ \boxed{\ \ ヌ\ \ }b^3)$
が得られる。
したがって、$S=T$となるのは$t=\frac{\boxed{\ \ ネ\ \ }}{\boxed{\ \ ノ\ \ }}\ b$のときである。

$\boxed{\ \ セ\ \ }～\boxed{\ \ タ\ \ }$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
$⓪\left\{g(x)+h(x)\right\}　①\left\{g(x)-h(x)\right\}$
$②\left\{h(x)-g(x)\right\}　③\left\{2g(x)+2h(x)\right\}$
$④\left\{2g(x)-2h(x)\right\}　⑤\left\{2h(x)-2g(x)\right\}$
$⑥2g(x)　⑦2h(x)$

2022共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
${\large第4問}$
初項3、交差$p$の等差数列を$\left\{a_n\right\}$とし、初項3、公比$r$の等比数列を$\left\{b_n\right\}$と
する。ただし、$p \ne 0$かつ$r \ne 0$とする。さらに、これらの数列が次を満たすとする。
$a_nb_{n+1}-2a_{n+1}b_n+3b_{n+1}=0$　$(n=1,2,3,\ldots)\cdots$①

(1)$p$と$r$の値を求めよう。自然数$n$について、$a_n,a_{n+1},b_n$はそれぞれ
$a_n=\boxed{\ \ ア\ \ }+(n-1)p$　$\cdots$②
$a_{n+1}=\boxed{\ \ ア\ \ }+np$　$\cdots$③
$b_n=\boxed{\ \ イ\ \ }r^{n-1}$
と表される。$r \ne 0$により、すべての自然数$n$について、$b_n \ne 0$となる。
$\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n}=r$であることから、①の両辺を$b_n$で割ることにより
$\boxed{\ \ ウ\ \ }a_{n+1}=r\left(a_n+\boxed{\ \ エ\ \ }\right)$　$\cdots$④
が成り立つことが分かる。④に②と③を代入すると
$\left(r-\boxed{\ \ オ\ \ }\right)pn=r\left(p-\boxed{\ \ カ\ \ }\right)$$+\boxed{\ \ キ\ \ }$　$\cdots$⑤
となる。⑤が全ての$n$で成り立つことおよび$p \ne 0$により、$r=\boxed{\ \ オ\ \ }$を得る。
さらに、このことから、$p=\boxed{\ \ ク\ \ }$を得る。
以上から、すべての自然数$n$について、$a_n$と$b_n$が正であることもわかる。

(2)$p=\boxed{\ \ ク\ \ },$　$r=\boxed{\ \ オ\ \ }$であるから、$\left\{a_n\right\},$　$\left\{b_n\right\}$の初項から第$n$項
までの和は、それぞれ次の式で与えられる。
$\sum_{k=1}^na_k=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ケ\ \ }}{\boxed{\ \ コ\ \ }}n\left(n+\boxed{\ \ サ\ \ }\right)$
$\sum_{k=1}^nb_k$$=\boxed{\ \ シ\ \ }\left(\boxed{\ \ オ\ \ }^n-\boxed{\ \ ス\ \ }\right)$

(3)数列$\left\{a_n\right\}$に対して、初項3の数列$\left\{c_n\right\}$が次を満たすとする。
$a_nc_{n+1}-4a_{n+1}c_n+3c_{n+1}=0$　$(n=1,2,3,\ldots)\cdots$⑥
$a_n$が正であることから、⑥を変形して、$c_{n+1}=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ セ\ \ }a_{n+1}}{a_n+\boxed{\ \ ソ\ \ }}c_n$を得る。
さらに、$p=\boxed{\ \ ク\ \ }$であることから、数列$\left\{c_n\right\}$は$\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}$ことがわかる。

$\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}$の解答群
⓪すべての項が同じ値をとる数列である
①公差が0でない等差数列である
②公比が1より大きい等比数列である
③公比が1より小さい等比数列である
④等差数列でも等比数列でもない

(4)$q,u$は定数で$q \ne 0$とする。数列$\left\{b_n\right\}$に対して、初項3の数列$\left\{d_n\right\}$が
次を満たすとする。
$d_nb_{n+1}-qd_{n+1}b_n+ub_{n+1}=0$　$(n=1,2,3,\ldots)\cdots$⑦
$r=\boxed{\ \ オ\ \ }$であることから、⑦を変形して、$d_{n+1}=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ チ\ \ }}{q}(d_n+u)$
を得る。したがって、数列$\left\{d_n\right\}$が、公比が0より大きく1より小さい
等比数列となるための必要十分条件は、$q \gt \boxed{\ \ ツ\ \ }$かつ$u=\boxed{\ \ テ\ \ }$
である。

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
(4) $11^4$を$2^4$で割ったときの余りは1に等しい。不定方程式
$11^5x-2^5y=1$
の整数解のうち、$x$が正の整数で最小になるのは、$x=$テト, $y=$ナニヌネノである

問題文全文(内容文)：
共通テスト追試数学整数問題